西安电子科技大学离散数学软件学院办第二篇集合论第3章集合与关系第13课时V3.1集合及其运算第14课时3.2二元关系X第15课时3.3集合上的二元关系及其特性第16课时→3.4关系的闭包运算3.5等价关系第17-18课时第19-20课时3.6序关系
西安电子科技大学 离散数学 软件学院 第二篇 集合论 第13课时 3.1 集合及其运算 第3章 集合与关系 3.4 关系的闭包运算 3.2 二元关系 3.5 等价关系 第14课时 第16课时 第17－18课时 第15课时 3.3 集合上的二元关系及其特性 第19－20课时 3.6 序关系
西安电子科技大学关系闭包的定义$3.4.1软件学院茶教家家家教家家设R是集合A上的二元关系，R的自反（对闭包称、传递）闭包是满足以下条件的关系R(i）R'是自反的（对称的、传递的）;(ii) R'2R;(iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"2R，则有R"2R'R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R)、s(R) 和t(R)。集合A上的二元关系R的自反（对称、传递）闭包是包含R的最小的自反（对称、传递）关系
西安电子科技大学 关系闭包的定义 软件学院 闭包 §3.4.1 集合A上的二元关系R的自反（对称、传递）闭 包是包含R的最小的自反（对称、传递）关系。 设R是集合A上的二元关系，R的自反（对 称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'： （i）R'是自反的（对称的、传递的）； （ii）R' ⊇R； （iii）对于A上的任何自反（对称、传递） 关系R"，若R" ⊇R，则有R" ⊇R'。 R的自反、对称、传递闭包分别记为 r(R) 、s(R) 和t(R)
西安电子科技大学$3.4.2关系闭包的计算软件学院家「定理」设R是集合A上的二元关系，那么有（a）R是自反的当且仅当I（R=R；（b）R是对称的当且仅当s（R)=R（c）R是传递的当且仅当t（R）=R
西安电子科技大学 §3.4.2 关系闭包的计算 软件学院
西安电子科技大学$3.4.2关系闭包的计算软件学院茶教家家家案『定理』设R是集合A上的二元关系，那么有(a) r(R)=RUIA(b) s(R)=RUR-1(c) t(R)=RUR2 U.. URn... = YRii=1
西安电子科技大学 软件学院 （c）t(R)=R∪R2 ∪. ∪Rn. = §3.4.2 关系闭包的计算 『定理』设R是集合A上的二元关系，那么有 Υ ∞ i=1 i R （a）r(R)=R∪IA （b）s(R)=R∪R-1
西安电子科技大学$3.4.2关系闭包的计算软件学院茶证明：(a)（用自反闭包的定义证明）令R'=RUIA(i）任取xEA，<X,x>EIA，则<X,x>ERUIA，故R是自反的。(ii）显然R'2R;(iii）任取A上的自反关系R"，且R"2R，现证明R"2R'。任取<x,y>ER'，则有<x,y>ER或<x,y>EIA9若<x,y>ER，则有<x,y>ER";若<x，y>EIA，则x=y，又因为R"是自反的，所以<x,y>ER"。故有R"2R'。由此可知r(R)=R'=RUIA°
西安电子科技大学 §3.4.2 关系闭包的计算 软件学院 证明：（a）（用自反闭包的定义证明） 令R'= R∪IA。 （i）任取x∈A，<x, x>∈IA，则<x, x>∈R∪IA，故R'是自反 的。 （ii）显然R'⊇ R； （iii）任取A上的自反关系R"，且R"⊇ R，现证明R"⊇R'。 任取<x, y>∈R' ，则有<x, y>∈R或<x, y>∈IA。 若<x, y>∈R，则有<x, y>∈R"； 若<x, y>∈IA，则x=y，又因为R"是自反的，所以<x, y>∈R"。 故有R"⊇ R'。 由此可知r(R)=R'=R∪IA