数字角频车 如果定义©=Qr=2x了1了并且将2)的自变量用心表示，周期用u.表示，则 w=2T=2r 即￡，)的周期为2。“即为数字角频率，它是模拟域频率对采样频率￡的归一化。数字 角频率代表了序列值变化快慢的速率，它只有相对的时间意义，而没有绝对时间和频率的意义。 2)采样定理 如果信号x(t)是实带限信号，且最高频谱不超过2/2，即 Um网m< e2 那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为Ω2的 理想低通滤波器，可以将各次诺波调制频谱滤除，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原 出原来的连续信号。 如果信号最高频谱超过2/2，那么在理想采样 频谱中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的 x.(j2) 如 为间明 ,图甲将 (JS (2)为 0 22300 称采样 滤波恢复出来 叠频 XG)+ 像一面镜子，信号频谐超过它时，就会被折迭回来， 造成频谱混淆。 入入入入 奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失 02222.32s 真还原，采样领率必须大于信号最高频率的两倍，即 0.≥20 图1.4、频谱的混叠 实际工作中，为避免频谱混淆，采样频率总是选得 比两倍信 x更 可的 为避免高于折叠频率的杂散须谐 ,采样器前常常加个保护性的前置低通滤波器《抗混叠滤波器，健 0抗混选飞0采样保持器0威字信号@DA变换心 十AD变换器处理器■ 图、抗混叠滤波器 11
11 数字角频率 如果定义 并且将 的自变量用ω表示，周期用ωs表示，则 ωs=ΩsT=2π 即 的周期为 2π。ω即为数字角频率，它是模拟域频率对采样频率 fs的归一化。数字 角频率代表了序列值变化快慢的速率，它只有相对的时间意义，而没有绝对时间和频率的意义。 2)采样定理 如果信号 xa(t)是实带限信号，且最高频谱不超过 s/2，即 那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为 s/2 的 理想低通滤波器，可以将各次谐波调制频谱滤除，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原 出原来的连续信号。 如果信号最高频谱超过 s/2,那么在理想采样 频谱中, 各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的 “混淆”现象，如图。为简明起见，图中将 Xa(j) 作为标量处理，一般 Xa(j)为复数, 交叠也是复数 相加。当出现频谱混淆后，一般就不可能无失真地 滤出基带频谱，用基带滤波恢复出来的信号就要失真。 因此，称采样频率的一半 s/2 为折叠频率，它好 像一面镜子，信号频谱超过它时，就会被折迭 回来， 造成频谱混淆。 奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后 能够不失 真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍 ，即 Ωs≥2Ωmax。 实际工作中，为避免频谱混淆，采样频率总是选得 比两倍信号最高频率 max 更大些，如 s>(3~5)max。 同时，为避免高于折叠频率的杂散频谱 进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波器），阻 止高于 S/2 频率分量进入。 抗混叠滤波器
抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以采样频率为周期的周期延拓，为避 免采样信号频谱混迭产生失真而处理频带外的高频分量。 3)采样信号的拉氏变换 理想采样后，信号的拉氏变换在S平面上沿虚轴周期延拓，也即R()在S平面上的虚轴 上是周期函数。 4、采样的恢复（恢复信号） 如果理想采样满足奈奎斯特定理，信号最高频率不超过折迭频率，即x心网)- K.Um问<h 0q22 则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有文U)=x.(A),口<Ds 可见，将采样信号￡，)通过一个理想低通滤波器（只让基带须谱通过），其带宽等于折 迭频率2s2,频率特性如图1.5。 GG)+ go T i.()-cG) +y-x⑨ 就可滤出原信 r())()-x)2 也就恢复了模拟信号： 图1.5、采样的恢复 u(t=(t) 实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可 实现网络去逼近。 5、采样内插公式 问题：如何由采样信号表示连续信号，采样信号￡)通过理想低通滤波器G(2)的响应是什 么 内插公式推导 理想低通G(2)的冲激响应为 g=六工(J)4=天度mn- 2 = 2 频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为 x()-E2()ge-+Hr-x.()5(r-nT)g(-+)dr -三上x8e-04r三x,8e-a) 这里，g-nT称为内插函数，gt-nT)= 血无化-nT) 产e-nT) 其特点为：在采样点T上，函数值为1，其余采样点上为零。 将内蛋面数代入前面的害织公式。可将保样片插公式七构一三5们也三-” E使-) 采样内插公式告诉我们，连续函数x)可以由它的采样值xT来表示，它等于x(T乘 对应的内插函数的总和，即x,)=∑x8- 其中非-m.血- 为内插函数，如图1.6。 行t-) 12
