习题12.11.求下列函数的偏导数：(2) z = x2 In(x2 + y2):(1) z= x -6xy +y6;(3) 2= x+±,(4) z = sin(xy)+ cos'(xy) ;y(6) z =tan(5) z=e'(cosy+xsiny):(7) z=sin ≥.cos,(8) z =(1+xy)*;xyx+y(9) z=In(x+lny);(10)z=arctan-1- xyY(11) u=e(r+y+),(12) u=x=1(14) u= x(13)u =Vx2+y?+2?a,xj，a,=a,且为常数。(15)u=a,x,a,为常数）；(16)u=i=li,j=l设f(x,y)=x+y-/x2 +y2,求f(3,4)及f,(3,4)。2.XOz1..Oz2=0。，验证2x3.设z=e"axoyx? + y2曲线4.在点（2.4,5）处的切线与x轴的正向所夹的角度是多少？4(y= 45.求下列函数在指定点的全微分：(1) f(x,y)=3xy-xy2, 在点(1,2);(2) f(x,y)=ln(1+x2 +y), 在点(2,4);sinx元(3) F(x,J) = 在点(0,1)和福y?6.求下列函数的全微分：(1) z=yt;(2) z= xye;yx+y(3)z=(4)zx-yVx2 + y2(5) u= /x2 +y2 +22 ;(6) u= In(x? + y? +2)。7.求函数z=xe2在点P(1,0)处的沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。8．设z=x2-xy+y2，求它在点(1I)处的沿方向v=(cosα,sinα)的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？9.如果可微函数f(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2，从点(1,2)到点(1,1)方向的方向导数为-2。求1
习 题 12.1 1． 求下列函数的偏导数： （1） ； （2） ； 5 4 2 6 z = x − 6x y + y ln( ) 2 2 2 z = x x + y （3） y x z = xy + ； （4） sin( ) cos ( ) ； 2 z = xy + xy （5） z e (cos y xsin y) ； （6） x = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y) ； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ； （12） ( ) 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x (13) 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ∑ （ 为常数）； （16） 且为常数。 = = n i i i u a x 1 ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 2． 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4) 。 3． 设 2 e y x z = ，验证 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 4． 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点(2,4,5)处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？ 5． 求下列函数在指定点的全微分： （1） ，在点 ； 2 2 f (x, y) = 3x y − xy (1,2) （2） ( , ) ln(1 ) ，在点 ； 2 2 f x y = + x + y (2,4) （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 6． 求下列函数的全微分： （1） ； （2） ； x z = y xy z = xy e （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6） ln( ) 。 2 2 2 u = x + y + z 7． 求函数 z = x e2 y 在点 P(1,0) 处的沿从点 P(1,0) 到点Q(2,−1)方向的方向导数。 8． 设 ，求它在点 处的沿方向 2 2 z = x − xy + y (1,1) v = (cosα,sinα) 的方向导数，并指 出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 9．如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) 1
（1）这个函数在点（1,2）处的梯度：（2）点（1,2）处的从点（1,2)到点（4,6)方向的方向导数。10.求下列函数的梯度：(1) z= x? + y sin(xy):(2) z =163a(3）u=x2+2y2+3z2+3xy+4yz+6x-2y-5z，在点(1,1,1)。11.对于函数f(x,y)=xy，在第I象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快的方向。12.验证函数f(x,y)= /xy在原点(0,0)连续且可偏导，但除方向e,和-e，（i=1,2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。13.验证函数xyx2+y?+0,Vx?+y?f(x,y)=x? +y? =00,在原点（0,0）连续且可偏导，但它在该点不可微。14.验证函数1x2+y?+0sinf(x,y):x2 + 10,x2 +y?=0的偏导函数f,(x,y),f,(x,y)在原点(0,0)不连续，但它在该点可微。证明函数15.2xy2x?+y*+0,x+y4,f(x,y)=S0,x?+y? =0在原点(0,0)处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。16.计算下列函数的高阶导数：0z0202(1) ≥= arctan,，求"axoyay?Ox2"x求(2)z=xsin(x+y)+ycos(x+y),ax?axoy'ay?aza3z(3）z=xe，求ax'ay'axoy?auotz(4)u=ln(ax+by+cz),求axtax?0y?Op+9z(5) z=(x-a)p(y-b),求axPay!ap+g+ru(6) u= xyze*+y+:XaxPOy'Ozr17.计算下列函数的高阶微分：2
