《突变函数》课程教学资源（讲义）第四章 可测函数（4.2）可测函数的收敛性

不依测度收敛 日a>0,使得mE不收敛于0 a>0,3E>0,VN>0,3n≥N,使得nNE 依测度收敛 Va>0,有 lim mEu=ma1=0 Va>0,VE>0.,3N>0,Mn≥Na,有mE1mnan1<E

不依测度收敛 [| | ] 0, 0, 0, , n             N n N E    有 f f −  m   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n 有 m E n 依测度收敛   0,使得 [| f − f | ] 不收敛于0 n m E 0, 0, 0, , [| | ] n             N n N E 使得m f f − 

2.几种收敛的区别 (1)处处收敛但不依测度收敛 f(x)= I xE(O, n x∈(n,+00) 在R上处处收敛于fx)=1 说明:当n越大,取1的点越多,故{f(x)}在R+上处处收敛于1 对0<σ<1有mm5nma1=mm(n,+∞)=+ 所以{x)在R+上不依测度收敛于1,另外{不几乎一致收敛于1

⒉几种收敛的区别 说明：当n越大，取1的点越多，故{fn (x)}在R+上处处收敛于1   = +  = + → −  → 0 1, lim lim ( ) 对 有 m E[| | ] m n， n f f n  n  （1）处处收敛但不依测度收敛 n ( ) { 1,2,  1 (0, ] 0 ( , ) = =   + f x n x n n x n 在R+上处处收敛于f(x)=1 , 所以{fn (x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn }不几乎一致收敛于1