例1.求函数 f(x)=C(C为常数)的导数. 解：y'=lim x+△w)-f)=1im C-C =0 △x→0 △x △x→0 △X 即 (C)y=0 例2.求函数f(x)=x”(n∈N+)在x=a处的导数 解：f'(a)=lim f(x)-f(a) lim x”-a” x->a x-a →aX-a =lim(x”-+axn-2+a2xn-3+:+a”-l) x->a nan-l 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f (x) C (C 为常数) 的导数. 解: y x C C x 0 lim 0 即 (C ) 0 例2. 求函数 ( ) ( N ) f x x n n 在x a处的导数. 解: x a f x f a ( ) ( ) xa f (a) lim x a x a n n x a lim lim( xa n1 x 2 n a x 2 3 n a x ) 1 n a 1 n n a x f x x f x ( ) ( ) 0 lim x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： 对一般幂函数y=x“（4为常数) (x“)y=4x-1 (以后将证明) a,3y=ey-=2克 (=y=-xH= 4 4 机动 目录 结束
对一般幂函数 y x ( 为常数) 1 ( ) x x 例如，( x ) ( ) 2 1 x 2 1 2 1 x 2 x 1 x 1 ( ) 1 x 11 x 2 1 x ) 1 ( x x ( ) 4 3 x 4 7 4 3 x （以后将证明） 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求函数f(x)=sinx的导数. 解：令h=△x,则 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) lim sin(x+h)-sinx h>0 h h-→0 h h-→0 =ox sin h cos x h-2 即 (sinx)'=cosx 类似可证得 (cosx)'=-sinx 机动 目录 结束
h x h x h sin( ) sin lim 0 f (x) sin x 的导数. 解: 令h x , 则 f (x) h f (x h) f (x) 0 lim h 0 lim h ) 2 2cos( h x 2 sin h ) 2 lim cos( 0 h x h 2 2 sin h h cos x 即 (sin x) cos x 类似可证得 (cos x) sin x h 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.对数函数的导数 设y=logax,(a>0,a≠1)，则 于是 y-lo(-og0 =太1g,0+)=1og,0+ △y △x △x X△X =↓1og.1+A) 所以y'=lm11og.1+A)应=1og。e, △x→0X 入 即 log。x)y= dx (log.a 特别当a=e时，我们有 my-么m）-
设 y = loga x ( a > 0, a ≠ 1)，则 log ( ) log log 1 a a a x y x x x x 于是 log (1 ) 1 x x x x y a 1 log (1 ) a x x x x x x x a x x x log (1 ) 1 所以 log , 1 log (1 ) 1 lim 0 e x x x x y a x x a x 即 . ln 1 (log ) (log ) x a x dx d x a a 特别当 a = e 时，我们有 . 1 (ln ) (ln ) x x dx d x 例4. 对数函数的导数
例4.求函数 f(x)=lnx的导数. 解：f'(x)=1im fx+h分-/)）=lim In(x+h)-In x h→0 h h>0 h -() 或 h-→0h X 1 h x 1 lim. h-0h x X =-mln1+ lne xh-→0 X X X 即 (nx)'=- 机动 目录 结束
ln(1 ) x h f (x) ln x 的导数. 解: f (x) h f (x h) f (x) 0 lim h h x h x h ln( ) ln lim 0 h h 1 lim 0 ln ( 1 ) x h 即 x x 1 (ln ) 0 lim h h 1 x x 1 x 1 0 lim h ln (1 ) x h h x ln e x 1 x 1 x h h h 1 lim 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束