（1）这个函数在点(1,2) 处的梯度； （2）点(1,2) 处的从点(1,2) 到点(4,6) 方向的方向导数。 10. 求下列函数的梯度： （1） sin( ) ； （2） 2 2 z = x + y xy ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u x 2y 3z 3xy 4yz 6x 2y 5z ，在点 。 2 2 2 = + + + + + − − (1,1,1) 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快 的方向。 f (x, y) = xy 12． 验证函数 3 f (x, y) = xy 在原点(0,0) 连续且可偏导，但除方向ei 和 i − e （i = 1,2 ）外，在原点的沿其它 方向的方向导数都不存在。 13. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。 14. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的偏导函数 f x (x, y), f y (x, y) 在原点(0,0) 不连续，但它在该点可微。 15. 证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。 16．计算下列函数的高阶导数： （1） x y z = arctan ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （2） z = x sin(x + y) + y cos(x + y) ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （3） z = x exy ，求 2 3 2 3 , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （4）u = ln(ax + by + cz) ，求 2 2 4 4 4 , x y z x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （5） ，求 p q z = (x − a) ( y − b) p q p q x y z ∂ ∂ ∂ + ； （6） ，求 x y z u xyz + + = e p q r p q r x y z u ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 17．计算下列函数的高阶微分： 2
(1) z=xln(xy), 求d2 z;(2)z=sin2(ax +by)，求d'z;(3)u=e++y+=(x? +y? +2),求d"u:;(4) z=e'siny, 求d* z。18.函数z=f(x,y)满足1==-siny+及 f(0,y)= 2sin y+y3。ax1-xy求f(x,y)的表达式。19.验证：o=k（1）z=e-krsin(ny)满足热传导方程ax=koys:ouououL=0(2）u=≥arctan二满足Laplace 方程%ax?+ay?+z?y220.设f(r,t)=te4，确定α使得f满足方程af-1 a(raf)atarr21.求下列向量值函数在指定点的导数：(1) (x)=(acosx,bsinx,cx)T, 在x=点;4(2)(x,J,z)=(3x+e"cotz,x3 +y2 tanz)T, 在1. -(3) g(u,v)=(ucosv,usinv,v)T, 在(l,元)点。22.设f:R→R为向量值函数。(1)如果坐标分量函数f(x,y,=)=x,f(x,y,2)=y,f(x,,)=z，证明的导数是单位阵；（2）写出坐标分量函数的一般形式，使f的导数是单位阵：(3）如果已知f的导数是对角阵diag(p(x),q(y),r(z))，那么坐标分量函数应该具有什么样的形式？习题12.21.利用链式规则求偏导数：1dz(1) z = tan(3t+2x2 - y2),/t求xy=dttd2求(2) z=er-2y, x=sint, y=t, dr?e"(y-z)dw(3)W=求z=cOSX,v=asinx,2a2 +1dxaz(4) z=u lnv, u=_v=3x-2y,axayy3
（1） z = x ln(xy) ，求d2 z ； （2） sin ( ) ，求 ； 2 z = ax + by z 3 d （3） e ( ) ，求 ；； 2 2 2 u x y z x y z = + + + + u3 d （4） z y ，求 。 x = e sin z k d 18．函数 z = f (x, y) 满足 xy y x z − = − + ∂ ∂ 1 1 sin ，及 。 3 f (0, y) = 2sin y + y 求 f (x, y) 的表达式。 19．验证： （1） e sin( ) 满足热传导方程 2 z ny −kn x = 2 2 y z k x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ； （2） y x u = z arctan 满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u ； 20．设 t r f r t t 4 2 ( , ) e − = α ，确定α 使得 f 满足方程 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r f r t r r f 2 2 1 。 21．求下列向量值函数在指定点的导数： （1） ，在 T f (x) = (a cos x,bsin x,cx) 4 π x = 点； （2） ，在 3 2 T (x, y,z) (3x e cot z, x y tan z) y f = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 1, 2, π 点； （3） ，在 T g(u,v) = (u cos v,u sin v,v) (1,π ) 点。 22．设 为向量值函数。 3 3 f : R → R （1）如果坐标分量函数 f (x, y,z) = x, f (x, y,z) = y, f (x, y,z) = z 1 2 3 ，证明 的 导数是单位阵； f （2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵； （3）如果已知 f 的导数是对角阵diag( p(x),q( y),r(z))，那么坐标分量函数应该 具有什么样的形式？ 习 题 12.2 1．利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） ，求 2 3 z e , x sin t, y t x y = = = − 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x ， z = cos x ，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； 3
，sinx求(5)u=et+y+axayOwOw(6) w=(x+y+z)sin(x2+y2+=2),x=te',y=e', z=es+,求asat求兰”(7) z=x2 + y2+cos(x+y),x=u+v,=arcsiny,)Ou'Ovou以下假设f具有二阶连续偏导数。x)u（8）u=xyyaxayaxayay2(9) u=(x +y +=),求uuuuuax"Oy'oz"ax?"axoywwaw(10) w=f(x,y,z2), x=u+v, y=u-v, ==w, 求ouOvouo2.设f(x,y)具有连续偏导数，且f(x,x2)=1，f,(x,x2)=x，求f,(x,x)。3.设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)=1，f,(1,1)=2，f,(1,1)=3。如果p(x)=f(x, f(x,x)),求p'(1)。1 0z±1 0zy其中f()具有连续导数，且f()+0，求-4.设z=：f(x2 - y2)xoxyyxy=u-v,验证5.设z=arctanx=u+v,yOu-yu?+y2。Qu+ov6.设β和具有二阶连续导数，验证ou+xu__u(1) u=yp(x2-y)满足y-Yaxayyau20u(2）u=p(x-at)+y(x+at)满足波动方程at?ax?02202在坐标变换7.设z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，写出ax+ay[u=x?-y?,[v=2x)下的表达式。e8. 设f(x,y)y ax?axoyx ay?9.如果函数f(x,y)满足：对于任意的实数t及x,y，成立f(tx,ty)= t" f(x, y),那么称为n次齐次函数。(1）证明n次齐次函数f满足方程.af.of= nf :TOxOy4
