x(n)=Ae=Ae"(cosan+jsinn) 当a=0时n)的实部和虚部，分别是余弦和正弦序列， 二、序列的运算 1、序列的移位)=x-m当m为正时，x(-m)表示依次右移m位： x(叶m)表示依次左移m位。 2、序列的相加m=xm+n)是指同序号n的序列值逐项对应相加得一新序列。 3、序列的相乘 m))是指同序号()的序列值逐项对应相乘 4、序列的翻 如果有xO,则n是以n0为对称轴将x)加以翻的序列 5、序列的累加 =∑x)表示n以前的所有x()的和。 6、前向差分和后向差分 △x(m)=x(n+1)一x(m)(先左移后相减)：7x(m=x(n)-x(n-1)(先右移后相减) 7、序列的尺度变换 抽取：x →xm,m为正整数插值：x创 →xm,m为正整数 101 图1序列xm)及超前序列x+) 8-101 图15序列x)及其累加序列ym) ar(a) 01 图1-2两序列相如 图13序列xn)及翻裙后的序列x(m c(u 2-1012 (a) (b) 图1-7某序列及其抽取序列 8、序列的卷积和 6
6 当 时 x(n)的实部和虚部，分别是余弦和正弦序列。 二、序列的运算 1、序列的移位 y(n)=x(n-m) 当 m 为正时，x(n-m)表示依次右移 m 位； x(n+m)表示依次左移 m 位。 2、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)是指同序号 n 的序列值逐项对应相加得一新序列。 3、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。 4、序列的翻褶 如果有 x(n),则 x(-n)是以 n=0 为对称轴将 x(n)加以翻褶的序列。 5、序列的累加 表示 n 以前的所有 x(n)的和。 6、前向差分和后向差分 （先左移后相减）； （先右移后相减） 7、序列的尺度变换 抽取：x(n) x(mn), m 为正整数； 插值： x(n) x(n/m), m 为正整数。 图 1-1 序列 x(n)及超前序列 x(n+1) 图 1-5 序列 x(n)及其累加序列 y(n) 图 1-2 两序列相加 图 1-3 序列 x(n)及翻褶后的序列 x(-n) 图 1-7 某序列及其抽取序列 8、序列的卷积和 0 ( ) 0 0 ( ) (cos sin ) j n n x n Ae Ae n j n 0 n k y(n) x(k) x(n) x(n 1) x(n) x(n) x(n) x(n 1)
设序列xn,hn,它们的卷积和ym)定义为 m）=∑xmhn-m)=2hmxn-m=xn*hm 卷积和计算分四步：折选（翻榴，位移，相乘，相加。 1 012 h(一1一知】 -3-2-1】 4(1-m) -+1>0右愁 1.1瓶 -1012145m 图1-8X和h(n)的卷积和图解 三、序列的周期性 存在 一个最小的正整数N,满足Fx(+N,则序列()为周期性序列，N为周期。 四、用单位抽样序列表示任意序列 1、任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和. m=工m6a-m 2.、n)亦可看成n)和8(n)的卷积和 五、序列的能量 xm)的能量定义为 E=∑lnf 第一章第二节内容： 1-2 线性移不变系统 一、 线性系统 系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即 y(n)=T[x(n)] n人 离散时间系统 T[z(n)] 线性系统具有均匀性和迭加性 y (n)=T[x(n)]y2 (n)=T[x(m)] Tlax(n)+a.x:(n)]=aT(n)]+aTx:(n)] 加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。 二、移不变系统 如Tx(Fy,则Tx(n-m-y(-m),满足这样性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统
7 x(n) 离散时间系统 T[x(n)] y(n) 设序列 x(n), h(n), 它们的卷积和 y(n)定义为 卷积和计算分四步：折迭(翻褶), 位移, 相乘, 相加。 图 1-8 x(n)和 h(n)的卷积和图解 三、序列的周期性 如果存在一个最小的正整数 N, 满足 x(n)=x(n+N), 则序列 x(n)为周期性序列, N 为周期。 四、用单位抽样序列表示任意序列 1、任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和. 2.、x(n)亦可看成 x(n)和δ(n)的卷积和 五、序列的能量 x(n)的能量定义为 第一章 第二节内容： 1-2 线性移不变系统 一、线性系统 系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即 线性系统具有均匀性和迭加性： *加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。 二、移不变系统 如 T[x(n)]=y(n),则 T[x(n-m)]=y(n-m), 满足这样性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。 y(n)=T[x(n)] m m y(n) x(m)h(n m) h(m)x(n m) x(n) h(n) m x(n) x(m) (n m) n E x n 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 T a x n a x n a T x n a T x n y n T x n y n T x n
