《数字信号处理》课程教学习题解答

数字信号处理习题 第一章 1-4今对三个正弦信号x,1(t)=c0s2πt,x。2(t)=-c0s6πt,x()=c0s10π1进行理想采 样采样频率为2，=8π，求着三个采样输出序列，比较其结果画出x1(t),x2(),X(t)的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象 解降于=2<经没有选=6r> 2 混选：%，=10x>8r 1-13下列系统中，y(m)表示输出，x(m)表示输入，试确定是否是线性系统？是否是时不变系统？ (1)y(n)=2x(n)+5 (3m)=∑x(m) 解答： (1)TTax,(n)+bxz (n)]=2[ax (n)+bx2 (n)]+5 =a[2x(m)+5]+b2x(n)）+5]-5a-5b+5 所以，非线性 =aT[x (n)]+bT[x (n)]-5a-5b+5 aT[x (n)]+bT[x,(n)] 假设输入为x(n-),则有 TLx(n-n】=2x(n-n)+5=(n-n)所以，时不变 (2)T[ax,(n)+bx2 (n)]=>[ax (m)+bx2 (m)] 所以，线性： =a∑x(m)+b∑x(m)=a(m+b,(m） =一 Tn-%】=立m-%)=∑m)=n-）时不陵 1-16确定下列系统的因果性和稳定性： ①)y(n)=g(nm)x(n),g(n)有界 (2m)=∑xk,n>m (4)h(m)=0.5”un) 解答：

数字信号处理习题 第一章 1-4 今对三个正弦信号 1 2 3 ( ) cos 2 , ( ) cos 6 , ( ) cos10 a a a x t t = = π x t − π π t x t = t 进行理想采 样,采样频率为 8 Ω =s π ,求着三个采样输出序列,比较其结果.画出 1 2 3 ( ), ( ), ( ) a a a x t x t x t 的波形及采 样点位置并解释频谱混迭现象. 解答:由于 1 8 2 2 w π = < π ,没有混迭; 2 8 6 2 w π = > π ,混迭; 3 8 10 2 w π = π > ,混迭. 1-13 下列系统中, y n( ) 表示输出, x(n) 表示输入,试确定是否是线性系统?是否是时不变系统? (1) y n( ) = 2x(n) + 5 (3) ( ) ( ) n m y n x m =−∞ = ∑ 解答: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1) [ ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] 5 [2 ( ) 5] [2 ( ) 5] 5 5 5 [ ( )] [ ( )] 5 5 5 [ ( )] [ ( )] T ax n bx n ax n bx n a x n b x n a b aT x n bT x n a b aT x n bT x n + = + + = + + + − − + = + − − + ≠ + 所以，非线性; 假设输入为 0 x( ) n n − ,则有 0 0 T[ ( x n n − = )] 2x(n − n ) + 5 = y(n n − )0 2 0 所以，时不变. 1 2 1 2 1 2 1 (2) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) n m n n m m T ax n bx n ax m bx m a x m b x m ay n by n =−∞ =−∞ =−∞ + = + = + = + ∑ ∑ ∑ 所以，线性; 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) n n n m m T x n n x m n x m y n n − =−∞ =−∞ − = ∑ ∑ − = = − 时不变. 1-16 确定下列系统的因果性和稳定性: 0 0 (1) ( ) ( )(), ( ) (2) ( ) ( ), (4) ( ) 0.5 ( ) n k n n y n g n x n g n y n x k n n h n u n = = = > = ∑ 有界 解答: 1

(1) 不能用令x(片6()来求(m),然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。 实际上，因有界，所以，当 (有界时，x)g<=x(g)∞，所以系统稳定，) 只与回)的当前值有关，显然是因果的。 (2) y()只与x()的当前值和过去值有关，是因果的。 当n+∞时，即使x()有界，可能y()+∞，（如x()1) (4):n<0时，h(n)=0,是因果系统 又：21hm)h210.5°mh∑10.5F-05=2 1 =0 ·是稳定的 1-6x(n)和X(em)表示一个序列及其傅氏变换，并且x(n)为实因果序列，利用X(e")求下列各 序列的傅氏变换： (3)g(n)=x(2n) (4g0=学n内偶数 0,n为奇数 解答 (3)G(e)=∑gm)em=∑x2mem,令1=2n n=-g -20w-号Σ0s,2e ta- -20e时+Σ0e-号xe+xe宁) 24 注意：当t为偶数时1.小=2x(2,当t为奇数时1.=0 (4)G(e)=∑gmem=∑x2e令n=2m =∑x(m)e2wm=X(e2wm) 1-10求以下函数的逆Z变换： (0a-2X1-2z 解答：