12 抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以采样频率为周期的周期延拓，为避 免采样信号频谱混迭产生失真而处理频带外的高频分量。 3)采样信号的拉氏变换 理想采样后，信号的拉氏变换在 S 平面上沿虚轴周期延拓，也即 在 S 平面上的虚轴 上是周期函数。 4、采样的恢复（恢复信号） 如果理想采样满足奈奎斯特定理，信号最高频率不超过折迭频率，即 则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有 ，││< S 可见，将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折 迭频率 S/2，频率特性如图 1.5。 采样信号通过此滤波器后， 就可滤出原信号的频谱： 也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)。 实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可 实现网络去逼近。 5、采样内插公式 问题：如何由采样信号表示连续信号，采样信号 通过理想低通滤波器 G(j)的响应是什 么？ 内插公式推导 理想低通 G(j)的冲激响应为 频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为 这里，g(t-nT)称为内插函数， 其特点为：在采样点 nT 上，函数值为 1，其余采样点上为零。 将内插函数代入前面的卷积公式，可得采样内插公式： 采样内插公式告诉我们，连续函数 xa(t)可以由它的采样值 xa(nT)来表示，它等于 xa(nT)乘上 对应的内插函数的总和，即 其中 为内插函数，如图 1.6
snlx(t-nT)/T】 x(-T)/T (=1)1 +3)T 2T 3 图1.6、内插公式 图1.7、采样内插恢复 图17为由采样内插恢复的连续信号。图中，在每一个采样点上，由于只有该采样值对应 的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插 函数的波形延伸迭加而成。 内插公式表明只要满足采样频率高于两倍信号最高频率，整个连续信号就可以用它的采样 值完全代表，而不损失任何信息，这就是奈奎斯特定律。 总结： 要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。 即2，≥22，这就是奈奎斯特取样定理。马常称作折叠领率 例1.已知一模拟信号x3cos(20tH5sim(60H10cos(120),f5=50H。试求：抽样后的xn), 若从x)信号恢复成连续信号，是香与原模拟信号一样，为什么？ 模拟信号 袖样德子 10 2 恢复信马 触件信号频达 400 300 0.5 例3.一个声音信号 x(=2Acos(10000)+2Bcos(30000+2Ccos(50000+2Dcos(60000) 试问(1)这个信号是由哪些频率构成的？(cms) (2)信号的哪些部分是可以听到的，为什么？ (3)如果前置滤波器的截止频率为20kHz,听到的是什么？ 前置 x(t) 滤波器 fs=40kHz y(n) D/A y0 H(f 抽样器 13
13 图 1.7 为由采样内插恢复的连续信号。图中，在每一个采样点上，由于只有该采样值对应 的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插 函数的波形延伸迭加而成。 内插公式表明只要满足采样频率高于两倍信号最高频率，整个连续信号就可以用它的采样 值完全代表，而不损失任何信息，这就是奈奎斯特定律。 总结： 要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。 即 这就是奈奎斯特取样定理。 例 1.已知一模拟信号 x(t)=3cos(20πt)+5sin(60πt)+10cos(120πt)，fs=50Hz。试求：抽样后的 x(n)， 若从 x(n)信号恢复成连续信号，是否与原模拟信号一样，为什么？ 例 3.一个声音信号 x(t)=2Acos(10000πt) +2Bcos(30000πt)+2Ccos(50000πt)+2Dcos(60000πt) 试问（1）这个信号是由哪些频率构成的？(t:ms) （2）信号的哪些部分是可以听到的，为什么？ （3）如果前置滤波器的截止频率为 20kHz，听到的是什么？ s 2h . 2 s 常称作折叠频率 x(t) y(n) ya(t) y(t) fs=40kHz 抽样器 D/A 前置 滤波器 H（f）
第一章习题分类： 。1.1- -1,2,3,4 512 -5,6,7,8 ·§1.39.10 81411 综合题：12 ·提高题：13 ·补充题：14 第二章z变换 ·Z变换 了反变换 ·Z变换性质 Z变换，拉氏变换与DFT傅里叶变换之间的关系 ·系统响应与频率响应 学习要求：熟练掌握付氏变换、Z变换和系统函数。☐ 2-1引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种 一时域分析法 1连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷 积积分。 2离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。 变换域分析法 1连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。 2.2Z变换 一、Z变换的定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解。为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定 性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离 散系统和离散信号的重要工具。 个高散序列x()的Z变换定义为X(2)=立x(a)z· ,其中z为复变量，是 双生受酒产定平面的宝地个中质条：平 单边2变换定义为：X().乏x(a)z·,即只对单边序列(0部分)进行2变换。 单边2变换可以看成是双边变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。 二、z变换的收敛域 x回-元 14
