时旋转矢量是处于第四象限内故取初相位为 φ=-π/3 最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在t=ls时,位移x=0,代入下式 x=4.0×102cos(ot-π/3) 可得:0=40×102cos(0-π/3)→0-π/3=±/2 因为o>0,所以上式只能取正所以 这样我们可以将该简谐振动具体地写为 x=4.0×10-2cos(t--)m 四、简谐振动的能量 从机械运动的观点看,在振动过程中若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则 其动能和势能的总和是恒定的现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化 和守恒问题 弹簧振子的位移和速度分别由下式给出 x=Acos(ot+中),u=- Eosin(ot+φ) 在任意时刻系统的动能为 Ek o2Asin(ot+中) (11.12) 除了动能以外振动系统还具有势能对于弹簧振子来说系统的势能就是弹力势能, 并可表示为 Ep =kx2= kA- cos(ot+φ) 2 由式(1l12)和式(113)可见弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化 当位移最大时速度为零动能也为零而势能达到最大值k42;当在平衡位置时,势能 为零,而速度为最大值所以动能达到最大值mo2A2 弹簧振子的总能量为动能和势能之和即 6
6 时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为 = − / 3 最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在 t =1s 时,位移 x =0,代入下式 4.0 10 cos( / 3) 2 = − − x t 0 4 0 10 3 3 2 2 = . cos(− / ) →− / = / 可得： − 因为ω＞0,所以上式只能取正.所以 1 rad s 6 5 3 2 − = + = 这样,我们可以将该简谐振动具体地写为 m 6 3 5 4 0 10 2 . cos( ) − = − x t 四、简谐振动的能量 从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则 其动能和势能的总和是恒定的.现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化 和守恒问题. 弹簧振子的位移和速度分别由下式给出 x = Acos(t + ), = −Asin(t + ) 在任意时刻,系统的动能为 E = m = m A sin (t + ) k 2 2 2 2 2 1 2 1 (11.12) 除了动能以外,振动系统还具有势能.对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能, 并可表示为 E = k x = kA cos (t + ) p 2 2 2 2 1 2 1 (11.13) 由式（11.12）和式（11.13）可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化. 当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值 2 2 1 kA ；当在平衡位置时,势能 为零,而速度为最大值,所以动能达到最大值 2 2 2 1 m A . 弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即
E=E+En=m02A2sim(01+ψ)+kcos(o1+ψ) 因为o2=k/m,所以上式可化为 E=-mo-A=-kA (11.14) 由上式可见尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量 是恒定不变的,并与振幅的平方成正比 由E=my2+kx2=kf2→U=±0√A42 (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系在平衡位置处x=0,速度为最 大:在最大位移处x=±A,速度为零 例题113一长度为l的无弹性细线,一端被固定在A点,另一端悬挂一质量为m、 体积很小的物体静止时细线沿竖直方向物体处于点O,这 是振动系统的平衡位置如图114所示若将物体移离平衡位小 置使细线与竖直方向夹一小角度0,然后将物体由静止释放, 物体就在平衡位置附近往复摆动起来这种装置称为单摆.证 明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量 解:我们选择小物体相对平衡位置O的角位移θ为描 述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正, 处于平衡位置左方,0为负 小物体受到两个力的作用,一个是重力mg,另一个是细 cosH 线的张力f沿着物体运动的弧形路径将重力mg分解成大1432113示图 小为 mgcos的径向分量和大小为 mosin0的切向分量其中径向分量 mgcos b与细线 的张力f一起为物体的运动提供向心力而切向分量是作用于物体的回复力使物体返 回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样因此单摆的振动方程为 sin e >-mg0 a+a2=0(2=昱 (2) 显然,单摆的振动方程(2)与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量 x所以单摆的角位移θ与时间t的关系必定可以写成余弦函数的形式 6=cos(t+φ)
