A(x)=2/-x2 a2-x2-y2dy=2vax-x2va2-ax+2(a2-x2)arcsin a+x 由 (a2-x2)arcsin -dx=arcsin -d(ax-x) a+x a+x (a'x--xarcsin dx=(-.)a a+xo Jo 2√x(a+x) 及 ,小Va-x-a=、R3)=15, 6.证明以下旋转体的体积公式: (1)设f(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)所表示的区 域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V=2r xf(x)dx: (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 3Jor(0)sin ede 证(1)作区间anb的划分P:a=x0<x1<x2<…<xn=b,则关于小区域 (xy)x1≤x≤x1,0≤y≤/(}绕y轴旋转所得的体积有 △1≈m(x2-x1)f(x1)≈2m,f(x,)Ax2° 设=max(Ax),令→0,就有 V=2r xf(x)dx 36
∫ − − − = − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 ax x ax x A x a x y dy a x x ax x a ax a x + = 2 − − + 2( − ) arcsin 2 2 2 2 。 由 ) 3 1 ( ) arcsin arcsin ( 2 3 0 0 2 2 d a x x a x x dx a x x a x a a − + = + − ∫ ∫ ∫ + − − + = − a a dx x a x a a x x a x x a x x 0 2 3 0 2 3 2 ( ) ) 3 1 ) arcsin ( 3 1 ( 3 ) 45 32 3 = ( − a π ， 及 3 0 0 2 2 15 4 ax x a axdx a x (a x)dx a a a − − = − = ∫ ∫ ， 得到 3 ) 9 8 3 2 V = ( − a π 。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)所表示的区 域绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = b a V 2π xf (x)dx； ⑵ 在极坐标下，由0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = β α θ θ θ π V r ( )sin d 3 2 3 。 证（1）作区间[a,b]的划分P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b , 则关于小区域 {( , ) , 0 ( ) 1 x y x x x y f x i− ≤ ≤ i ≤ ≤ } 绕 y 轴旋转所得的体积有 ( ) ( ) 2 1 2 i i i i V x x f x ∆ ≈ π − − i i i ≈ 2πx f (x )∆x 。 设 max( ) 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，令λ → 0，就有 = ∫ 。 b a V 2π xf (x)dx 236
(2)解一:设x=r(0)cos,y=r(O)sin,a=r(a)cosa,b=r(B)cosB 则 V=72dx-3mar2(asin2a+ rbr2(B)sin2B J8my-dx+i od(vx)=jasin 0(/'cose-rsineyde T[13r2r'sin20 cos+2rsin 8 cos20-r3sin'8k 2T( r(0)sin Ode 解二:首先,由0≤θ≤B≤π0≤r≤a所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 a sin (a'-x dx=(1-cos B)ao 然后作[a,月的划分:a=60<6<2<…<n=B,考察由 θ≤θ≤θ,0≤r≤r(θ)所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积,这小区域可近似看作扇形,于是这小块的体积应近 似等于 △2zr(a - cOs 3r(0)(1-cos0-0)=r(0).sin 8, A0, 从而 r=∑2r(a)si△B。 令=max(△O)→0,就有 r(0)sin 0de 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: ,绕x轴 (2)y=sinx,y=0,0≤x ①绕x轴,②绕y轴
(2) 解一： 设 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , a = r(α) cosα , b = r(β ) cos β , 则 = ∫ a b V y dx 2 π π α α 2 2 ( )sin 3 1 − ar π β β 2 2 ( )sin 3 1 + br = ∫ a b y dx 2 π + ∫ b a d( y x) 3 1 2 π = ∫ − α β πr sin θ (r'cosθ rsinθ )dθ 2 2 ( ) + ∫ + − β α π r r θ θ r θ θ r θ dθ 2 2 3 2 3 3 3 'sin cos 2 sin cos sin 3 1 = ∫ β α θ θ θ π r ( )sin d 3 2 3 。 解二： 首先，由0 ≤ θ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ a 所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 3 cos 2 2 2 2 (1 cos ) 3 2 sin cos ( ) 3 V a a a x dx a a a β π β β π π β = + − = − ∫ 。 然后作[α, β ]的划分：α = θ 0 < θ1 < θ 2 < " < θ n = β ，考察由 , 0 ( ) θ i−1 ≤ θ ≤ θ i ≤ r ≤ r θ 所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近 似等于 3 3 1 2 2 ( )(1 cos ) ( )(1 cos ) 3 3 V r i i i i i r π π ∆ ≈ θ − θ θ − − θ − i i i r θ θ θ π ≈ ( )⋅sin ∆ 3 2 3 ， 从而 ∑= ≈ ∆ n i i i i V r 1 3 ( )sin 3 2 θ θ θ π 。 令 max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ θ ，就有 V r = ∫ 2 3 3 π θ θ α β ( )sin dθ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： （1） x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕x 轴； （2） y x = sin ， y = 0，0 ≤ x ≤ π， ① 绕x 轴， ② 绕 y 轴； 237