冷轧薄板的板形调整——板形理论的非线性分割模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.04.011 北京铜铁学陕学报 1982年第4期 冷轧薄板的板形调整 1 板形理论的非线性分割模型 力学教研室乔端 压力加工教研室陈肖梅刘宝珩 摘 要 在四辊轧机上用液压弯辊装置控制冷轧薄板板形是一有效的方法。本文在对目 前国内外己有的理论计算模型进行分析研究的基础上，采用分割模型的受力分析， 考虑到摩擦、轧辊压扁、材料加工硬化、内应力、宽展等因素对轧制压力及板形的 影响，提出了板形计算的非线性分割模型。计算结果与实验结果进行了比较。通过 计算得到一系列工艺参数，可供现场生产中板形调整作参考。 符号说明 中 从辊边到轧辊第ⅰ个分割单元间的距离。 Y 工作辊与支承辊公共母线上任一点处的垂直位移。 工作辊与支承辊间单位长度上的接触压力。 q 工作辊与板材间单位宽度上的轧制压力。 q 无张力时板材单位宽度上的轧制压力。 平均单位轧制压力。 αb、a,支承辊与工作辊的影响系数。 Y(i)工作辊与支承辊表面间在位置x(i)处的间距。 D 轧辊直径。 Z(i) 轧辊表面在位置x()处的局部接触变形。 B 轧件的宽度。 1 辊身长度。 L 压下螺丝中心线之间的距离。 11 辊颈长度。 W 总轧制负荷。 J 液压弯辊力（减少板材凸度所加力为止）。 P 总压下力（包括轧制负荷和心批力)。 S 轧机弹性曲线之斜率。 M 机架刚度（不包括轧辊）。 h(i)、H(i)在位置x(i)处的出口和l入口板厚之半。 101

北 京 铜 铁 举 院 学 报 年第 期 冷 轧 薄 板 的 板 形 调 整 —板 形 理 论 的 非线 性分 割模型 力 学 教 研 室 养 端 压 力加 工 教 研 室 陈 肖梅 刘 宝晰 摘 要 符号说 明 从辊边到轧辊 第 个 分割单元 间的 距 离 。 工 作辊与支承辊公共母线 上任一点处的垂直位 移 。 工 作辊与 支承辊 间 单位长度上的接触压 力 。 工 作辊 与板材 间单位宽度上的轧制压 力 。 尹 无 张 力时板材 单位 宽度 上的 轧制压力 。 平均单位 轧制压力 。 、 。 支承辊 与工作辊的影响 系数 。 工 作辊 与支承 辊表面 间在位置 处的 间距 。 轧辊直径 。 轧辊表面 在位置 处的局 部接触变形 。 轧件的宽度 。 辊 身长度 。 压 下螺 丝 中心 线之 间的 距 离 。 ， 辊颈 长度 。 总轧制负荷 。 液压弯辊力 减少 板材 凸度所 加 力为止 。 总压下 力 包括 轧 制 负荷和 今辊 力 。 轧机弹性 曲线之 斜 率 。 机 架 刚度 不 包括 轧 辊 。 、 在位置 处的 出 口 不日入 ‘ 板厚之半 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1982．04．011

r(i) 轧制中的板材压下率。r(i)=1-h(i)/H(i)。 G 轧辊的刚性位移。 C(i) 在位置x(i)处当轧辊间没有材料时辊缝之半。 o.(i)、oa(i)作用于位置x(i)处板材的前、后张应力。 E 拉压弹性模量。 泊桑比。 A、B,轧制压力与压下率的分段线性关系中的斜率和截距。 Φ 乘数因子。 号 张力因子。 平 宽展因子。 U、V·辊间压力与轧辊压扁线性关系中的斜率和截距。 f 工作辊与板材间的摩擦系数。 1: 工作辊与板材接触压扁弧长。 h 平均板厚。五=±(H+h)。 os。、0。!在入口和出口处轧材之拉伸屈服应力。 