14 第一章习题分类： • §1.1——1，2，3，4 • §1.2——5，6，7，8 • §1.3——9，10 • §1.4——11 • 综合题：12 • 提高题：13 • 补充题：14 第二章 z 变换 • Z 变换 • Z 反变换 • Z 变换性质 • Z 变换，拉氏变换与 DFT 傅里叶变换之间的关系 • 系统响应与频率响应 学习要求：熟练掌握付氏变换、Z 变换和系统函数。 2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷 积积分。 2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。 二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统：Z 变换，DFT(FFT)。Z 变换可将差分方程转化为代数方程。 2.2 Z 变换 一、Z 变换的定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解。为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定 性和频率响应等，需要研究离散时间系统的 z 变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离 散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列 x（n）的 Z 变换定义为 ，其中 z 为复变量，是 一个以实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面上的变量，这个平面也称 z 平面。 双边 z 变换定义为： 单边 z 变换定义为： ，即只对单边序列（n>=0 部分）进行 z 变换。 单边 z 变换可以看成是双边 z 变换的一种特例，即因果序列情况下的双边 z 变换。 二、z 变换的收敛域
一般，序列的？变换 并不一定对任何飞值都收敛，z平面上使上述级数 收敛的区域称为“收敛域”， 一般Z变换的收敛域为：R-(z(R 我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足 (n)z 因为对于实数序列， 元k()z=Σk()"<。 因此 2值在一定范周围内才能满足 对可和条件，这个范围一般表不为 或空心圆 jIm[z] )四种序列的2变换收 R a有限长序列 其它 ,收敛域为0水∞。 1.11,乙变换的收敛城 因为X(2)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换 的收敛域取决于z<o,≤n≤a 显然在整个开域(0，∞)都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除0及∞两个点 (对应n>0和n<0不收敛)以外的整个Z平面：0水∞。如果对1，加以一定的限制，如 n120或n20 则根据条件z(∞(n≤n≤)，收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半 开域：J0<s∞m≥0 0到8K0n2≤0 例1、序列x()=6(m) X(z)=Σ6(r)z"=1xz0=1 由于1，==0，其收敛域为整个闭域子平面，0≤z≤∞。 例2.矩形序列x(n)=R(n) x（)- k(w)1-1++1-1-m+w-w 等比级数求和 ()=101zK0 b.右边序列 指x(n)只在n≥n,有值，而n(m时，X(n)=0,这时x(a)-x)z 其收敛域为收敛半径R以外的z平面，即2>R 右边序列中最重要的 种序列是“因果序列”即10的右边序列，因果序列只在≥0有值， n(0时，x(n)=0,其z变换为：X(z)=2x(a)z z变换的收敛域包括∞点是因果序列的特征】 证明： 如果nl<0,则选择任一整数n2>0,使得 三kz三kz+三ka)z 由于第一项为有限长序列的乙变换，在(0， )收敛。对于第 之K清足，R·<。所以Xa时R上收敛。0，找味R 由此可进一步证明、在R圆以外、即R 15
15 一般，序列的 Z 变换 并不一定对任何 z 值都收敛，z 平面上使上述级数 收敛的区域称为“收敛域”。一般 Z 变换的收敛域为： Rx-〈|z|〈Rx+ 我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此 z 平面的收敛域应满足 因为对于实数序列， 因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为 Rx-〈|z|〈Rx+ 。 这就是收敛域，一个以 Rx-和 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx- 和 Rx+ 称为收敛半径， Rx-和 Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为 Rx-或 Rx+等于 0，这时圆环变成圆 或空心圆。 四种序列的 Z 变换收敛域 a. 有限长序列 序列 ,其 Z 变换 ,收敛域为 0<|z|<∞。 因为 X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列 z 变换 的收敛域取决于|z|-n<∞， ≤n≤ 。 显然|z|在整个开域（0，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及∞两个点 （对应 n>0 和 n<0 不收敛）以外的整个 Z 平面：0<|z|<∞。如果对 n1，n2 加以一定的限制，如 n1≥0 或 n2≤0，则根据条件|z|-n<∞（n1≤n≤n2），收敛域可进一步扩大为包括 0 点或∞点的半 开域： 例 1、序列 x(n)=δ(n) 由于 ，其收敛域为整个闭域子平面，0≤|Z|≤∞。 例 2． 矩形序列 x（n）=RN（n） 等比级数求和 b. 右边序列 指 x（n）只在 n≥n1，有值，而 n〈n1时，x （n）=0，这时 其收敛域为收敛半径 Rx-以外的 z 平面，即|z|>Rx-。 右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”即 n1=0 的右边序列，因果序列只在 n≥0 有值， n〈0 时，x（n）=0，其 z 变换为： z 变换的收敛域包括∞点是因果序列的特征。 证明： 如果 n1<0,则选择任一整数 n2>0,使得 由于第一项为有限长序列的 Z 变换，在（0，∞）收敛。对于第二项，总能在（0，∞）找到|z|=R （如 R≥2MAX[X(n)])满足 所以 X(z)在|z|=R 上收敛。 由此可进一步证明，在 R 圆以外，即 R<|z|<∞，x（Z）也必收敛。 再看第二项，由于 n>n2≥0，|Z|>R，因此|z|-n<R-n，故