(5)当n>m+1且x充分大时,有Pa(mxsK,可知当n>m+1时 qn(x) 积分∫"Bn(mnx绝对收敛。 当n=m+1时,因为F(A=snx有界,且当x充分大时,Pn(x) gn(x 单调目1pn(x)=0,由 Dirichlet判别法可知、收敛;但 x→+0 qn q, (x) 由于当x→+∞时,P(~g,易知“P(如m发散,所以当 n=m+1时,积分“P(3mx条件收敛 qn 当n<m+1时,由lmPn(x)=A,A为非零常数、+∞或-∞,易知 x→+qn(x) 积分“(3m发散 qn 6.设f(x)在[a,b只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3和定理 8.2. 定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,b)上恒有f(x)≥0,若当x属 于b的某个左邻域[b-n,b)时,存在正常数K,使得 K (1)f(x)≤ 且p<1,则∫f(x)kt收敛 (2)f(x)≥ K (-xy,且p21,则/(x发散。 证(1)当p<1时,积分t收敛,由反常积分的 Cauchy收 (b-x) 敛原理
（5）当n > m +1且 x充分大时，有 x q x p x n m sin ( ) ( ) 2 x K ≤ ，可知当 时 积分 n > m +1 ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 绝对收敛。 当n = m +1时，因为 = ∫ 有界，且当 充分大时， A F A xdx 1 ( ) sin x ( ) ( ) q x p x n m 单调且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ q x p x n m x ，由 Dirichlet 判别法可知∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 收敛；但 由于当 x → +∞ 时， ( ) ( ) q x p x n m ～ x a ，易知 ∫ +∞ 1 sin ( ) ( ) x dx q x p x n m 发散，所以当 n = m +1时，积分∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 条件收敛。 当n < m +1时，由 A q x p x n m x = →+∞ ( ) ( ) lim ，A为非零常数、+ ∞ 或 ，易知 积分 − ∞ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 发散。 ⒍ 设 f x( ) 在 [ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2. 和定理 8.2. 。 3' 5′ 定理 8.2.3′（Cauchy 判别法） 设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，若当 x属 于b的某个左邻域[b − η0 , b)时，存在正常数 K ，使得 ⑴ f x K b x p ( ) ( ) ≤ − ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ f x K b x p ( ) ( ) ≥ − ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）当 p < 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 收敛，由反常积分的 Cauchy 收 敛原理， 283
VE>0,彐8>0,Vn,n∈(0,6) 由于/E一-,所以广收敛 (2)当p≥1时,积分 女发散,由反常积分的 Cauchy收敛原 理, 彐E0>0,V>0,彐n,n∈(0,。) dx Eo 由于(2(b+y22h,所以(x)发散。 推论( Cauchy判别法的极限形式)设在a,b)上恒有f(x)≥0,且 lim(b-x)Pf(x)=l 则 (1)若0≤1<+,且p<1,则f(x)收敛; (2)若0 且p21,则∫(x)k发散。 证(1)由lim(b-x)f(x)=1(p<1,0≤l<+∞),可知 彐δ>0,Vx∈(b-,b):f(x) 再应用定理8.2.3的(1)。 (2)由1im(b-x)f(x)=l(p≥1,0<l≤+∞),可知 彐δ>0,Vx∈(b-6,b):f(x)> 2(b-x) 再应用定理8.2.3的(2)。 定理82.5若下列两个条件之一满足,则∫f(x)(x收敛:
∀ε > 0，∃δ > 0，∀η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p η ε η < − ∫ − − ' ( ) 1 。 由于 ∫ ≤ − − ' ( ) η η b b f x dx ε η η < − ∫ − − ' ( ) b b p dx b x K ，所以 a f x dx收敛。 b ( ) ∫ （2）当 p ≥ 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 发散，由反常积分的 Cauchy 收敛原 理， ∃ε 0 > 0，∀δ > 0，∃η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p 0 ' ( ) η 1 ε η ≥ − ∫ − − 。 由于 ∫ ≥ − − ' ( ) η η b b f x dx 0 ' ( ) ε η η ≥ − ∫ − − b b p dx b x K ，所以 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim( ) ( ) x b p b x f x l → − − = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l < +∞ ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）由 x b lim → −(b x − = ) p f (x) l （ p < 1, 0 ≤ l < +∞ ），可知 ∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x ( ) 1 ( ) − + < ， 再应用定理 8.2.3′的（1）。 （2）由 x b lim → −(b x − = ) p f (x) l （ p ≥ 1, 0 < l ≤ +∞ ），可知 ∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x 2( ) ( ) − > ， 再应用定理 8.2.3′的（2）。 定理 8.2.5′ 若下列两个条件之一满足，则 a f x g x dx 收敛： b ( ) ( ) ∫ 284