K 变形区中轧材的平均平面变形抗力。 σ、σ、σz沿轧制、板宽、压下方向的板材内应力。 n 平均内应力。0m=于(ox+0y+gz)。 b、W、P脚注分别指支承辊、工作辊和板材。 一、前言 关于板形控制的问题，即板带材横向板厚分布和平坦度的控制问题的研究，近些年来在 国外是很活跃的，国内也有所开展。在四辊轧机上，用液压弯辊装置控制板形的理论研究业 已形成弹簧模型(M.D.Stone)、分割模型(K.N.Shohet)和综合模型（户泽康寿） 三大类。 由M.D.Stone【1提出的弹簧模型把工作辊看作是弹性基础梁。在工作辊与支承辊之 间，以及工作辊与板材之间，引进两个弹簧系数k:和k2,解析求解轧辊的弹性挠曲，从而 求出沿板宽方向的压力分布、板厚分布等。盐崎宏行【2]假设轧制压力沿板宽均匀分布。铃木 弘【)本城恒)假设轧制压力分布为二次曲线。连家创【]提出工作辊与支承辊间的压力分布 为二次曲线和四次曲线的假设。由于轧制压力沿板宽分布所作的各种假设与松浦佑次【】本 村贡【川等人的实测结果不甚符合，所以，弹簧模型不够理想。 K.N.Shohet【]于1968年提出分割模型。其基本思想是将连续分布的轧制压力、轧 辊间的接触压力及轧辊变形等离散化。以力作为未知量，根据变形谐调方程和力平衡方程解 出轧制压力分布、辊间压力分布及工作辊刚性位移。此模型对辊间压力分布和轧制压力分布 不作任何假设，对于以它们为未知数的线性方程组用矩阵法迭代求解。从理论上讲，当分割 得越细时，则越趋于载荷连续分布的解。但是，在线性方程组的联立推导中引用了两个线性关 系的假设：1)认为工作辊与支承辊之间的压扁在整个接触范围内与接触压力成线性关系， 2)单位宽度上的轧制压力与在无张力轧制下的压下率成线性关系。由于这两个假设的根据 不够充分，因此误差较大。另外，对于张力对轧制压力的影响引用了H essenberg-Sims 102

轧 制 中的板材压下率 。 一 。 轧辊的 刚性位 移 。 在位置 处当轧辊间没有材料时 辊缝之半 。 ， 、 。 作用 于位置 处板材的前 、 后 张应 。 拉压弹性模量 。 泊桑 比 。 、 轧制压力与压下率的分段线性关系 中的斜率和 截距 。 中 乘数因 子 。 七 张力因子 。 甲 宽展 因子 。 、 辊间压力与轧辊压扁线性关系 中的 斜率和截距 。 工 作辊与板材 间的摩擦系数 。 了 工 作辊与板材接触压扁弧长 。 平均板厚 。 万二 女 。 。 、 在入 口 和 出 口 处轧材之 拉伸屈 服应 力 。 变形 区 中轧材的 平均平面 变形 抗 力 。 、 ，、 。 沿轧制 、 板宽 、 压下方 向的板材 内应力 。 平均 内应力 。 含 ， 。 、 、 脚注分别 指 支承辊 、 工 作辊和 板材 。 一 、 前 一立 一 ‘ 口 ‘，砂 关于 板形控制的 问题 ， 即板带材横向 板厚分布和 平坦 度的 控制 问题 的研究 ， 近些年来 在 国外是很 活跃 的 ， 国 内也有所开展 。 在 四 辊轧机上 ， 用 液压弯辊装置 控制板形 的 理论研究业 已形成弹赞模 型 、 分 割模 型 和综 合模 型 户泽康寿 三大类 。 由 。 ’ 提出的弹簧模型 把工 作辊看作是弹性基础梁 。 在工作辊与支承辊之 间 ， 以 及工作辊与板材之 间 ， 引进 两个弹 簧系数 和 ， 解析求解轧辊的弹性挠 曲 ， 从而 求 出沿板宽方 向的压力分布 、 板 厚分布等 。 盐 崎宏 行 ’ 假设轧制压力沿板宽均匀分布 。 铃木 弘 本城恒 「‘ 〕 假设轧制压 力分布为二次 曲线 。 