西北工业大学：《控制工程导论》第四章 根轨迹法（4-3）广义根轨迹和零度根轨迹

②两业x大 §4.3广义根轨迹和委度根轨迹(1) §4.3.1广义根轨迹一除K之外其他参数变化时系统的根轨迹 例2系统开环传递函数G(s) (s+a)/4 1,s2(+Da=0→∞变化,绘制根轨迹;ξ=1时,(s)=? 解.(1)D(s)=s+s2+s+a=0 4 构造“等效开环传递函数”G(s) s3+s2+s/4s(s+0.5) ①实轴根轨迹:[-∞,0] 0.5 ②渐近线:n=-1/3q=±60°,180° 2 ③分离点: d dd+0.5 0.5 整理得:3d+0.5=0→d=-1/6 an=4d|d+0.5=2/27 5 ④与虚轴交点:D(S)=3+s2+s/4+a/4=0 Re[dojo]=-a2+a/4=0 ln[D(o)=-03+o/4=01a=1

§4.3 广义根轨迹和零度根轨迹 (1) 例2 系统开环传递函数 0 4 1 4 1 ( ) 3 2 解. (1) D s  s  s  s  a  ② 渐近线：  1 3  a  60 , 180  a ① 实轴根轨迹：[-∞,0] ( 1) ( ) 4 ( ) 2    s s s a G s ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? ③ 分离点： 0 0.5 1 2    d d 整理得： 3d  0.5  0  d  1 6 ④ 与虚轴交点： §4.3.1 广义根轨迹 — 除 K*之外其他参数变化时系统的根轨迹 3 2 2 * ( 0.5) 4 4 4 ( )      s s a s s s a 构造 “ 等效开环传递函数 ”G s 4 0.5 2 27 2 ad  d d   Re ( ) 4 0 2 D j    a  Im ( ) 4 0 3 D j       1 2 a  1 ( ) 4 4 0 3 2 D s  s  s  s  a 

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹门1 解.(2)ξ=1时,对应于分离点d,a2/27 a/4 (s+a)a=27(s+2 s(S+0.5) G(s) s(S+1) s(S+1) 0.5 S+ (S+ ①(S)= 2 2 s(S+1)+,(s+ (S+:)(s+ 27 0.5 h(t h(t) h(t) 单调收敛 振荡收敛 振荡发散 d 0.5 动态 o%=0 性能 s 稳定性 稳定 不稳定 稳态 4A 误差 g ess=

§4.3.1 参数根轨迹（1） 解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ( ) 4 1 ( ) 2 2 27 2        s s s s s s a G s a ) 3 2 ) ( 6 1 ( ) 27 2 ( 4 1 ) 27 2 ( 4 1 ( 1) ) 27 2 ( 4 1 ( ) 2 2         F  s s s s s s s s 2 * ( 0.5) 4 ( )   s s a G s

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹(2) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 5(S+26 s(+D),10绘制根轴 解I.D(s)=T+s2+615s+15990=0 (s2+615+15990)(s+27.7)(S+587.7) G(s)= d190 877 27760 ①实轴上的根轨迹:[-∞,5877],[-277,0] 60040 ②出射角:2×0-30=(2k+1)兀 6=±60°,180 600 ReD(ja)=-a2+15990=0 ③虚轴交点: Q=√15990=12645 mD(jo)=-To+6150=0r=615/15990=0.0385 ④分离点 3 d1=-40.5,d2=-1190√ dd+27.7d+5877 解根: d+27.7d+587 整理得:d2+1231d+47970=0 =0.00055

§4.3.1 参数根轨迹（2） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) 615 15990 0 3 2 解 I . D s  Ts  s  s   ② 出射角： 2 0  3  (2k  1)   60 , 180 ① 实轴上的根轨迹：[-∞,-587.7], [-27.7,0] ( 1) 615( 26) ( ) 2    s Ts s G s , T=0→∞, 绘制根轨迹。 ④ 分离点： 587.7 1 27.7 3 1     d d d 整理得： 1231 47970 0 2 d  d   解根： 40.5, 1190 d1   d2   0.00055 27.7 587.7 3     d d d Td 3 3 2 * ( 27.7)( 587.7) 1 ( 615 15990) 1 ( ) s s S T s s s T G s       ③ 虚轴交点： Re ( ) 15990 0 2 D j     Im ( ) 615 0 3 D j  T      15990  126.45 T  615 15990  0.0385

②两业x大 §4.3.1参数根轨迹(3) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 615(S+26) T=0-∞,绘制根轨迹。 (Ts+1) 解∏.D(s)=Ts:2+s2+615+15990=0 G2(s) (s+277)(s+5877)(S+1) 400 ①实轴根轨迹:[-∞,5877],[-277,0 ②分离点:d=-1190 d|-190 5877 -27760 l000 600400200 T=0.00055 ③虚轴交点:/0=12645 400 T=0.0358 -600 ④入射角:0=±60°,180

§4.3.1 参数根轨迹（3） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) 615 15990 0 3 2 解II . D s  Ts  s  s   ④ 入射角：   60 , 180 ① 实轴根轨迹：[-∞,-587.7], [-27.7,0] ( 1) 615( 26) ( ) 2    s Ts s G s , T=0→∞, 绘制根轨迹。 ② 分离点： d  1190 Td  0.00055 ( 27.7)( 587.7)( 1) ( ) 3 * 2     s s Ts G s ③ 虚轴交点：   126.45 T  0.0358  s

②两业x大 §4.3广义根轨迹 §4.32零度根轨迹一系统实质上处于正反馈时的根轨迹 KII(s-zi) G(SH(S K(S-x1)…(S-zm) (s-D1)(S-p2)…(s-pn) (s-p)→ G(s) 1-G(S)H(S) H(s) G(S)H(S) K(S-x1)…(S-zm) +1 (S-P1)(s-p2)…(S-pn) G()H(S)-p-“-m/xxs-z Ks-x1|…s =1一模值条件 S-p ∠G(s)H(3)=∑∠(s-x)-∑4(-)=2kx一相角条件

§4.3 广义根轨迹              n j j m i i n m s p K s z s p s p s p K s z s z G s H s 1 1 * 1 2 1 * ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 1 2 1 *              n j j m i i n m s p s z K s p s p s p K s z s z G s H s   — 模值条件 — 相角条件 §4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 *        n m s p s p s p K s z s z G s H s            n j j m i G s H s s zi s p 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s F s 