三(m)zΣls三F)k”<m 六三()z,R<z<四 由此证明右边序列的收敛域为zR c.左边序列 n只在n≤有值，n)时，x(n)=0x()-艺(a)z 其收敛域在收敛半径为R的圆内，即Z《R 证明：如x(z)在R上收敛，即。 1x()R”<m 则在0似(R上也必收敛，任选一整数≤0， 三kz三z+空kez ·整个级数在以(R上有三k()z<收敛域Rx d.双边序 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列 2变换收微域的公共部分。x(=立x)-三xar~+三o): 如果R>R,则存在公共的收敛区间，X(z)有收敛域，R水R 如果R<R,无公共收敛区间，X(z)无收敛域，不收敛。 z变换收敛域的特点： ·收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x()=6(n) 的收敛域是整个z平面： 在收敛域内没有极点，X(z)在收敛域内每一点上都是解析函数。 z变换表示法： 级数形式 ·解析表达式（注意只表示收敛域上的函数，同时要注明收敛域）。 2.3反Z变换 已知函数x(2)及其收敛域，反过来求序列x(m)的变换称为逆z变换，常用Z[x(2)]表示。 X)=三xnz”若 R,<zkR 则逆z变换的一般公式为(a)2可X(2江也 cE(B-R) 量明，司2)·司豆xm)恤 1 =x(m) 2对及2电 设积分路径C在半径为R的圆上，k=n 即z=Re“,R<R<R,则 司-“冠级-e-.je"d0 .a9.0±：8 R去 这个公式称为柯西积分定理。 三(w)2司红也=xw) (化三#一撰) 16
16 ∴ 由此证明右边序列的收敛域为|z|〉Rx-。 c. 左边序列 序列 x（n）只在 n≤n2有值，n〉n2时，x（n）=0 其收敛域在收敛半径为 Rx+的圆内，即|Z|〈Rx+。 证明： 如 x（z）在|z|=R 上收敛，即 则在 0〈|z|〈R 上也必收敛，任选一整数 n1≤0， ∴ 整个级数在|z|〈R 上有 收敛域|z|<Rx+。 d. 双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。 如果 Rx+>Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域， Rx-<|z|<Rx- 如果 Rx+<Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛。 z 变换收敛域的特点： • 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有 x（n）=δ（n） 的收敛域是整个 z 平面； • 在收敛域内没有极点，x（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。 z 变换表示法： • 级数形式； • 解析表达式（注意只表示收敛域上的函数，同时要注明收敛域）。 2.3 反 Z 变换 已知函数 X(z)及其收敛域，反过来求序列 x(n)的变换称为逆 z 变换，常用 Z-1[X(z)]表示。 若 则逆 z 变换的一般公式为 逆 z 变换是一个对 X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径 C 是一条在 X（z）收敛环域（Rx-，Rx+） 以内反时针方向绕原点一周的单围线。 证明： 设积分路径 C 在半径为 R 的圆上，k=n-m，即 z=Rejθ， Rx-<R<Rx+，则 这个公式称为柯西积分定理
因此 或x(e)女-) c∈（R,-,R.) 直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求反变换。 求解变换的常用方法有 ·留数定律法 ·部分分式法 如果得到的z变换是幂级数形式的，则可以看出，序列值x()是幂级数 x (=)=(m)z 中项的系数 如果已经 出X(2)的函数表示，我们常常可以推导它的幂级数展开式或者利 的 在围线C 新有极点 智数阻钢数定律计算=ERes[X(2,a即为 如果u是单阶极点，则Res[X(z)z”,z]=(z一2X(z)zlz=z 如果a是N阶极点，则ReX独z]=2,)x2"L 常用序列z变换 1<1z5✉ Rx (E) ，0zsa au(n)e T-c lcklzk 2.42变换的性质 z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到 序列 2变换 收敛域 1)x(n) (z) R.<z<Rx 2)y(n 3)ar(m)+by( aX(z)+bY(z) max[R.+R,]<lz|<min[R+R+] 4)x(n+no) ZX(Z) R.<<R 5)a'x(n) X(az) lalR.<4<lalR 6)x(m 一心阿 R<4<R 7)x*(@) X(2*) R<☑<Rx 8)g-n) X1/z) 1/R.<z<1/R 9》x(m)y) ()Y() max[R.+<lz|<min[R.-R.-] 10)x(my() 2可X()(恤RR<以RR 11)x(0)=x(0) (因果序列)12>R 12)x(x)=Res X(2), (2-1)x(a)收敛于1z≥ z变换的性质可由正反z变换的定义直接推导而得。 性质)Zaw1三azwr·乏Xa)·Ka- =zn交z-之e =Z[mc (n)] 17