连 家创 〕 提 出工 作辊与 支承辊间的压力分布 为二次曲线和 四 次 曲线的假设 。 由于轧 制压 力沿板宽分布所 作的 各种假设 与松 浦佑次 “ 本 村贡 等人 的实测 结果 不甚符合 ， 所 以 ， 弹簧模型 不够理 想 。 于 年提 出分割模型 。 其 基本思 想是将连 续分布的 轧制压 力 、 轧 辊间的 接触压 力及轧辊变形 等 离散 化 。 以 力作为未知 量 ， 根据 变形 谐调方程和 力平衡方程解 出轧制压力分布 、 辊间压力分布及工 作辊刚性位移 。 此 模 型 对辊间压 力分布和 轧 制压 力分布 不作任何假设 对于 以 它们为未知 数的 线 性方 程 组用 矩 阵 法迭 代求解 。 从理 论 上讲 ， 当分割 得越细时 ， 则越 趋于 载荷连 续 分布的解 。 但是 ， 在线性方 程组 的 联立推 导 中引用 了 两个线性关 系的假设 认为工 作辊与支承辊之 间的压扁 在 整个接触 范围 内与 接触 压 力成 线性关系， 单位 宽度上的轧 制压 力与在无 张力轧 制 下的压 下率成线性关 系 。 由于这 两个假设 的 根据 不够充分 因此误 差较大 。 另外 ， 对 于 张 力对轧 制压 力的影 响 引用 了 一

t)方程，是比较粗糙的。上田长正【11对Shohet模型稍加改进，提出了较详细的计算公 式，但仍然是解线性方程组，中岛浩卫【1！对HC-轧机左右不对称的情况简化为等价的二辊轧 机，采用分割模型。总的来讲，继Shoht提出分割模型后，在这方面继续研究并应用于生 产实践中的较少，主要是计算出来的数值与实测数值有一定偏差。 户泽康寿[1】采用分割模型，又在考虑工作辊与支承辊的接触压扁中采用了弹性基础梁 的假设，在由轧辊的变形求压力分布的分析中，综合地使用了弹簧模型和分割模型，因此可 称为综合模型。其解题方法仍是用矩阵法求解线性方程组。 我们认为Shoheti的力学模型是可取的。在对其假设进行分析的基础上，考虑到冷轧板 材的加工硬化、轧辊压扁、摩擦、张力、宽展等因素对轧制压力的影响，根据力平衡方程、 变形谐调条件等，建立非线性方程组，用直接迭代法求解。并将计算结果与实验测定进行比 较，从而提出在四辊轧机上各种板带产品轧制时的主要工艺参数，作为现场生产的参考。 4 二、非线性分割模型的基本原理 1.分割模型及Shohet线性方程组 四辊轧机在工作辊间施加弯辊力时，轧辊的受力简图如图所示，称为JWW弯辊方式（本 文只讨论这种弯辊方式)。采用Shoheti的分割法，将轧辊半长分为m等分，而板材半宽分 为等分。在板材每一段的中心作用着集中轧制压力q△x,而在工作辊与支承辊间每一段的 中心作用着集中接触压力p△x。接触压力的第段与轧制压力的第i'段重合，并有i=i'+k (图2)。 图1四辊轧机轧辊受力筒图 图2轧辊分割简图 (JWW弯辊方式) 弯曲轧辊的目的是改变工作辊的弹性变形，从而使辊缝形状和板形得到改变。轧辊的变形 包括轧辊的挠曲和表面的压扁。为了估算辊缝的形状，必须知道使轧辊变形的负荷，而且， 如要计算板材的轧后厚度，必须知道工作辊的刚性位移。根据工作辊的力平衡条件导出平衡 方程： ∑P△x- ∑Φ，91dx=克 (1) j= j=1 103