7 E = E + E = m A sin (t + ) + k A cos (t + ) k p 2 2 2 2 2 2 1 2 1 因为ω2=k/m,所以上式可化为 2 2 2 2 1 2 1 E = m A = kA (11.14) 由上式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量 是恒定不变的,并与振幅的平方成正比. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 由 E = m + k x = k A → = A − x (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系.在平衡位置处,x=0,速度为最 大；在最大位移处,x=±A,速度为零. 例题 11.3 一长度为 l 的无弹性细线,一端被固定在 A 点,另一端悬挂一质量为 m、 体积很小的物体.静止时,细线沿竖直方向,物体处于点 O,这 是振动系统的平衡位置,如图11.4所示.若将物体移离平衡位 置,使细线与竖直方向夹一小角度θ,然后将物体由静止释放, 物体就在平衡位置附近往复摆动起来.这种装置称为单摆.证 明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量. 解：我们选择小物体相对平衡位置 O 的角位移θ为描 述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正, 处于平衡位置左方,θ为负. 小物体受到两个力的作用,一个是重力 mg,另一个是细 线的张力 f .沿着物体运动的弧形路径,将重力 mg 分解成大 小为 mgcosθ的径向分量和大小为 mgsinθ的切向分量.其中径向分量 mgcosθ与细线 的张力 f 一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返 回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样.因此,单摆的振动方程为 = − ⎯ ⎯→− mg mg dt d ml 很小 sin 2 2 (1) ( ) l g dt d + = = 2 2 2 2 即 0 (2) 显然,单摆的振动方程（2）与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量 x.所以单摆的角位移θ与时间 t 的关系必定可以写成余弦函数的形式 = cos(t + ) 0
式中积分常量θ。为单摆的振幅,中为初相位这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是 简谐振动 单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能 Ek 2m(e)=2m/e o' sin(o(+o) 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能 E=mgh=mg/(1-cos 0) 式中h是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度可将cosθ展开为 2040° c0s=1-y+46! 因为0很小我们可以只取上式的前两项所以可以化为 E=mg/0=-mg0 cos(ot+o) 可见单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即 E=Ek+E== sin(o(+)+=mg10 cos(o(+o) 因为2=g/所以上式可以化为 E=-ml0202 上式表示尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比 作业(P97):4、7、9、11、14
8 式中积分常量 0 为单摆的振幅,φ为初相位.这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是 简谐振动. 单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能 E = m = m(l) = ml sin (t + ) k 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能 E = mgh = mgl(1−cos) p 式中 h 是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度.可将 cosθ展开为 + − + = − ! ! ! cos 2 4 6 1 2 4 6 因为θ很小,我们可以只取上式的前两项.所以可以化为 E = mgl = mgl cos (t + ) p 2 2 0 2 2 1 2 1 可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数. 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即 E = E + E = ml sin (t + ) + mgl cos (t + ) k p 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 2 1 因为ω2=g/l,所以上式可以化为 2 0 2 0 2 2 2 1 2 1 E = ml = mgl 上式表示,尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比. 作业(P97)：4、7、9、11、14
