a41=(11,1).a42=(1,2,0 B=1,0,2B2=(01,-1) 则向量组a1,a2与B,B是等价的。 由定义不难证明，每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量 a,a,a,可以经向量组月，B,,B,线性表出，向量组R,B,,B可由向量组 ,2,7,线性表出，那么向量组a,a,,a,可以经向量组，2…7，线性表 出。 事实上，如果 a.=EkuB, i=1,2…,1, B,=2 j=12…,3 多 a=2,21 =左n川 i=1,2,…,1 这就是说，向量组a,a2,…,a,中每一个向量都可以经向量组，2，…y,线性表 出，因而向量组C,C2,…,,可以经向量组1，/2，…7，线性表出。 由上述的结论，得知向量组之间的等价有以下的性质： 1)反身性：每一个向量都与它自身等价： 2》对称性：如果向量组α，4，，a,与向量组月，B,…,B等价，那么向量组 月，B2,…,B与向量组4，a2,…,a也等价： 3)传递性：如果向量组a,a,…,,与向量组月，B,,B,等价，月，B,,B 与1,2，…y,等价，那么向量组a,a2,…,a,与1,2，…Yp等价。 定义11如果向量组a,4,,a,(心之2)中有一个向量可以由其它的向量线 性表出，那么如果向量组1,,,,(s之2)称为线性相关的 例如，向量组a,=(2,-1,3,1),a2=(4,-2,54),43=(2,-1,4,-1)是线性相关的
(1,0,2), (0,1, 1) (1,1,1), (1,2,0); 1 2 1 2 = = − = = 则向量组 1 2 , 与 1 2 , 是等价的。 由定义不难证明，每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量 t , , , 1 2 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，向量组 s , , , 1 2 可由向量组 p , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 可以经向量组 p , , 1 2 线性表 出。 事实上，如果 = = s j i ij j k 1 , i = 1,2, ,t, = = p m j jm m l 1 , j = 1,2, ,s, 则 = = = s j p m i ij jm m k l 1 1 , = = = p m s j ij jm m k l 1 1 ( ) , i = 1,2, ,t, 这就是说，向量组 t , , , 1 2 中 每一个向量都可以经向量组 p , , 1 2 线性表 出，因而向量组 t , , , 1 2 可以经向量组 p , , 1 2 线性表出。 由上述的结论，得知向量组之间的等价有以下的性质： 1) 反身性：每一个向量都与它自身等价； 2) 对称性：如果向量组 t , , , 1 2 与向量组 s , , , 1 2 等价，那么向量组 s , , , 1 2 与向量组 t , , , 1 2 也等价; 3) 传递性：如果向量组 t , , , 1 2 与向量组 s , , , 1 2 等价， s , , , 1 2 与 p , , 1 2 等价，那么向量组 t , , , 1 2 与 p , , 1 2 等价。 定义 11 如果向量组 , , , ( 2) 1 2 s s 中有一个向量可以由其它的向量线 性表出，那么如果向量组 , , , ( 2) 1 2 s s 称为线性相关的。 例如，向量组 (2, 1,3,1), (4, 2,5,4), (2, 1,4, 1) 1 = − 2 = − 3 = − − 是线性相关的
因为 3a1-a3=a43- 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的，还可看 出，向量组g,&,线性相关就表示g=ka,或者a,=ka,(这两个式子不一定同时 都成立)。在P为实数域，并且是三维的情形，这就表示向量4，与α，共线。三个 向量a,,α，线性相关的几何意义就是它们共面，因为由定义，其中一个向量是 另外两个向量的线性组合，譬如 a=ka,+las. 这就是说，α，在a,与a,所在的平面上。 向量的线性相关性的定义还可以用另一个说法： 定义11a,42,,a,(s2)称为线性相关，如果有数域P中不全为零的 数k,k,…,k,使 k41+k2a2+…+k,a,=0 现在我们来证明这两个定义在s≥2的时候是一致的。 如果向量组a,4,…,a,按定义11广是线性相关的，那么其中有一个向量是其 它向量的线性组合，譬如说 a,=k1a1+k242+…+k-a- 把它改写一下，就有 ka1+ka2+…+k-1a1+(-l)a,=0 因为数k,k2,,k-1不全为零时（至少-1≠0），所以按定义11，这个向量组 线性相关。反过来，如果向量组a,2,…,a,按定义11线性相关，即有不全为零 的数k1,k2,…,k,使 ka1+k202+…+k,a=0., 因为k,k2,,k,不全为零，不妨设k,≠0于是上式可以改写为