17 因此 或 直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求 Z 反变换。 求解逆 z 变换的常用方法有： 幂级数 留数定律法 部分分式法 如果得到的 z 变换是幂级数形式的，则可以看出，序列值 x(n)是幂级数 中 z-n项的系数，如果已经给出 X(z)的函数表示，我们常常可以推导它的幂级数展开式或者利 用已知的幂级数展开式。用长除法可获得幂级数展开式。 对于有理的 z 变换，围线积分通常可用留数定律计算，x(n)＝∑Res[X(z)zn-1 ，zk]，即为 X(z)zn-1在围线 C 内所有极点{zk}上留数值的总和。 如果 zk是单阶极点，则 Res[X(z)zn-1 ，zk]＝(ｚ－zk) X(z)zn-1│ｚ=zk； 如果 zk是 N 阶极点，则 。 常用序列 z 变换： 2.4 z 变换的性质 z 变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。 序列 z 变换 收敛域 1)x(n) X(z) Rx-< |z| <Rx+ 2)y(n) Y(z) Ry-< |z| <Ry+ 3)ax(n)+by(n) aX(z)＋bY(z) max[Rx-+Ry-]<|z|<min[Rx+,Ry+] 4)x(n+no) z noX(z) Rx-< |z| <Rx+ 5)a n x(n) X(a -1z) |a|Rx-< |z| <|a|Rx+ 6)nx(n) Rx-< |z| <Rx+ 7)x*(n) X*(z*) Rx-< |z| <Rx+ 8)x(-n) X(1/z) 1/Rx-< |z| <1/Rx+ 9)x(n)*y(n) X(z)Y(z) max[Rx-+Ry-]<|z|<min[Rx+,Ry+] 10)x(n)y(n) Rx-Ry-< |z| <Rx+Ry+ 11)x(0)=x(∞) (因果序列)|z|>Rx- 12)x(∞)=Res[X(z),1] (z-1)X(z)收敛于|z|≥1 z 变换的性质可由正反 z 变换的定义直接推导而得。 例：性质 5）
性质6) 帕塞伐尔(Parseval)定理 2变换的重要性质之一 若有两序列x(n),y(n),且 x (z)=Z[x (n) R (Izl (R. Y (z)=Zly (n) R(☑(R gwo0 ，C所在收敛域在X(v)和Y*(1N)两者收敛区域的重迭范围内Max[Rx,1/Ry水KM <minR,l/RJ。 ① 正明 zx+.a9m 利用复序列共轭及复数乘积特性： Z[x(m)y(n)】= 河e1 R-R,-<1zKRR,. 哪()=zw(〗 f.x(v)(v) 由于假设条件中 无E 敛 Kx-Ky- (1 (R-R,- 因此1在收敛域内，即W2在单位圆上收敛，W2l存在， ")=2x()y*%*-咖 又因w-三xy*z4三m)y) 因此 三ym)=可xwy*以，- 证毕。 如果X()、Y(~)在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时= 豆xy*(a)-2元xe“)r*(“)dw 序列能量的计算： Parseval定理的一个重要应用是计算序列能量。 因 2k(a)= (n)x(n)= lx(el)P da 可见，时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。 2.5Z变换，拉氏变换与DFT博里叶变换之间的关系 序列的z变换：m→xe)即x=立“ 连续时间信号的Laplace变换：x,→X,(s)即X=x,e”d山 连续时间信号的Fourier变换：x,仞→X,2)即X.m)=x,仞e0d 一，Z变换与拉氏变换的关系 1理想抽样信号的拉氏变换 设x,)为连续信号，)为其理想抽样信号，它们的Laplace变换分别为：X,侧=x,(】 18
18 性质 6） 帕塞伐尔（Parseval）定理——z 变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z[x（n）] Rx-〈|z|〈Rx+ Y（z）=Z[y（n）] Ry-〈|z|〈Ry+ 它们的收敛域满足条件：Rx- Ry-〈1， Rx+Ry+〉1 则 ，C 所在收敛域在 X(v)和 Y*(1/v*)两者收敛区域的重迭范围内 Max[Rx-,1/Ry+]< |v| <min[Rx+,1/Ry-]。 证明： 令 w（n）=x(n)*y(n) 利用复序列共轭及复数乘积特性： 则 由于假设条件中已规定收敛域满足 Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+ 因此|z|=1 在收敛域内，即 W(z)在单位圆上收敛，W(z)|z=1 存在， 又因 因此 。 证毕。 如果 X(v)、Y(v)在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时 v=e jω 序列能量的计算： Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量。 因 可见，时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。 2.5 Z 变换，拉氏变换与 DFT 傅里叶变换之间的关系 序列的 z 变换： x(n) X (z) 即 n n X(z) x(n)z 连续时间信号的 Laplace 变换： x (t) X (s) a a 即 X (s) x (t) e dt st - a a 连续时间信号的 Fourier 变换： x (t) X ( j) a a 即 X (j ) x (t) e dt j t - a a 一. Z 变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号，它们的 Laplace 变换分别为： X (s) [x (t)] a a xa (t) ( ) xˆ t a