y(n)x(m)sin(2。+)不是移不变 *系统操作=函数操作 三、单位抽样响应与卷积利 第一章第三节内容： 四线性移不变系统的性质 1.交换律(n)=x(m)*h(m)=m)*x(m) 2.结合律 x(m)*h()*h,(m)=[x()*h(n]*2(n) =[(n)*h(n*h(m) =x(n)*[h,(m)*h(n] 3.对加法的分配律x(m)*[h,(n)+h(n =x(n)*h,(n)+x(n)*h(n) 五因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际系统一般是因果系统 *对图象、己记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统 *y(nFx-n)是非因果系统，因<0的输出决定n>0时的输入： 线性移不变因果系统的充要条件为h(n=0,n<0。 六稳定系统 有界的输入产生有界的输出系统。 线性移不变稳定系统的充要条件是 ∑h(n=p< 第一章第四节内容 1-3常系数线性差分方程 离散变量n的函数n)及其位移函数xn-m)线性叠加而构成的方程 一表示法与解法 1.表示法 a0n-k)=26xn-m 幸常系数：al.al. :b0b.bM均是常数（不含n 阶数：y)变量n的最大序号与最小序号之差 如N=N0 ◆线性：yn-k),x血-m)各项只有一次幂，不含它们的乘积项。 2.解法 时域：迭代法，卷积和法
8 *系统操作=函数操作 三、单位抽样响应与卷积和 第一章 第三节内容： 四.线性移不变系统的性质 1.交换律 2.结合律 3.对加法的分配律 五.因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统, 因 n< 0 的输出决定 n>0 时的输入; 线性移不变因果系统的充要条件为 h(n)=0，n< 0。 六.稳定系统 有界的输入产生有界的输出系统。 线性移不变稳定系统的充要条件是 第一章 第四节内容： 1-3 常系数线性差分方程 离散变量 n 的函数 x(n)及其位移函数 x(n-m)线性叠加而构成的方程. 一.表示法与解法 1.表示法 * 常系数：a0,a1,.,aN ; b0,b1,.,bM 均是常数（不含 n）. *阶数：y(n)变量 n 的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0. *线性：y(n-k), x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。 2.解法 时域：迭代法，卷积和法; 2 ( ) ( ) sin ( ) 9 7 yn xn n 不是移不变 y(n) x(n)h(n) h(n) x(n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 x n h n h n x n h n h n x n h n h n x n h n h n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 x n h n x n h n x n h n h n n h(n) p N k M m ak y n k bm x n m 0 0 ( ) ( )
变换域：Z变换法 二用迭代法求解差分方程 1.“松驰”系统的输出 起始状态为零的系统 ,这种系统用的较多，其输出就是y()=x(m)*hn) 因此，已知h(n)就可求出y(n),所以必须知道h(n)的求法. 2.迭代法（以求h(n)为例） 例：已知常系数线性差分方程为yn-yn-l)=n),试求单位抽样响应h(n) 解：因果系统有hn=0,n<0; 方程可写作：y=yn-1)+xm) in)=muin-D+rin) hm)=a".n20 1=ah0)+1=a-1+0=d 0.n<0 2) )=a2+0= 注意： <是稳定系统 1。一个常系数线性差分方程架二代表茵架泰矣，采一定表示线性移不变系统。这些都由 边界条件（初始）所决定。 2我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统 二系统结构 1系统的输入与输出的运算关系的表述方法 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b0x(n)-alyn-l1) 用⊕表示相加器： 用☒表示乘法器 用Z表示 一位延时单元 例：差分方程yn=b0xaly-l)表示的系统结构为： 《m》。 y。 1-4连续时间信号的抽样 一抽样器与抽样 1.抽样器 0一 ()器的原 2.抽样 对信号进行时间上的量化， . 这是对信号作数字化处理的 一个环节。 p) 11 4 =月 ilm. b)实精号
9 变换域：Z 变换法. 二.用迭代法求解差分方程 1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是 。 因此，已知 h(n)就可求出 y(n)，所以必须知道 h(n)的求法. 2.迭代法（以求 h(n)为例） 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应 h(n). 解：因果系统有 h(n)=0,n<0 ; 方程可写作: y(n)=ay(n-1)+x(n) 注意： 1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由 边界条件（初始）所决定。 2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。 三.系统结构 1.系统的输入与输出的运算关系的表述方法。 