“ 方程 是比较粗糙的 。 上 田长正 ’ 。 】 对 模型 稍加 改进 ， 提 出了较详细的计算公 式 ，但仍 然是解 线性方 程 组 。 中岛浩卫 ” 对 一轧机 左右不对称 的情况 简 化为等价的二辊轧 机 ， 采用 分割模型 。 总的来讲 ， 继 提出分割模型 后 ， 在这方面 继 续研究 并应用 于生 产 实践 中的 较 少 ， 主 要 是计算出来 的 数值 与实测数值有一定偏 差 。 户 泽康寿 ’ 采用 分割模型 ， 又在考虑工 作辊与 支承辊的接触压扁 中采用 了弹性 基础 梁 的假设 ， 在 由轧 辊的 变形 求压 力分布的 分析中 ， 综 合地 使 用 了弹 簧模型 和 分割模型 ， 因此 可 称 为综 合模型 。 其 解题方 法仍是 用矩 阵法求解线性方 程组 。 我们认为 的 力学模型 是可取 的 。 在 对其 假设进 行 分析 的 基础 上 ， 考虑 到 冷轧 板 材 的加工 硬 化 、 轧辊压扁 、 摩擦 、 张力 、 宽展 等 因素对轧 制压力的 影响 ， 根据 力平衡方 程 、 变形谐 调 条件等 ， 建立非线性方 程组 ， 用直接迭 代法求解 。 并将 计算结果 与实验 测定 进 行 比 较 ， 从而提出在 四 辊轧机 上 各种 板带产 品轧 制 时 的主 要工 艺 参数 ， 作为现场生产的 参考 。 二 、 非线 性分 割模型 的基本原理 分 创挑型 及 线性方程 组 四 辊轧机在工 作辊 间施加弯辊力时 ， 轧辊的受 力简图如 图所示 ， 称为 弯辊方式 本 文只 讨论这种 弯辊方式 。 采用 的 分割 法 ， 将轧 辊半长分为 等分 而板材半宽分 为 等 分 。 在 板材每一段 的 中心 作用着 集中轧制压力 △ ， 而在工 作辊与 支承 辊间每一段 的 中心作用 着集中接触压 力 △ 。 接触压力的 第 段 与轧制压 力的 第 了 段重 合 ， 并有 二 产 图 。 辛一下 叫 尸耳二共忿盯日 吝 馨燕函三，嗯书 ‘ 卜才浦， 目 二只 “ 「一 一 了， 喇 卜钊 样片 盯厂一门具 匕 门」 “ ’ ‘六叼 ， 切 ‘ 图 四 辊 轧机 轧辊 受力简 图 图 轧辊分 割 简 图 弯辊方 式 弯 曲轧辊的 目的是 改 变工 作辊的弹性变形 ， 从 而使 辊缝 形状 和 板形得 到 改变 。 轧辊的 变形 包括 轧辊的挠 曲和 表面 的压 扁 。 为 了估算辊缝 的形状 ， 必须知道 使轧辊变形 的负荷 ， 而且 ， 如要计算板材的轧后 厚度 ， 必 须知道工 作辊的 刚性位 移 。 根据工 作辊的 力平衡 条件导 出平衡 方 程 乏 ，△ 乏 二 。 一 告

从工作辊与支承辊之间的变形一致性导出谐调方程： m n ∑ pai1△x+ ∑中1q1a1△x-Up,-M∑中19，Ax+G, j=1 j=1 1=1 =Y(i)+MJ+S+V (2) 从工作辊与板材之间的变形一致性导出另一谐调方程： m m [ q1a1wAx-∑ 2Kq(i) H(i)-G.] 中191ai1w△X-2K-0p(i)-0(i)A, j=1 j=1 =,[c0-H()A去B] (3) 其中pj、qj、Gm为(m+n+1)个未知数。(1)式只有一个方程，(2)式有m个方 程，(3)式有n个方程，所以共有(m+n+1)个方程。而o.(i)为n个未知数。为了求 解关于P、·q、Gw的线性方程组，取o(i)的迭代初值为0，通过选代法求解。这就是Sho- hct线性分割模型的主要思想和基本方程[1。 2.分割模型中的非线性关系 在Shohct线性分割模型中，假设工作辊与支承辊间的接触压力与轧辊的压扁量Z(i) 成线性关系，却 Z(i)=Up(i)+V (4) 根据Fopplet的弹性解【13)，对于材料相同的工作辊与支承辊，在单位宽度上的接触压力p(i) 作用下，由于辊面的压扁变形而引起的二辊中心线的接近量为 乙=2(1-v2) π上 (号+1a2+1n2) b (5) 其中 DiDw b=2.15V是b4b. 