这就是方程组(8)的一般解，其中x,是自由未知量。 从这个例子看出， 一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子。 应该看到，>n的情形是不可能出现的。 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出现的话） 去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等 代是零等于非零的数，那么方程组 否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个 数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数”小于未知量的个 数，那么方程组就有无穷多个解。 把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 定理1在齐次线性方程组 a+a2x2+..+ax=0. a21x1+a2x2+…+a2nx2=0 a+a2x2+…+anxn=0. 中，如果s<，那么它必有非零解 证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程 组中方程的个数，即 r≤s<n. 由r<如得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。「 矩阵 aa22…amb a2a22…a2mb (10) a1a2…amb 称为线性方程线(1)的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组(1)或阶梯形就 相当于用初等变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是 无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。 例解 2x1-x+3x3=1 4x1-2x2+5x3=4, 2x-2+4x3=0. 对它的增广矩阵作初等变换， (2-131月(2-131)(2-131 g8888。 4-254 →00-12 从最后一行(0001)可以看出原方程组无解
这就是方程组（8）的一般解，其中 2 x 是自由未知量。 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是（5）的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成（5）的样子。 应该看到，r>n 的情形是不可能出现的。 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程线，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话） 去掉，如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非零的数，那么方程组无解， 否则有解，在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个 数，那么方程组有唯一的解，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个 数，那么方程组就有无穷多个解。 把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 定理 1 在齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0. 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 中，如果 s<n,那么它必有非零解。 证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程组个数不会超过原方程 组中方程的个数，即 r s<n. 由 r<n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。¶ 矩阵 s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 22 22 2 2 11 22 1 1 （10） 称为线性方程线（1）的增广矩阵，显然，用初等变换化方程组（1）或阶梯形就 相当于用初等变换化增广矩阵（10）成阶梯形矩阵。因而，解线性方程组的第一 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是 无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。 例 解 − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 对它的增广矩阵作初等变换， − − − 2 1 4 0 4 2 5 4 2 1 3 1 → − − − 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 3 1 → − − 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 从最后一行（0 0 0 1）可以看出原方程组无解
§2n维向量空间 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最 基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解， 这样，消元法 就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯 决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作 讲一光的研究 个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的， 譬如说，在1方程组(8 2x1-2+3x3=1 4x1-2x2+5x3=4, 2x-x3+4x3=-1. 中，第一个方程的3倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三 个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中 只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系 的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必 要来研究方程之间的关系。 -个n元方程 a+a2x2+…+anxn=b 可以用n+1元有序数组 (a,a2,…,an,b) 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的+1元有序数组之间的关 系。因此，我们先来讨论多元有序数组。 