第6章二次型 本章主要介绍二次型.包括把二次型化为 标准形及其二次型的正定性.通过本章的 学习,读者应该掌握以下内容: 二次型及其矩阵表示,知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法
第6章 二次型 本章主要介绍二次型．包括把二次型化为 标准形及其二次型的正定性．通过本章的 学习，读者应该掌握以下内容： 二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法
61二次型及其矩阵表示 6.1.1合同矩阵 定义1设有两个n阶矩阵A,B,如果存在一个可逆矩阵 C使得B=CIAC,则称矩阵A与B合同 合同关系是矩阵之间的又一重要关系,它是研究二次型 的主要工具.合同关系具有以下性质: 性质1A与A自身合同 性质2若A与B合同,则B与A合同 性质3若A与B同,B与C合同,则A与C合同
合同． 6.1 二次型及其矩阵表示 6.1.1合同矩阵 定义1 设有两个 n 阶矩阵 A B, ,如果存在一个可逆矩阵 C 使得 T B C AC = ,则称矩阵 A 与 B 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具．合同关系具有以下性质： 性质1 A 与 A 自身合同． 性质2 若 B 合同,则 A 与 B 与 A 合同. 性质3若 与B合同, B与C合同,则 A与C 合同. A
6.1.2二次型及其矩阵表示 定义2含有n个变量的二次齐次函数 f(x1,x2;…xn)=a1 十a2xX+…+a.x nn n +2012x1X2+213x1x3+…+2an=1nx21xn 称为二次型 取 则2ax=ax+anx 实二次型可以写成:
6.1.2二次型及其矩阵表示 定义2 含有 n 个变量的二次齐次函数 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + + 称为二次型． ji ij 取 a a = 2 ij i j ij i j ji j i 则 a x x a x x a x x = + 实二次型可以写成：
f(x1,x2…,xn)=a1x1+12xx2+…+anxx, +a21x2x1+a22x2+…+a2nx2X +an1xx1+a.xx2+…+ax =(x1.x x 2 n 11 记 x=2则二次型可记作 xn f=x Ax
( ) 11 12 1 1 21 11 2 2 1 2 1 2 , , , n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 11 12 1 21 11 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 1 2 n x x x = 记 x 则二次型可记作 T f A = x x
任给一个二次型,就惟一确定一个对称 矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可惟 确定一个二次型.这样,实二次型与实对称 矩阵之间存在一一对应关系.因此,我们把 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵,也把∫ 叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩 就叫做二次型∫的秩 例如∫=-x2+2x2-4x2x2+3x 110/x 可表示为f=(x,x2,x)102x2 0-23 x
任给一个二次型，就惟一确定一个对称 矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一 确定一个二次型．这样，实二次型与实对称 矩阵之间存在一一对应关系．因此，我们把 对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型．对称矩阵 的秩 就叫做二次型 的秩． A f f A A f 2 2 1 1 2 2 3 3 例如 f x x x x x x = − + − + 2 4 3 ( ) 1 1 2 3 2 3 1 1 0 , , 1 0 2 0 2 3 x f x x x x x − = − − 可表示为