文(s)=民，（则元=。）e“dh而元0=∑x.0-T) 故 文.(s)=[民.(】=)e"d =[∑xnT)8t-nrk"d =[x.(nT)e-"6(t-nT)di =立e=立x,re因此，.)==*.(TXe" 序列x)的z变换为xe)=∑”，考虑到xm)=x(nT),显然，当：=e时，序列回)的 z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 即x(el=X(e")=(s 2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系) S平面用直角坐标表示为：s=G+2 Z平面用极坐标表示为：三=" 因由于 所以有 与0的关系 这就是说，Z的模只与S的实部相对应，乙的相角只与S虚部Q相对应。 S平面的虚轴 =1即平而单位圆 0<0,即S的左半平面 r<1,即Z的单位圆内 。>0,即S的右半平面它1.即Z的单位圆外 (2).0与2的关系(o=0T) Q=0,S平面的实轴， 0=0,Z平面正实轴： 2=2(常数)，S:平行实轴的直线， 图2-170分别快射成 0=2,T,Z始于厚点的射线： Qe(- 的水平条带 二查换和傅氏变换的关系 /T 连续信号经理想抽样后，其频谱产生周期延拓， 即.(=2xU-k2 E虚轴 图218￥平面与平面的多值射关系 X(e=X(e)=X.(jΩ) (以：平面左*平国为，：有华平面则以相同方式院射到：平单位周外 这就是说，（抽样）序列在单位圆上的Z变换，就等于理想抽样信号傅氏变换。 数字频率作为乙平面的单位圆的参数，“表示Z平面的辐角，模拟频率Q为s平面虚轴。 则 虑到o=T,则Xe=X(e)=,() 又：Um=7ΣX,Um-5xl=xe)=之xU°-2) 所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。 第一章第四节内容： 19
19 则 X (s) x (t) e dt st - a a 而 故 序列 x(n)的 z 变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列 x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 2. Z 变换与拉氏变换的关系( S、Z 平面映射关系） S 平面用直角坐标表示为： Z 平面用极坐标表示为： 又由于 所以有： 因此， ;这就是说，Z 的模只与 S 的实部相对应, Z 的相角只与 S 虚部Ω相对应。 (1).r 与σ的关系 σ=0,即 S 平面的虚轴 r=1,即 Z 平面单位圆； σ<0,即 S 的左半平面 r<1,即 Z 的单位圆内； σ>0, 即 S 的右半平面 r>1,即 Z 的单位圆外。 (2).ω与Ω的关系（ω=ΩT） Ω= 0，S 平面的实轴， ω= 0，Z 平面正实轴； 0 (常数)，S:平行实轴的直线， 0T , Z: 始于原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个 z 平面. 二. Z 变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 S=jΩ 的特例,因而映射到 Z 平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的 Z 变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω作为 Z 平面的单位圆的参数，ω表示 Z 平面的辐角，模拟频率 Ω为 s 平面虚轴， 则 有 所以，序列在单位圆上的 Z 变换为序列的傅氏变换。 第一章 第四节内容： n n sT n a nTs a n st a st n a st a a a x nT e x nT e x nT e t nT dt x nT t nT e dt X s L x t x t e dt ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ) ( )] ( ) [ˆ ( )] ˆ ( ) ˆ （ n sT n a a a X (s) L[xˆ (t)] x (nT)(e ) 因此， ˆ n n X z x n z ( ) ( ) x(n) x (nT) a sT z e ( ) ˆ X (z) X (e ) X s a sT z esT 即 s j j z re sT z e j T j T z re e e r e T T , ( ) T r e T T T 2 ( , ), (, ) k a a T X j jk T X j ) 2 ( 1 ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) X z X e X j a j T j T z e T 考虑到 T，则 ( ) ˆ ( ) ( ) X z X e X j a j j z e k a a T X j jk T X j ) 2 ( 1 ( ) ˆ 又 ) 2 ( 1 ( ) ( ) k a j T k X j T X z X e j z e xˆ (t) x (t) (t nT) n - a a Xˆ (s) [xˆ (t)] a a