（5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6） ( )sin( ) ， ， ， ，求 2 2 2 w = x + y + z x + y + z s x = te t y = e s t z e + = t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） cos( ) ， 2 2 z = x + y + x + y x = u + v ， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9） ( ) ，求 2 2 2 u = f x + y + z x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10） w = f (x, y,z) ， x = u + v ， y = u − v ， z = uv ，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 2．设 f (x, y) 具有连续偏导数，且 ( , ) 1， ，求 。 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 3 ． 设 f (x, y) 具 有 连续偏 导 数，且 f (1,1) = 1 ， f x (1,1) = 2 ， f y (1,1) = 3 。如果 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1) 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t) 具有连续导数，且 f (t) ≠ 0 ，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v ，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1） ( )满足 2 2 u = yϕ x − y u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at) 满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 9．如果函数 f (x, y) 满足：对于任意的实数t 及 x, y ，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为 n 次齐次函数。 （1） 证明 n 次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； 4
Oz...Oz利用上述性质，对于z=x+y2求出x(2）ax+ayaz10.设z=，其中具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求fixy.+gaxoyyV11.设向量值函数f：R2→R的坐标分量函数为[x=u? +y?,y=u?-y?2=向量值函数g：R2→R2的坐标分量函数为[u=rcosa[v=rsing.求复合函数g的导数。OwOwOw12. 设w= f(x,u,v), u=g(y,z), v= h(x,y), 求ax"oy'oz13.设z=u，u=ln/x+y，=arctan，求dz。xa?z-arctan，求dz和14. 设z=(x2 +y2)eaxoy15.求下列函数的全微分：(1)u=f(ax2+by?+cz);(2) u= f(x+y,xy);(3) u = f(ln(1 + x2 + y? +22),e*+y-)16.设f(t)具有任意阶连续导数，而u=f(ax+by+cz)。对任意正整数k，求d*u。17.设函数z=f(x,y)在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程xf.(x,y)+yf,(x,y)=0,证明：f(x,y）为常数。18.设n元函数f在R"上具有连续偏导数，证明对于任意的x=（x,x2，,x），y=（yi,y2,,J,）eR"，成立下述Hadamard公式：()-()=0, -x)%(+(y-x)d。:axi=l习题12.31.对函数f(x,y)=sinxcosy应用中值定理证明：存在θe(O,1)，使得3元..元0元元-sinsin:cos-cOS-4"3℃0366362.写出函数f(xy)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点(1,2)的Taylor展开式。3.求函数f(x,y)=sinxln(1+y)在(0,0)点的Taylor展开式（展开到三阶导数为止）。4.求函数f(x,y)=er+y在(0,0)点的n阶Taylor展开式，并写出余项。cosy5. 设f(x,y)=x>0.x5
（2） 利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 11．设向量值函数 f ： 2 R → 3 R 的坐标分量函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + . , , 2 2 2 2 z uv y u v x u v 向量值函数 g ： 2 R → 2 R 的坐标分量函数为 ⎩ ⎨ ⎧ = = sin . cos , θ θ v r u r 求复合函数 f D g 的导数。 12．设 w = f (x,u, v) ，u = g( y,z) ，v = h(x, y) ，求 z w y w x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 。 13．设 z = uv ， 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan ，求 dz 。 14．设 x y z x y e arctan 2 2 ( ) − = + ，求 dz 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 15．求下列函数的全微分： （1） ( ) ； 2 2 2 u = f ax + by + cz （2）u = f (x + y, xy) ； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 16．设 f (t) 具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数k ，求dk u 。 17. 设函数 z = f (x, y)在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程 xf x (x, y) + yf y (x, y) = 0 , 证明： f (x, y) 为常数。 18．设n 元函数 f 在 n R 上具有连续偏导数，证明对于任意的 x = ( , , , ) 1 2 n x x " x ， ( , , , ) 1 2 n y = y y " y n ∈ R ，成立下述 Hadamard 公式： ∑∫ = + − ∂ ∂ − = − n i i i i t dt x f f f y x 1 1 0 (y) (x) ( ) (x (y x)) 。 习 题 12.3 1．对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1) ，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2．写出函数 ( , ) 3 2 2 6 8 9在点 的 Taylor 展开式。 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 3．求函数 f (x, y) = sin x ln(1+ y) 在(0,0) 点的 Taylor 展开式（展开到三阶导数为止）。 4．求函数 在 点的 阶 Taylor 展开式，并写出余项。 x y f x y + ( , ) = e (0,0) n 5．设 , 0 cos ( , ) = x > x y f x y . 5