哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第四章 n维向量与线性方程组

0=0a1+0ax2+…+0an 注:这里的表示系数全部为零.如果限定表示系数不 全为零,有些n维向量组就不能表示n维零向量了 因此,存在不全为零的系数表示n维零向量是某些 n维向量组特有的属性.这个性质引出了向量组的 线性相关性定义 定义4.5设有n维向量组a,、2…,n,如果存在 组不全为零的数k,k2,…kn使得 k;a1+k2a2+…+knan=0(4) 则称向量组a,2…,an线性相关。否则称向量组 an线性无关,即仅当k1,k2…,k全部为零时 (4)式才成立 哈工大数学系代数与几何教研室

0  01  02  0 m 注:这里的表示系数全部为零.如果限定表示系数不 全为零,有些 n 维向量组就不能表示 n 维零向量了. 因此,存在不全为零的系数表示 n 维零向量是某些 n 维向量组特有的属性.这个性质引出了向量组的 线性相关性定义. 定义 4.5 设有 n 维向量组   m , , , 1 2  ，如果存在一 组不全为零的数 m k , k , , k 1 2  使得 0 k1 1  k 2 2   k m m  （4） 则称向量组   m , , , 1 2  线性相关。否则称向量组    m , , , 1 2  线性无关，即仅当 m k , k , , k 1 2  全部为零时 ( 4 )式才成立

4 例如,向量组a1=2a2=-3,a3=1线性相关 事实上,由于a3=2a1+a2,故有一组不全为零的数2, 1,-1使得2a1+a2+(-1)x3=0 又例如,向量组 ax3=(0,1,2)线性无关。 k,+2k 0 事实上,设ka1+ka2+ka3=0,即{k-3k2+k3=0 k1+2k,+2k2=0 由该方程组的系数行列式D -14≠0 哈工大数学系代数与几何教研室

例如，向量组                       1 1 4 , 1 3 2 , 1 2 1 1  2  3 线性相关. 事实上，由于 3  21  2 ，故有一组不全为零的数 2， 1 ，-1 使得 2 ( 1) 0 1  2    3  . 又例如，向量组 1, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2 1    2    3  线性无关。 事实上，设 k11  k 2 2  k3 3  0，即              2 2 0 3 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 k k k k k k k k 由该方程组的系数行列式 14 0 1 2 2 1 3 1 1 2 0     D  

0 故方程组只有零解{k2=0 k2=0 因此该向量组线性无关 定理4.2n维列向量组a,a2…,n线性相(无)关的充要条件 是齐次线性方程组 xa1+x2a2+…+xnm=0 有非零解(只有零解) 推论1设n维向量组a1,a2…,n,如果以a1,a2…n为列构成 矩阵A,则 (1)向量组a1,a2…,an线性相关的充要条件是 r(a)<m (2)向量组a1,a2…,m线性无关的充要条件是 r(a)=m 哈工大数学系代数与几何教研室

故方程组只有零解         0 0 0 3 2 1 k k k 因此该向量组线性无关。 定理 4.2 n 维列向量组   m , , , 1 2  线性相(无)关的充要条件 是齐次线性方程组 x11  x2 2  xm m  0 有非零解(只有零解) . 推论 1 设 n 维向量组   m , , , 1 2  ,如果以   m , , , 1 2  为列构成 矩阵 A,则 (1) 向量组   m , , , 1 2  线性相关的充要条件是 r(A)  m (2) 向量组   m , , , 1 2  线性无关的充要条件是 r(A)  m

此推论给出了判断向量组a1,a2…,n线性相(无)关的 种方法-矩阵秩数法 (1)以a1,a2…an为列构成矩阵A; (2)用初等行变换化A为阶梯形矩阵,即A→K(阶梯形 矩阵),得r(A)=r; (3)当r(4)=r<m时,a1,a2…Cm线性相关, 当r(A)=r=m时,a1,a2…an线性无关。 例1判别向量组 4 3 的线性相关性 哈工大数学系代数与几何教研室

此推论给出了判断向量组   m , , , 1 2  线性相(无)关的一 种方法--矩阵秩数法: (1) 以    m , , , 1 2  为列构成矩阵 A； (2) 用初等行变换化A为阶梯形矩阵,即A  KA (阶梯形 矩阵),得 r(A)  r ； (3) 当 r(A)  r  m时,    m , , , 1 2  线性相关， 当 r(A)  r  m 时,    m , , , 1 2  线性无关。 例 1 判别向量组                       2 1 4 , 1 3 2 , 1 2 1 1  2  3 的线性相关性

解:将以a1a2,a3为列的矩阵A化为阶梯阵 011|=K 00 得r(A)=3。 因此a1,a2a3线性无关 推论2n个n维向量组a1,a2…,an线性相关的充 要条件是|4=0; n个n维向量组a1,a2,…,an线性无关的充 要条件是|A≠0。 哈工大数学系代数与几何教研室

解：将以 1 2 3  , , 为列的矩阵 A 化为阶梯阵:   A r K A                    0 0 1 0 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 2 4 2 1 2 3 1  2  3 得 r(A)  3。 因此 1 2 3  , , 线性无关. 推论 2 n 个 n 维向量组   n , , , 1 2  线性相关的充 要 条 件 是 A  0 ； n 个 n 维向量组   n , , , 1 2  线性无关的充 要 条 件 是 A  0