应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有 极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来 划画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位 置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标 又如力学中的力、速度、加速度等 由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后 它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不 少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个n元方程组的解是由n个数组成，而 这个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的 例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个 数)以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要4个数来刻画。至于 一个刚 体的位置的确定就需要6个数了，事实上，如果我们在刚体中取定 一个点以及过 这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向 (两个数一一它的方向余弦的两个)，以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。 在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如 个工厂的生产好几种产品 那么为了说明这个 就需要同时指出 每种产品的月 丁厂的 原料是来自好多地方，于是 个原料的采购计划就需要指出从每个原料产 地的米 购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组
§2 n 维向量空间 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最 基本的方法，但是，有时候需要直接从原方程组来看它是否有解，这样，消元法 就不能用了。同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯一 决定的呢，这个问题也是没有解决的，这些问题就要求我们对线性方程组还要作 进一步的研究。 显然，一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的， 譬如说，在§1 方程组（8） − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 中，第一个方程的 3 倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说，第三 个方程可以去掉而不影响方程组的解。在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中 只含有两个方程正是反映了这个情况。可以认为，初等变换是揭露方程之间关系 的一种方法。因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论它解的情况，我们有必 要来研究方程之间的关系。 一个 n 元方程 a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b 可以用 n+1 元有序数组 ( , , , , ) a1 a2 an b 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的 n+1 元有序数组之间的关 系。因此，我们先来讨论多元有序数组。 应该指出，多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面还有 极其广泛的联系。在解析几何中我们已经看到，有的事物的性质不能用一个数来 刻画。例如，为了刻画一个点在平面上的位置需要用两个数，一点在空间中的位 置需要三个数，也就是产要知道它们的坐标。又如力学中的力、速度、加速度等， 由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后， 它们就可以用三个数来刻画。几何中向量的概念正是它们的抽象。但是，还有不 少的东西用三个数来刻画是不够的，如一个 n 元方程组的解是由 n 个数组成，而 这 n 个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，在几何上这样的 例子也是不少的，为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标（三个 数）以及它的半径，也就是说，球的大小和位置需要 4 个数来刻画。至于一个刚 体的位置的确定就需要 6 个数了，事实上，如果我们在刚体中取定一个点以及过 这一点的一根轴，那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数），轴的方向 （两个数――它的方向余弦的两个），以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）。 在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况。譬如一个工厂的生产好几种产品， 那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量又如一个工厂的 原料是来自好多地方，于是一个原料的采购计划就需要指出从每个原料产地的采 购量。总之，这样的例子举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组
(a,a2,…,an), (1) a,称为向量(1)的分量 几何上的向量可以认为是它的特殊情况，即=2,3且P为实数域的情形。在 3时，n维向量就没有直观的几何意义了，我们所以仍然称它为向量，一方面 固然是由于它包括通常的向量作为特殊情况，另一方面也由于它与通常的向量 样可以定义运算，并且有许多 了性质是 同的，因而采取这样的 一个几何的名 词有好处 以后，我们用小写希腊字母α，B,y,…来代表向量。 定义3如果n维向量 a=()B=(b,b2,b) 的对应分向量都相等，即 a.=b. (i=1.2.….n) 就称为这两个向量是相等的，记作&=B 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。 定义4向量 y=(a+b,az+ba+b) 称为向量 a=(a1,a2,…anbB=(6,b2,…bn) 的和，记为y=a+B 由定义立即推出： 交换律：a+B=B+a (2） 结合律：a+(B+y)=(a+)+Y (3) 定义5分量全为零的向量 (0,0,…,0) 称为零向量，记为0：向量(-a,-a2,…,-an)称为向量a=(a,a2,…an)的负向量 记为-a。 显然，对于所有的α，都有 +0=a, (4) a+(-a）)=0. (5) (2)--(⑤)是向量的四项基本运算规律
a a an ( , , , 1 2 ）， （1） i a 称为向量（1）的分量。 几何上的向量可以认为是它的特殊情况，即 n=2,3 且 P 为实数域的情形。在 n>3 时，n 维向量就没有直观的几何意义了，我们所以仍然称它为向量，一方面 固然是由于它包括通常的向量作为特殊情况，另一方面也由于它与通常的向量一 样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样的一个几何的名 词有好处。 以后，我们用小写希腊字母 , , , 来代表向量。 定义 3 如果 n 维向量 ( , , ), ( , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的对应分向量都相等，即 ai = bi （i=1,2,…,n）, 就称为这两个向量是相等的，记作 = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。 定义 4 向量 ( , , , ) = a1 + b1 a2 + b2 an + bn 称为向量 ( , , ), ( , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的和，记为 = + . 由定义立即推出： 交换律： + = +. (2) 结合律： + ( + ) = ( + ) + . (3) 定义 5 分量全为零的向量 (0，0，…，0) 称为零向量，记为 0；向量( , , , ) − a1 −a2 −an 称为向量 ( , , ) = a1 a2 an 的负向量， 记为 − 。 显然，对于所有的 ，都有 + 0 = , (4) + (−) = 0. (5) (2)----(5)是向量的四项基本运算规律