由此可见Z~P之间并不是线性关系。对于不同的P,算出其Z,得到Z~P关系曲线（图 3)。如果把Z一P关系近似为直线关系，它 给计算带来的误差是微小的。 Z 非线性关系 任线性分割模型中，还假设了轧制压力与 (mm) 线挫近似 0.40 压下料成线性关系，即 q(i)=Ar(i)+B 0.30 这一假设不免过于粗糙，因为在轧制过程中， 0.20 轧制压力不仅与压下率有关，而且与材料的硬 0.10 化、摩擦、轧辊弹性压扁等诸因素有关。为了 轧辊材质钢 综合考虑这些因素的影响，引用适合于冷轧薄 20 406080100 P(kg/mm) 板的Stone公式11。同时l用李庚唐的压 弧长计算显式。考虑到板材的加工硬 冈31~q关系曲线 化，得到新的4'(i)与r(i)的关系。当轧制工 业纯铝板时，进口板厚为H=4.9mm的情况下，及轧制不锈钢1Cr1 NioTi,进口板厚为 H=1·3mm的情况下，计算得到不同压下率的轧制压力曲线如图4所示。 104

从工 作辊与支承 辊之 间的 变形一致性导出谐调方程 乏 ‘ ，△ 艺。 ， ， ‘ ， △ 一 ， 一 艺。 ， ，△ ， 从工 作辊与板材之 间的 变形一致性导 出另一谐 调方程 ‘ 。 ， 〔乏 ， · △ 一 乏 ， 】 ， ‘ ，， △ 一 ， 一 一 · 「 ， 〕 中 ， 七 一 一 一 飞 一 才 其 中 、 、 为 个未 知 数 。 式 只 有 一 个 方 程 ， 式 有 个方 程 ， 式 有 个方 程 ， 所 以共有 个方程 。 而 ， 为 个未知 数 。 为 了求 解关于 、 、 ， 的 线性方 程组 ， 取 口 ， 的迭代初值为。 通过迭代法求解 。 这就是 。 一 线性分 割模 型 的主要 思 想和 基 本方 程 〔 。 分 创摸型 中的非钱 性关 系 在 线性分割模型 中 ， 假设工 作辊与 支承 辊间的 接触压 力与轧辊的压扁量 成线性关系 ， 即 根据 。 的弹性解 ‘ ， 对于材料 相 同的工 作辊与支承 辊 ， 在单位宽度上的接触压力 作用 下 ， 由于辊面 的压扁 变形 而 引起的二辊中心线 的 接近量 为 二 一 兀 匕 其中 · ‘ 丫着 。 ， 、 戈 一 ， ‘ 万一 ’ 一石一 。 由此可见 之 间并不 是线性关系 。 对 于 不 同的 ， 算出 其 ， 得 到 关系 曲线 图 。 如果把 关系近 以为直 线关 系 ， 它 给计算带来 的误 差是微 小的 。 在线性分割模型 中 ， 还假设 了轧制压 力与 压 下率成 线性关系 ， 即 ， ， 这一 假设 不免过于 粗糙 ， 因为在轧制过 程 中 ， 轧 制压 力不仅 与压 下率有关 ， 而且与材料 的 硬 化 、 摩擦 、 轧 辊弹性压扁等诸 因素有关 。 为 了 综 合考虑这些 因素的影响 ， 引用适合 于 冷轧薄 板的 公式 ’ ‘ 。 同时 引用 李庚唐 的压 扁 弧 长 计算显 式 ’ “ 。 考虑 到 板材的 加 工 硬 化 ， 得 到 新 的 与 的 关 系 。 当轧 制工 业 纯 铝 板 时 ， 进 口 板厚为 的情 况下 ， 。 非线性关系 线性近似 。 。 尹 声‘ 轧辊材质 钢 ， 图 关 系 曲线 及轧 制 不 锈钢 。 。 ， 进 口 板 厚 为 · 的情 况下 ， 计算得 到 不 同压 下 率 的轧 制压 力曲线如 图 所示

