定理.函数y=f(x)在点x,可导的充分必要条件 是f(x)与f'(x)存在，且f(xo)=f'(xo) 简写为 f'(x)存在→f(x,)='(x)
在点 0 y f (x) x ( ) ( ) , f x0 与 f x0 存在 且 f (x0 ) ( ). 0 f x ( ) 0 f x 存在 f (x0 ) ( ) 0 f x 简写为 可导的充分必要条件 是
运动质点的位置函数s=f(t) f() 在t,时刻的瞬时速度 to y lim f(t)-f(to) =f'(t0) t-→>to t-to 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 =lim f(x)-f(x) y=f(x) x→x0 x-Xo =f'(x0) 机动 目录 上页 下页返回 结束
运动质点的位置函数 s f (t) s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t lim 0 t t v ( ) ( ) 0 f t f t 0 t t 曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y f (x) C N T 0 x M x lim 0 x x k ( ) ( ) 0 f x f x 0 x x ( ) 0 f t ( ) 0 f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim f(x)-f(xo) lim Ay △y=f(x)-f(x) x→X0 x-Xo △x→0△X △X=X-X0 若上述极限不存在，就说函数在点x不可导 若函数在开区间I内每点都可导，就称函数在I内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数， 记作：y;f'(x), dy. df(x) dx dx 注意： (x)=∫(x=0≠ df(xo) dx 机动 上页 下页返回 结束
0 lim xx 0 0 ( ) ( ) x x f x f x x y x 0 lim ( ) ( ) 0 y f x f x 0 x x x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( ) 0 f x 0 ( ) x x f x x f x d d ( ) 0 就说函数 就称函数在 I 内可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.1.2、 函数的可导性与连续性的关系 定理1.f(x)在点x处可导>f(x)在点x处连续 证：设y=fx)在点x处可导，即limy=) △x→0△X 存在，因此必有 Ay=f(x)+a,其中lma=0 △x △x>0 故 △y=f'(x)△x+CxAx △x>00 所以函数y=f(x)在点x连续 y=x 注意：函数在点x连续未必可导. 反例：y=x在x=0处连续，但不可导
定理1. f (x)在点x处可导 f (x)在点x处连续 证: 设 y f (x) 在点 x 处可导, lim ( ) 0 f x x y x 存在 , 因此必有 ( ) , f x x y 其中 lim 0 0 x 故 y f (x)x x x 0 0 所以函数 y f (x) 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: y x x y o y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即
y=x在x=0处连续，但不可导. lim △x→0t x lim lim △x-→0 △x-→0* A =1, 而 lim lim lim -4x =-1, △x->0 △x-→0 △x △x0 因左右极限不等，故极限im Ay 不存在， Ax→0△X 即函数在点x=0没有导数
lim lim lim 1, 0 0 0 x x x x x y x x x 而 lim lim lim 1, 0 0 0 x x x x x y x x x 因左右极限不等，故极限 不存在， 即函数在点 x＝0没有导数。 x y x 0 lim y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导