（1） 不能用令 x(n)=δ(n)来求 h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。 实际上，因 g(n)有界，所以，当 x(n)有界时，y(n)= x(n) g(n)<= |x(n)| |g(n)|<∞, 所以系统稳定，y(n) 只与 x(n)的当前值有关，显然是因果的。 （2） y(n)只与 x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。 当 n→∞时，即使 x(n)有界，可能 y(n) →∞，（如 x(n)=1） 0 (4) 0 , ( ) 0, ; 1 | ( ) | | 0.5 ( ) | | 0.5 | 2 1 0.5 . n n n n n n h n h n u n ∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = < = ∴ = = = − = ∴ ∑ ∑ ∑ ∵ ∵ 时 是因果系统 又 是稳定的 1-6 x(n) 和 ( 表示一个序列及其傅氏变换,并且 为实因果序列,利用 jw X e ) x n( ) ( ) jw X e 求下列各 序列的傅氏变换: (3) ( ) (2 ) ( ), (4) ( ) 2 g n x n n x n g n = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ 为偶数 0,n为奇数 解答: 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 (3) ( ) ( ) (2 ) , 2 1 1 1 [ ( ) ( 1) ( )] ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 jw jwn jwn n n t t jw jw jw t t t t t t w w w jw j t j j t t G e g n e x n e t n x t x t e x t e x t e x t e x t e X e X e π π ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ ∞ ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ − − − − =−∞ =−∞ = = = = + − = + − = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 令 2 t − 注意：当 t 为偶数时[ .] =2x(2n)，当 t 为奇数时[ .] =0 2 2 (4) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) jw jwn jwn n n j wm j wm m n G e g n e x e n m x m e X e ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ ∞ − =−∞ = = = = ∑ ∑ ∑ 令 = 1-10 求以下函数的逆 z 变换: 1 1 1 (1) (1 z z )(1 2 ) − − − − 解答: 2

(1) 0-11-225 -1 2 =-京+1-2京见书本P13顶的例3 =-u(n)-2(-n-l) 注意，因收敛域为1<z2,而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要z>2,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为z<2,同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为z>1, 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为1z<1,不符合题意。 1-21试证x(-川)的频谱为X(e). 解答： ∑x(-m)em(令n=-m)=∑x(n)e-wr=X(e) ne- 1-2讨论一个具有下列系统系最的线性时不支因果系铁H白)=1上-口 1一正寸武中a为实数 (仙)对于什么样的a值范围系统是稳定的？ (2)如果<a<1,画出零点极点图，并标出收敛区域： (③)在z平面上用图解证明该系统是一个全通系统，即频率响应的幅度为一常数. 解答： (1)极点z=a,.a≤1，又.a≠0，.0<a≤1 (2)收敛域为z>a,∴.在半径为a的圆外； (3)通过z平面上作图，可以发现，极点a在单位圆内的实轴上，零点1V在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 极点矢量长度=√a2+1-2acos(o) 零点矢量长度-a+1-2acos@)=间Va+1-2acos@ 图解求系统颜率响应就是求零点矢量长度与极点失量长度的比，所以 IH(e)1-ae 1-aea ,是常数，所以是全通系统， lal

1 1 1 1 1 (1) (1 )(1 2 ) 1 2 13 1 1 2 ( 1) z z P z z u n − − − − − − − = + − − − − n+1 见书本 页的例3 =-u(n)-2 注意，因收敛域为 1< |z|<2，而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要|z|>2,所以对第二项， 只能是左边序列，其收敛域为|z|<2，同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为|z|>1， 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|<1，不符合题意。 1-21 试证 x n ( ) − 的频谱为 ( ) jw X e− . 解答: ' ' ' ( ) ( ) ) ( ) ( ) jwn j w n jw n n x n e n n x n e X e ∞ ∞ − − − =−∞ =−∞ ∑ ∑ − = (令 − = = − 1-22 讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统 1 1 1 1 ( ) 1 a z H z az − − − − = − ,式中 a 为实数 (1) 对于什么样的 a 值范围系统是稳定的? (2) 如果 0<a<1,画出零点-极点图,并标出收敛区域; (3) 在 z 平面上用图解证明该系统是一个全通系统,即频率响应的幅度为一常数. 解答: (1) ∴ ≤ ≠ ∴0 < ≤ ∴ 极点z=a, |a| 1,又∵a 0, |a| 1 (2)收敛域为|z|>a, 在半径为a的圆外; （3） 通过 z 平面上作图，可以发现，极点 a 在单位圆内的实轴上，零点 1/a 在单位圆外的实轴上， 它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为 极点矢量长度= a 1 2acos( ) 2 + − ω 零点矢量长度= a 1 2acos( ) a 1 a 1 2a cos( ) -2 -1 2 + − ω = + − ω 图解求系统频率响应就是求零点矢量长度与极点矢量长度的比，所以 1 1 1 | ( ) | | | , 1 | | j j j a e H e ae a ω ω ω − − − − = = − 是常数,所以是全通系统. 3

第二章 2-1如果x(n)是一个周期为N的周期序列，则它也是周期为2N的周期序列将x(n)看作周 期为N的周期序列，令X,(k)表示其DFS,再将x(n)看作2N的周期序列，并且令X,()表示其 DFS,试利用X(k)确定X(). 解答： X内=2ww时 0 元-写o哈-星am+星+Ng 注略=e合-e常时 因为(n的周期为N,则n+N=x(m,且 nn=e尝0=e5=ee=eW时 x（k-过mw7°+(-ly2mw” 当为偶数时上式-空m疗=2鸡 当k为奇数时，上式=0. 2-9有限长为N=10的两序列 1,0≤n≤4 1,0≤n≤4 x(n)= 0,5≤n≤9 y(n)= -1,5≤n≤9 用作图表示x(n),y(nm)及f(n)=x(m)*y(n) 解答 1,2,3,4,5,3,1,-1,-3-5-4,-3,-2,-1,n=0,1,13 f(n)= 0,其它 2-13已知x(n)是长为N的有限长序列，X(k)=DFT[x(n)小现将长度添零扩大r倍，得长 度为rN的有限长序列y(n)。求DFTLy(n】与X(k)的关系 4