由图4可见q'~r之间并不是直线关系，而是一条曲线。(6)式中的A又是q'的函 数，B,=0。由于轧制过程板材呈不均匀变形，在塑性变形过程中力与变形之间为非线性关 q'(kg/mm) q'(kg/mm) 2800F 不锈钢 240 工业纯绍AI 2400F 1Cr18Ni9Ti 200 2000F 160 1G00F 120 1200 80 800 40 400 102030405060Y(%) 102030405060Y(%) (a) (b) 图4q'r关系曲线 系。所以工作辊与板材之间的变形谐调方程（个）实际上并不是线性方程（见附录）。新 的谐调方程为 H(i ((A(i)-q'(i))=C(i)-Y(i)+(i) (7) 3.张力的影响 轧制过程中往往带有前张力和后张力，而(？)式中的q'()是无张力时的轧制压力。 考虑到前、后张力对轧制的影响，现用张力因子￡来表示有张力轧制与无张力轧制时轧制压 力的关系，即 q=ξq' (8) 对于张力因子专，很多人曾进行了研究。Shohet引用了Hessen berg--Sims的结论。 从美坂佳助的.T作u】可知Hessenberg-Sims的结论不够精确，他给出张力因子的通式 ξ=1-（a=1)gn+op aK 其中a为系数。对于Hessenberg--Sims方程，a=2,美坂佳助得到的系数为a=10/3。 志田茂由计算和实测求得毛的新的变化规律1刊，给出 8-(1-1o5+0101- .-0.15 1- 1- 对于单张轧制情况，虽然无外加前、后张力作用，但由于在轧制过程中，沿板宽压下率不 同，板的延伸也不同。因而，在沿板宽各单元间存在相互作用的内应力。当使用分割法将板 材分为若干单元后，这些内应力即相当于作用在每一单元上的外加前张应力（而后张应力等 105

由图 可见 产 之 间并不是直 线关系 ， 而是一 条曲线 。 式 中的 又是 产 的 函 数 ， 。 由于轧 制过 程 板材呈 不 均匀 变形 ， 在 塑性变形过 程 中力与 变形之 间 为 非线性关 ， 弓 工业 纯侣 不姆悯 介‘目， 且胜咋‘目︸ 甘︸ 八︸ 。 丫 丫 场心 图 尹 关 系 曲线 系 。 所 以工 作辊与板材之 间的 变形谐调 方 程 个 实际 上并不是线性方 程 见 附录 。 新 的谐调方程为 〔 一 ， 〕 一 · ‘ ‘ ‘， 张 力的形 晌 轧 制过 程 中往往带 有前张力和后 张力 ， 而 式 中的 尹 是无 张力时的 轧制压 力 。 考虑 到前 、 后 张 力对轧 制 的 影响 ， 现用 张力因子 七来 表 示 有张 力轧 制 与无 张 力轧制时轧 制压 力的关系 ， 即 七 尹 对 于张 力因 子 七 ， 很 多人 曾进 行 了研 究 。 引用 了 一 的 结论 。 从 美 坂佳助 的 工 作 ‘ 。 可知 一 的 结论 不够 精确 他给 出张 力因 子 的 通 式 邑 一 一 。 。 其 中 为系数 。 对 于 一 方 程 ， ， 志田 茂 由计算和 实测求得 息的 新 的 变化规 律 ‘ ’ 美坂佳助得 到的 系数 为 二 。 给出 了 、 毛 一 一 ‘ ‘ 】 、 ， 一 一 一 全 一 。 ，。 ’ 一 令 一 、 聆 ，一 食 对 于单 张轧 制情 况 ， 虽然 无外 加前 、 后 张 力作用 ， 但 由于在轧 制 过 程 中 ， 沿板宽压 下 率 不 同 ， 板 的延伸也不 同 。 因而 ， 在 沿板 宽 各单 元 间存在 相 互作用 的 内应 力 。 当使用 分 割 法将 板 材分 为若干单元 后 ， 这些 内应 力即 相 当于作用在 每一单 元 上的外 加前张 应 力 而 后 张应 力等