§11.2阻尼振动 以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动,即振动的位移、速度和加速度等 每经过一个周期就完全恢复原值,但这毕竟只是一种理想情况任何实际的振动都必然 要受到摩擦和阻力的影响振动系统必须克服摩擦和阻力而作功,外界若不持续地提供 能量,振动系统自身的能量将不断地减少振动系统能量减少的另一个原因是由于振动 物体引起邻近介质质点的振动并不断向外传播振动系统的能量逐渐向四周辐射出去 由于振动能量正比于振幅的平方所以随着能量的减少振幅也逐渐减少 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动在以下的讨论中,我们只考虑摩擦和阻力引 起的阻尼振动 当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时物体所受流体的阻力主要是黏性 阻力黏性阻力的大小与物体运动的速率成正比,方向与运动方向相反可以表示为 (1116 dt 式中称为阻力系数负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反 考虑了黏性阻力物体的振动方程可以写为 dtdu (11.17) 令02=k/m,2B=y/m式(1.17)可以改写为 2B+o2x=0 式中o称为振动系统的固有角频率,β称为阻尼常量,它取决于阻力系数在阻尼较小 的情况下,B2<o20,式(.18)的解可以表示为 x=Ae-p'cos(ot+)(o=vo2-B2) (11.19) Ao和φ为积分常量,可由初始条件决定式(1l19)所表示的位移与时间的关系,可描绘成 图115中曲线a所示的情形由图可以看出, 阻尼振动不是严格的周期运动,因为位移 不能在每一个周期后恢复原值,也是一种 b 准周期性运动若与无阻尼的情况相比较 阻尼振动的周期可表示为 2π 2π 图115
9 §11.2 阻尼振动 以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动,即振动的位移、速度和加速度等 每经过一个周期就完全恢复原值,但这毕竟只是一种理想情况.任何实际的振动都必然 要受到摩擦和阻力的影响,振动系统必须克服摩擦和阻力而作功,外界若不持续地提供 能量,振动系统自身的能量将不断地减少.振动系统能量减少的另一个原因是由于振动 物体引起邻近介质质点的振动,并不断向外传播,振动系统的能量逐渐向四周辐射出去. 由于振动能量正比于振幅的平方,所以随着能量的减少,振幅也逐渐减少. 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动.在以下的讨论中,我们只考虑摩擦和阻力引 起的阻尼振动. 当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时,物体所受流体的阻力主要是黏性 阻力.黏性阻力的大小与物体运动的速率成正比,方向与运动方向相反,可以表示为 dt dx f = − = − （11.16) 式中称为阻力系数,负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反. 考虑了黏性阻力,物体的振动方程可以写为 0 2 2 + + kx = dt dx dt d x m (11.17) 令 k m 2 m 2 0 = / , = / 式(11.17)可以改写为 2 0 2 2 0 2 + + x = dt dx dt d x (11.18) 式中 0 称为振动系统的固有角频率,β称为阻尼常量,它取决于阻力系数.在阻尼较小 的情况下,β2＜ω2 0 ,式(11.18)的解可以表示为 cos( ) ( ) 2 2 = 0 + = 0 − − x A e t t (11.19) A0 和φ为积分常量,可由初始条件决定.式(11.19)所表示的位移与时间的关系,可描绘成 图11.5中曲线a所示的情形.由图可以看出, 阻尼振动不是严格的周期运动,因为位移 不能在每一个周期后恢复原值,也是一种 准周期性运动.若与无阻尼的情况相比较, 阻尼振动的周期可表示为 2 2 0 2 2 − = T = (11.21)
可见,由于阻尼的存在周期变长了,频率变小了,即振动变慢了 在阻尼过大,即过阻尼的情况下,B2>20式(1.19)不再是方程(1118)的解了这 时运动已完全不是周期性的了由于阻尼足够大,运动进行得太慢偏离平衡位置的距离 随时间按指数规律衰减以致需要相当长的时间系统才能到达平衡位置如图11.5中曲 线b所示 在工程技术上常根据需要控制阻尼的大小以实现控制系统运动状态的目的.例如, 天平和高灵敏电流计,要求指针(或光标)迅速地、无振荡地达到平衡位置,以便尽快地读 数需把系统控制在临界阻尼状态,就是图11.5中曲线c的情形,这时β2=ω2 作业(P98):1.19
10 可见,由于阻尼的存在,周期变长了,频率变小了,即振动变慢了. 在阻尼过大,即过阻尼的情况下, β2>ω2 0 式(11.19)不再是方程(11.18)的解了.这 时运动已完全不是周期性的了.由于阻尼足够大,运动进行得太慢,偏离平衡位置的距离 随时间按指数规律衰减,以致需要相当长的时间系统才能到达平衡位置,如图 11.5 中曲 线 b 所示. 在工程技术上,常根据需要控制阻尼的大小,以实现控制系统运动状态的目的.例如, 天平和高灵敏电流计,要求指针(或光标)迅速地、无振荡地达到平衡位置,以便尽快地读 数,需把系统控制在临界阻尼状态,就是图 11.5 中曲线 c 的情形,这时β2=ω2 0 . 作业(P98)：11.19