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b0x(n)-a1y(n-1) 用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延时单元。 例：差分方程 y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为： 1-4 连续时间信号的抽样 一.抽样器与抽样 1.抽样器 2. 抽样 对信号进行时间上的量化， 这是对信号作数字化处理的 第一个环节。 y(n) x(n)h(n) n n h n ah n n a a h ah a a h ah a a h ah h n ah n n x n n y n h n y n ay n x n ( ) ( 1) ( ) 0 (2) (1) (2) 0 (1) (0) (1) 1 0 (0) ( 1) (0) 0 1 1 ( ) ( 1) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 1) ( ), 2 2 因此 当 故 0, 0 , 0 ( ) n a n h n n a 1是稳定系统 1 Z T fs 1
问题： ·信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）： ·信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）： 抽样与理想抽样 实际抽样 p为脉冲序列 般由电开关组成，开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现 一次采样 次闭合T秒 米蒂的御出是一甲 ,宽度为工的 脉 的隔 期为、宽度为：的E形脉冲。 出为 制信号是输入的连续信号x),则采样 ：很小，越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。 理想抽样：p()=6,()(冲激序列) 当抽样器的电开关闭合时间τ→0时，为理想采样。 采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等 于输入信号在采样瞬间的幅度，即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。 示 M9=∑0-力 则有理想采样信号可表示为：元)=元，付M0=立x8(t-m=立x,8t-m 说明：实际情况下，t=0达不到，但K<T时，实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实 际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程的所有本质特性，理想采样对Z 变换分析相当重要 3采样信号的频谱 1)频谱延拓 问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号频谱的关系？ .U0=号x.Un-mm) 其中 心为理想采样信号的频谱， X网为连续信号的付氏变换。显然，元.(是频率 Q的连续函数。 xn) (8) x(n) 10
10 问题： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）； 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）； 由离散信号恢复连续信号的条件？ 2.实际抽样与理想抽样 实际抽样： p(t)为脉冲序列 抽样器一般由电开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。 如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为 T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是 这段时间内信号的幅度，如图 1.1(d)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是 一串周期为 T、宽度为τ的矩形脉冲，以 P(t)表示,调制信号是输入的连续信号 xa(t)，则采样输 出为 Xp(t)=Xa(t)P(t) 一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。 理想抽样： （冲激序列） 当抽样器的电开关闭合时间 τ→0 时，为理想采样。 采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等 于输入信号在采样瞬间的幅度，即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。 理想采样信号的数学表示： 用 M(t)表示冲击载波， 则有理想采样信号可表示为： 说明：实际情况下，τ＝0 达不到，但 τ<<T 时，实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实 际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程的所有本质特性，理想采样对 Z 变换分析相当重要。 3.采样信号的频谱 1)频谱延拓 问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号频谱的关系？ 对理想采样信号进行傅立叶变换，可以证明，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓， 重复周期为 s(采样频率)，即 其中 为理想采样信号的频谱， 为连续信号的付氏变换。显然， 是频率 Ω的连续函数。 p(t) (t) T