将(72)式和(75)式代入以应力形式表示的实 际流体的运动微分方程(7.1)式,写出x方向的方 程式为 pa(p-2u our a du au du )+μ 十 +)= azaz a dt 整理得到 a2u.82u.02u u u a du p p p dt 因不可压缩均质实际流体的连续性方程为 u ax av a 引入拉普拉斯算符 a
将（7.2）式和（7.5）式代入以应力形式表示的实 际流体的运动微分方程（7.1）式，写出x方向的方 程式为 整理得到 因不可压缩均质实际流体的连续性方程为 引入拉普拉斯算符 dt du )] x u z u ( z ) y u x u ( y ) x u (p 2 x [ 1 f x y x x z x x = + + + + − − + dt du )] z u y u x u ( x ) z u y u x u ( x 1 p f x y z x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x = + + + + + + − 0 z u y u x ux y z = + + 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + =
将加速度项展开, 得 O 0u、0 u u u +VVu u +U p az 同理,在y、z方 du du 向可得 +vv +u +uy△+u 7.6) p 10+√u2-at au ou u u tu +U p 上式即为不可压缩均质实际流体的运动微分方程,即纳维一 斯托克斯方程,简称N-S方程。如果流体是理想流体,上式则 成为理想流体的运动微分方程;如果流体为静止流体,上式 则成为欧拉平衡微分方程。所以,NS方程是不可压缩均质流 体的普遍方程
将加速度项展开， 得 同理，在y、z方 向可得 上式即为不可压缩均质实际流体的运动微分方程，即纳维— 斯托克斯方程，简称N-S方程。如果流体是理想流体，上式则 成为理想流体的运动微分方程；如果流体为静止流体，上式 则成为欧拉平衡微分方程。所以，N-S方程是不可压缩均质流 体的普遍方程。 z u u y u u x u u t u u x 1 p f x z x y x x x x 2 x + + + + = − z u u y u u x u u t u u y 1 p f y z y y y x y y 2 y + + + + = − z u u y u u x u u t u u z 1 p f z z z y z x z z 2 z + + + + = − （7.6）
NS方程中未知量有p、UxyU四个,加上连续性方 程共有四个方程式,从理论上讲,任何不可压缩均质流体 的N-S方程,在一定的初始和边界条件下,是可以求解的。 但是,N-S方程是二阶非线性偏微分方程组,要进行求解 是很困难的,只有在某些简单的或特殊的情况下,才能求 得精确解。 N-S方程的精确解,虽然为数不多,但能揭示实际流体的 些本质特征,其中有些还有重要的实用意义。它可以作 为检验和校核其他近似方法的依据,探讨复杂问题和新的 理论问题的参照点和出发点。下面介绍求解精确解的例题
N-S方程中未知量有p、ux、uy、uz四个，加上连续性方 程共有四个方程式，从理论上讲，任何不可压缩均质流体 的N-S方程，在一定的初始和边界条件下，是可以求解的。 但是，N-S方程是二阶非线性偏微分方程组，要进行求解 是很困难的，只有在某些简单的或特殊的情况下，才能求 得精确解。 N-S方程的精确解，虽然为数不多，但能揭示实际流体的 一些本质特征，其中有些还有重要的实用意义。它可以作 为检验和校核其他近似方法的依据，探讨复杂问题和新的 理论问题的参照点和出发点。下面介绍求解精确解的例题
例71设实际流体在两无限长的水平平板间作恒定层流流动 上板移动速度为U1,下板移动速度为U2。已知两板间距 为2h,质量力可忽略不计,试求两平板间的速度分布。 解:uy=uz=0;由于平板很大,速度与坐标X、Z关,即uxk=u0);另 外,由于在y、z轴方向无流动,压强p与y、z无关,p=p(x)。 流体的方程简化为 I dp +y 0 p dx dy 因为是x的函数,与y无关,上式积分两次得 边界条件为yh时,uy=h时,u=U2得到积分常数2 得到速度分布式 2u dx U U,+U 2u dx
例7.1 设实际流体在两无限长的水平平板间作恒定层流流动， 上板移动速度为U1，下板移动速度为U2。已知两板间距 为2h，质量力可忽略不计，试求两平板间的速度分布。 解：uy=uz=0；由于平板很大，速度与坐标x、z无关，即ux=ux (y)；另 外，由于在y、z轴方向无流动，压强p与y、z无关，p=p(x)。 流体的方程简化为 因为是x的函数，与y无关，上式积分两次得 边界条件为 y=h时，ux=U1；y=-h时，ux=U2 得到积分常数 得到速度分布式 2 2 1 0 x dp d u dx dy − + = 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 x dp y u y C y C dx = + + 1 2 1 2 U U C − = 1 2 2 2 1 2 2 U U dp C h dx + = − 2 2 1 2 1 2 [1 ] 2 2 2 x h dp y y U U U U u dx h h − + = − − + + 2 2 1 2 1 2 [1 ] 2 2 2 x h dp y y U U U U u dx h h − + = − − + +
§7.2边界层的基本概念 实际流体流经固体时,固体边界上的流体质点粘附在固体 表面边界上,与边界没有相对运动,称为无滑移条件。在 固体边界的外法线方向上流速从零迅速增大,在边界附近 的流区存在着相当大的速度梯度。在这个流区内粘滞性作 用不能忽略,边界附近的这个流区就称为边界层(或附面 层)。 将大雷诺数流动情况视为由两个性质不同的流动所组成: 一是固体边界附近的边界层流动,粘滞性作用不能忽略 另一个是边界层以外的流动,按理想流体来处理
§7.2 边界层的基本概念 实际流体流经固体时，固体边界上的流体质点粘附在固体 表面边界上，与边界没有相对运动，称为无滑移条件。在 固体边界的外法线方向上流速从零迅速增大，在边界附近 的流区存在着相当大的速度梯度。在这个流区内粘滞性作 用不能忽略，边界附近的这个流区就称为边界层（或附面 层）。 将大雷诺数流动情况视为由两个性质不同的流动所组成： 一是固体边界附近的边界层流动，粘滞性作用不能忽略； 另一个是边界层以外的流动，按理想流体来处理