因为 31 − 2 = 3。 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的，还可看 出，向量组 1 2 , 线性相关就表示 1 2 = k 或者 2 1 = k (这两个式子不一定同时 都成立)。在 P 为实数域，并且是三维的情形，这就表示向量 1 与 2 共线。三个 向量 1 2 3 , , 线性相关的几何意义就是它们共面，因为由定义，其中一个向量是 另外两个向量的线性组合，譬如 , 1 2 3 = k + l 这就是说， 1 在 2 与 3 所在的平面上。 向量的线性相关性的定义还可以用另一个说法： 定义 11` , , , ( 1) 1 2 s s 称为线性相关，如果有数域 P 中不全为零的 数 s k , k , , k 1 2 ，使 0. k11 + k2 2 ++ ks s = 现在我们来证明这两个定义在 s 2 的时候是一致的。 如果向量组 s , , , 1 2 按定义 11`是线性相关的，那么其中有一个向量是其 它向量的线性组合，譬如说 . s = 1 1 + 2 2 + + s−1 s−1 k k k 把它改写一下，就有 ( 1) 0. k11 + k2 2 ++ ks−1 s−1 + − s = 因为数 k1 , k2 , , ks−1 ,−1 不全为零时（至少-1 0），所以按定义 11`，这个向量组 线性相关。反过来，如果向量组 s , , , 1 2 按定义 11`线性相关，即有不全为零 的数 s k , k , , k 1 2 ，使 0. k11 + k2 2 ++ ks s = ， 因为 s k , k , , k 1 2 不全为零，不妨设 ks 0 于是上式可以改写为 . 2 1 1 1 2 1 − − = − − − − s s s s s s k k k k k k
这就是说，向量α“，可以被其它的向量线性表出，所以此向量组按定义11也线性 相关。1 定义12 一向量组4，a2,…,4,(s之1)不线性相关，即没有不全为零的数 k,k,…,k,使 k1+k3a2+…+k,0,=0 就称为线性无关：或者说，一向量组，4，，α，称为线性无关，如果由 ka1+k2a2+…+k,a,=0. 可以推出 k=k3==k,=0. 由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性 相关，设向量组a,a2,…,,…a,(心≤r),其中一部分中，譬如说a,a,…,0,线性 相关，即有不全为0的k,k2,…,k,使 ka1+ka2+…+k,,=0. 由上式可以得出 k1+k,a,++k.C.+0a1+…+0a.=0. 因为k1,k2,…,k,不全为0，所以k,k2,…,k,0,…,0不全为0，因而a,2,,a,线 性相关。 换个说法，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线 性无关。特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量 组中一定不能包含两个成比例的向量。 定义11包含了 由一个向量构成的向量组的情形。按定义，向量组α线性相 关就表示有k≠0（因为只有一个数，所以不全为0就是它不等于0）使 R≠0. 由数乘的性质推知a=0。因此，向量组α线性相关就表示a=0。 不难看出，由n维向量，52，，6n组成的向量组是线性无关的，事实上，由 k6+k262+…+knEn=0, 也就是由 k(1,0,…,0)+k2(0,1,…,0)+…+k(0,0,…1) =(k,k2.…,k) =(0,0,…,0) 可以推出 k=k2=…=kn=0
这就是说，向量 s 可以被其它的向量线性表出，所以此向量组按定义 11 也线性 相关。¶ 定义 12 一向量组 , , , ( 1) 1 2 s s 不线性相关，即没有不全为零的数 s k , k , , k 1 2 使 0. k11 + k2 2 ++ ks s = 就称为线性无关；或者说，一向量组 s , , , 1 2 称为线性无关，如果由 0. k11 + k2 2 ++ ks s = 可以推出 0. k1 = k2 == ks = 由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性 相关，设向量组 , , , , ( ), 1 2 s r s r 其中一部分中，譬如说 s , , , 1 2 线性 相关，即有不全为 0 的 s k , k , , k 1 2 使 0. k11 + k2 2 ++ ks s = 由上式可以得出 0 0 0. k11 + k2 2 ++ ks s + s+1 ++ r = 因为 s k , k , , k 1 2 不全为 0，所以 k1 , k2 , , ks ,0, ,0 不全为 0，因而 r , , , 1 2 线 性相关。 换个说法，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线 性无关。特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量 组中一定不能包含两个成比例的向量。 定义 11`包含了由一个向量构成的向量组的情形。按定义，向量组 线性相 关就表示有 k 0 （因为只有一个数，所以不全为 0 就是它不等于 0）使 k 0. 由数乘的性质推知 = 0 。因此，向量组 线性相关就表示 = 0。 不难看出，由 n 维向量 n , , , 1 2 组成的向量组是线性无关的，事实上，由 0, k1 1 + k2 2 ++ kn n = 也就是由 (0,0, ,0) ( , , ) (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) 1 2, 1 2 = = + + + n n k k k k k k 可以推出 0. k1 = k2 = = kn =