△S f(t。+△t)-f(t) △t △t (3)求极限 当△t越来越小时，平均速度便越来越接近于时刻的瞬时速 度y,于是当△1→0时，平均速度的极限就是瞬时速度y,即 lim v lim lim f(t+△t)-f(to) △t→0 △t→>0 △t △t>0 △t
(3) 求极限 t f t t f t t s v ( ) ( ) 0 0 当△ t 越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速 度v0 ，于是当 t 0时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即 t f t t f t t s v v t t t ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 0
f(to) 瞬时速度v=lim f(t)-f(to) t→t0 t-to =f(x) 切线斜率k=lim f(x)-f(xo) x→X0 x-Xo 两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 线密度是质量增量与长度增量之比的限 变化率问题 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限 机动 返回
s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 瞬时速度 t lim 0 t t v ( ) ( ) 0 f t f t 0 t t 切线斜率 x y o y f (x) C N T 0 x M x lim 0 x x k ( ) ( ) 0 f x f x 0 x x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数的定义 定义1.设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义， 若 lim f(x)-f(xo) lim △y △y=f(x)-f(x) x→x0 x-X0 △x→0△X △X=X-X0 存在，则称函数f(x)在点x处可导， 并称此极限为 y=f(x)在点x,的导数.记作： yni f(o); dy df(x) 。 =xo dx X=XO 即 x=xo =f(xo) Ay lim △x→0△X lim f(x+△x)-f(xo) lim f(xo +h)=f(xo) △x→0 △x h→0 机动 返回 结束
定义1 . 设函数 y f (x) 在点 0 x 0 lim xx 0 0 ( ) ( ) x x f x f x x y x 0 lim ( ) ( ) 0 y f x f x 0 x x x 存在, f (x) 并称此极限为 y f (x) 记作: ; 0 x x y ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y d 0 d ( ) x x x f x 即 0 x x y ( ) 0 f x x y x 0 lim x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 y=f(x) 曲线y=f(x)在点(x。,y,)的切线斜率为 M tana f'(xo) f'(x)≠o时，曲线在点(x,,)处的 (x,%) 切线方程：y-yo='(xo)x-xo) 法线方程：为=7。-） Xo (f'(xo)≠0) 机动 目录 上页 下页返回 结束
x y o y f (x) C T 0 x M 曲线y f (x)在点 ( , ) 0 0 x y 的切线斜率为 tan ( ) 0 f x x y o 0 x ( , ) 0 0 x y 曲线在点(x0 , y0 ) 处的 切线方程: ( )( ) 0 0 0 y y f x x x 法线方程: ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y ( ( ) 0) f x0 x y o 0 x ( ) , f x0 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
左右导数 定义2.设函数y=f(x)在点x,的某个右（左）邻域内 有定义，若极限 lim lim f(xo+△x)-f(xo) △x→0+△x △x→0+ △x (△x→0) (△x→0) 存在，则称此极限值为f(x)在x,处的右（左）导数，记作 f4(x)(f'(x) 即 ()lim f(xo+△x)-f(x) △x0± △X 机动 目录 上页下页返回 结束
在点 0 y f (x) x 的某个右 邻域内 若极限 x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 则称此极限值为f (x) 在 处的右 导数, 0 x 记作 ( ) 0 f x 即 f (x0 ) x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 (左) (左) ( 0 ) x ( 0 ) x ( ( )) 0 f x 0 x 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束