1.4系统函数与频率响应 1、 我们知道，用单位脉冲响应h()可以表示线性时不变离散系统，这时 (n) 两边取z变换Y(2=X(2jHz) 则倒 ,定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z变换。单位圆上的系统函数2=®“就 是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。 2、几种常用系统 因果系多 单位脉冲响应h()是因果序列的系统，其系统函数H2)具有包括∞点的收 敛域：Rx-<Z≤ 因此 位脉冲响应 (n) 满足绝对可和，例< 统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个 2)的全部极点在单位圆以内 因此 因果稳定系统的系统 函数的全部极点必须在单位圆以内 3、差分方程与系统函数 我们知道，线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程 两边取z变换： 2,m)-点aaD 玄rz'7(e=点a'x( 于是 H(z)=”(2) 号 上式的分子与分母多项式也可用因子的形式米表示日)-4身Q-6: na-d=) 式中c}是H(z)在z平面上的零点，{，是H(z)在z平面上的极点，因此，除比例常数A 以外，整个系统函数可以由全部零、极点来唯一确定。 4、系统函数的 系统数，收敛域 一个系统时 ,H(z)的收敛域对确定系统性质很重要。相同的 的系统可能完全不同。 )例1：已知系统函数为)=-050-01可 10 <zls oo 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 但单位圆不在收敛城内，因比可判定系统是不投定的敛域包括四点，因此系统一定是因果系统。 系统函数H(2)有两个极点，1=0.5 不稳定的。 h(a)=z[日(2】 ∫Resl▣(z)z-,0.5+Resl▣(z)z,10」n20 0 n<0 的 05-10h) 例2：系统函数不变，但收敛域 H=-0z0-02 0.5zK10 求单位脉冲响应及系统性质。 解：收敛域是包括单位圆而不包括©点的有限环域，判定系统是稳定的，但是非因果的。 H(z)z4- 2-0.50-0.1z) 有一n阶极点出现在z=0处，因此
20 1.4 系统函数与频率响应 一、系统函数 1、定义 我们知道，用单位脉冲响应 h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时 y（n）=x（n）*h（n） 两边取 z 变换 Y(z)=X(z)H(z) 则 定义为系统函数。它是单位脉冲响应的 z 变换。单位圆上的系统函数 z=ejω 就 是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的 z 变换来描述线性时不变离散系统。 2、几种常用系统 因果系统——单位脉冲响应 h（n）是因果序列的系统，其系统函数 H(z)具有包括∞点的收 敛域：Rx- <|Z|≤∞ 稳定系统：单位脉冲响应 h（n）满足绝对可和， 因此稳定系统的 H（z）必须在单位圆上收敛，即 H(ejω )存在。 因果稳定系统：最普遍最重要的一种系统，其系统函数 H（z）必须在从单位圆到∞的整个 领域收敛，即 1≤∣Z|≤∞ ， H（z）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统 函数的全部极点必须在单位圆以内。 3、差分方程与系统函数 我们知道，线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑 N 阶差分方程 两边取 z 变换： 于是 上式的分子与分母多项式也可用因子的形式来表示 式中{ci}是 H（z）在 z 平面上的零点，{di}是 H（z）在 z 平面上的极点，因此，除比例常数 A 以外，整个系统函数可以由全部零、极点来唯一确定。 4、系统函数的收敛域 用系统函数 H（z）表示一个系统时，H（z）的收敛域对确定系统性质很重要。相同的 系统函数,收敛域不同,所代表的系统可能完全不同。 例 1：已知系统函数为 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 系统函数 H（z）有两个极点，z1=0.5 ,z2=10。收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统， 但单位圆不在收敛域内，因此可判定系统是不稳定的。 例 2：系统函数不变,但收敛域不同 求单位脉冲响应及系统性质。 解: 收敛域是包括单位圆而不包括∞点的有限环域，判定系统是稳定的,但是非因果的。 用留数定理求 H(z)的反变换: 注意到极点 z2=10 在积分围线（收敛域内的围线）以外,并且要考虑 n<0 时, 有一 n 阶极点出现在 z=0 处，因此