第二章 2-1 如果 是一个周期为 的周期序列,则它也是周期为 的周期序列.将 看作周 期为 的周期序列,令 表示其 DFS,再将 看作 的周期序列,并且令 表示其 DFS,试利用 确定 .  x n( ) N 2N  x n( ) N j1 X (k)  x n( ) 2N j2 X (k) j1 X (k) j2 X (k) 解答: j  1 1 0 ( ) ( ) N kn N n X k x n W − = = ∑ j    2 1 1 1 ( ) 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) N N N kn kn k n N N N N n n k k j kn n n kn N N N N X k x n W x n W x n N W W e e W π π − − − + = = = − = = + + = = = ∑ ∑ ∑ -j 注: 2N   2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) ( ), ( 1) ( 1) K k k j k n N j N K n n k n N N N k N k N N n N x n N x n W e e e W π π π − + − + π + + = = = = − = −  -j 因为x 的周期为 则 且 j   1 1 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) N N k k n n k N N n n X k x n W x n W − − = = = + ∑ ∑ −  i 1 2 0 ( ) 2 ( ); 2 N k n N n k k x n W k − = 当 为偶数时,上式=2∑ = 当 为奇数时,上式=0. X 2-9 有限长为 N =10的两序列 1,0 4 1,0 4 ( ) ( ) 0,5 9 1,5 9 n n x n y n n n ⎧ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = = ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ ≤ ≤ − ≤ ≤ 用作图表示 x n( ), y(n) 及 f ( ) n x = ∗ ( ) n y(n) 解答: 1,2,3,4,5,3,1, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1,.13 ( ) 0, n f n ⎧ − − − − − − − = = ⎨ ⎩ 其它 2-13 已知 x n( ) 是长为 N 的有限长序列, X k( ) = DFT[x(n)],现将长度添零扩大 r 倍,得长 度为 rN 的有限长序列 y n( ) 。求 DFT[ ( y n)] 与 X k( ) 的关系. 4

解答： N- X(k)=∑x(n)W 月=0 DFTm】aw歌aM 由于n≤N-l时，y(n)=x(n):n>N-l时，y(n)=0. 由于W=e兴=e台=W,所以当为整数时。 ymw疗=x(白 其余不能用X(k)表示，相当于X)的内插 2-15已知复有限长序列f(n)是由两个实有限长序列x(n)、y(n)组成，f(n=x(n)+y(n) 并且DFT[f(n)]=F(k),求X(k)、Y(k)以及x(n)、y(n) F( .1-bw f(n)=IDFT[F(k) .1-bw】 amg) 1-aW 1-aW f(n)=IDFT DFT(a"Rx (n))+jDFT(b"Ry (n))=x(n)+jy(n) 1-a [x(n)=a"R (n) 故： x(k)=1-aW y(n)=b"Rx (n) .1-bw Y(k)=1-bW 方法2：利用DFT的共轭对称性：

解答: 1 0 1 1 0 0 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) N kn N n rN N kn kn rN rN n n k k j kn j n n kn rN N r r rN N N k n r N n X k x n W Y k DFT y n y n W x n W n N k W e e W r k Y k x n W X r π π − = − − = = − − − = = = = = ≤ > − = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 由 于 n N-1时 ,y(n)=x(n); 时 ,y(n)=0. 由 于 ,所 以 当 为整数时, = 其余不能用 X（k）表示，相当于 X(K)的内插. 2-15 已知复有限长序列 f (n) 是由两个实有限长序列 x(n)、 y n( ) 组成， f (n x ) = + (n) jy (n) ， 并且 DFT ⎡ ⎤ f (n) = F (k ) ⎣ ⎦ ，求 X k( ) 、Y k( ) 以及 x(n)、 y n( ) 。 ( ) 1 1 1 1 N N k k N N a b F k j aW bW − − = + − − 解： 方法 1：利用基本定义及 DFT 的线性特性： ∵ ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 1 N N N nk k k N n N N f n IDFT F k a b j W N aW bW − − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ − − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ∑ 又： ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 N k N N k n N N k k n N N aW a aW aW aW − = − − = = − − ∑ ∴ ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) n n N N f n I = + DFT ⎡ ⎤ DFT a R n jDFT b R n = x n jy n ⎣ ⎦ + 故： ( ) ( ) ( ) ( ) n N n N x n a R n y n b R n ⎧⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ ( ) ( ) 1 1 1 1 N k N N k N a X k aW b Y k bW ⎧ − = ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ − = ⎪ ⎩ − 方法 2：利用 DFT 的共轭对称性： 5