利用负向量，我们可以定义向量的减法。 定义6a-B=a+(-B) 定义7设k为数域P中的数，向量 (ka,ka,…,kan) 称为向量a=(a,a,…a)与数k的数量乘积，记为ka 由定义立即推出： k(a+B)=ka+kB.(6) (k+10a=ka+1a,(7) k(la)=(k0a,(8) 1a=a.(9) (6)-一（⑨）是关于数量乘法的四项基本运算规则。由(6)一（⑨）或由定义不难 推出： 0a=0, (10) -1)a=-a, 11) k0=0 (12) 如果k≠0，a≠0，那么 k≠0 (13) 定义8以数域P.中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在 它们上的加法和数量乘法，称为数域P上的维向量空间。 在n= 3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所组成的空间 以上已把数域P上全体维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结 构，即数域P上维向量空间，在以后的几节中将进一步地讨论它的性质，并用 这些性质描述和解决线性方程组中的一些问题。 向量通常是写成一行： a=(a,a2,…,an） 有时候也可以写成一列： a a 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。 §3 线性相关性 以下我们总是在一固定的数域P上的维向量空间中进行讨论，不再每次说 明了。 在这一节中我们来进一步研究向量之间的关系。两个向量之间的关系最简单
利用负向量，我们可以定义向量的减法。 定义 6 − = + (−). 定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( , , , ) 1 2 n ka ka ka 称为向量 ( , , ) = a1 a2 an 与数 k 的数量乘积，记为 k. 由定义立即推出： 1 .(9) ( ) ( ) ,(8) ( ) ,(7) ( ) ,(6) = = + = + + = + k l kl k l k l k k k (6)-----(9)是关于数量乘法的四项基本运算规则。由(6)-----(9)或由定义不难 推出： 0 =0， (10) (-1) = − ， (11) k 0=0 (12) 如果 k 0, 0, 那么 k 0. (13) 定义 8 以数域 P.中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在 它们上的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间。 在 n=3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所组成的空间。 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结 构，即数域 P 上 n 维向量空间，在以后的几节中将进一步地讨论它的性质，并用 这些性质描述和解决线性方程组中的一些问题。 向量通常是写成一行： ( , , , ) = a1 a2 an 有时候也可以写成一列： = n a a a 2 1 ， 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。 §3 线性相关性 以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维向量空间中进行讨论，不再每次说 明了。 在这一节中我们来进一步研究向量之间的关系。两个向量之间的关系最简单
所 是成比例。所谓向量α与B成比例就是说有一常数k满足 a=kB. 在多个向量之间，成比例的关系表现在线性组合。 定义9向量α称向量组B,B,,B,的一个线性组合，如果有数域P中的 数k,k,…,k,使 a=kB,+kB2+…+k,P 例如§1的方程组(8)的三个方程可以用向量 a=(2,-13,1.B=(4-2,5,4).y=(2.-1,4-10 来代表。我们知道，第3个方程等于第1个方程的3倍减去第2个方程，这等价 于a=3a,-a2这个等式表示a,是a,a,的一个线性组合。 又如，任一个n维向量 a=(a,a,…,a)都是向量组 6=(1,0…,0) E2=(01,…,0) (1) 5n=(0,0,…,1) 的一个线性组合，因为 a=as +a8+..+a_s_ 向量6,62，…，6称为n维单位向量。 由定义可以立即看出，零向量是任一向量的线性组合（只要取系数全为0就 行了)。 当向量α是月，B,…B的一个线性组合时，我们也说α可以经向量组 月，B,,B线性表出 定义10如果向量组%，a2,…,a,中每一个向量ag1=1,2,,)都可以经 向量组月B,月线性表出，那么向量4,4，，a,就称为可以经向量组 B,B2,,B,线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 例如设
的 是成比例。所谓向量 与 成 比例就是说有一常数 k 满足： = k. 在多个向量之间，成比例的关系表现在线性组合。 定义 9 向量 称向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合，如果有数域 P 中的 数 s k , k , , k 1 2 ，使 . 1 1 2 2 s s = k + k ++ k 例如 §1 的方程组(8)的三个方程可以用向量 = (2,−1,3,1), = (4,−2,5,4), = (2,−1,4,−1). 来代表。我们知道，第 3 个方程等于第 1 个方程的 3 倍减去第 2 个方程，这等价 于 3 . 3 = 1 − 2 这个等式表示 3 是 1 2 , 的一个线性组合。 又如，任一个 n 维向量 ( , , , ) = a1 a2 an 都是向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0) (1,0, ,0) 2 1 n (1) 的一个线性组合，因为 . a1 1 a2 2 an n = + ++ 向量 n , , , 1 2 称为 n 维单位向量。 由定义可以立即看出，零向量是任一向量的线性组合(只要取系数全为 0 就 行了)。 当向量 是 s , , , 1 2 的一个线性组合时，我们也说 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出。 定义 10 如果向量组 t , , , 1 2 中每一个向量 (i 1,2, ,t) i = 都可以经 向量组 s , , , 1 2 线性表出，那么 向量 t , , , 1 2 就称为可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 例如 设