哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第四章 n维向量与线性方程组

对任意n维向量a,B,y和数k及l,有 (1)a+B=B+a (2)(a+B)+y=a+(+ (3)a+0=a (4)a+(a)=0 (5)l=a,(-1x= (6)k(la)=(k (7) k(a+B)=ka+kB (8)(k+D)a=ka+la 哈工大数学系代数与几何教研室

(1)     (2) ()    (3) 0 (4) () 0 (5) 1 , (1)  (6) k(l) (kl) (7) k() kk (8) (k l)  kl. 对任意 n 维向量,  , 和数 k 及 l ,有：

4.2向量组的线关系 4.2.1向量的线性组合 定义对于n维向量组a,a2…n及n维向量β如果有一组 数k1,k2,…,k使得B=ka1+k2a2+…+knm成立 则称向量是向量组a,a2…an的线性组合,或称B可由向量 组a1,a2…an线性表示,此时称k1,k2…,kn为组合系数或表示系 数 例如,3维向量组 0.0 B=(a 哈工大数学系代数与几何教研室

      a , b , c  0, 0, 1 0, 1, 0 1, 0, 0 3 2 1         定义 对于 n 维向量组   m , , , 1 2  及 n 维向量 如果有一组 数 m k , k , , k 1 2  使得 m m   k11  k 2 2  k  成立 则称向量 是向量组   m , , , 1 2  的线性组合,或称 可由向量 组   m , , , 1 2  线性表示,此时称 m k , k , , k 1 2  为组合系数或表示系 数. 4.2 向量组的线关系 4.2.1 向量的线性组合 例如, 3 维向量组

则B=a1+b2+cE3 即B可由向量组s1,2,3线性表示,且表示系数是B的分量a,b,c 4 例 3,B 显然B=2a1+a2 即B可由向量组a,a2线性表示,且表示系数是:2,1 例如,n维向量组 E1 哈工大数学系代数与几何教研室

则 1 2 3   a  b  c 即 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示,且表示系数是 的分量a,b,c. 例                       1 1 4 , 1 3 2 , 1 2 1 1  2  显然   21  2 即 可由向量组 , , 1  2 线性表示, 且表示系数是:2,1. 例如，n 维向量组                             1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 2 2 1      n an a a    

显然a=a1E1+a2E2+……+anEn 即a可由向量组,2,…,n线性表示,且表示系数为a的 n个分量.称向量组c1,52…,5n为n维(标准)单位向量组 对于线性方程组 c1x1+a12x2+…+a1 21x1+a2x2+…+a2nxn=b ax + a +∴+a 记系数阵 哈工大数学系代数与几何教研室

显然 a a an n        1 1 2 2 即 可由向量组 n  , , , 1 2  线性表示, 且表示系数为 的 n 个分量.称向量组 n  , , , 1 2  为 n 维(标准)单位向量组. 对于线性方程组                  m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b          1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 (1) 记系数阵 ( , , , ) 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 n m m mn n n a a a a a a a a a                  A 

bb:b 则线性方程组(1)可以用向量的形式表示为: X,a, +x a .+nan (2) 定理4.1设n维列向量组B,a1,a2…,am,则B可由n维向量组 a,a2,…,n线性表示的充要条件为线性方程组 xax1+x2a2+…+xnn=B (3) 有解。 4.2.2向量组的线性相关与线性无关 对于n维零向量0可由任意n维向量组a1,2…,4线 性表示.事实上: 哈工大数学系代数与几何教研室

              m n x x x X b b b   2 1 2 1  , 则线性方程组(1)可以用向量的形式表示为: x11  x2 2  xn n   (2) 定理 4.1 设 n 维列向量组    m , , , , 1 2  ,则 可由 n 维向量组    m , , , 1 2  线性表示的充要条件为线性方程组 x11  x22  xm m   (3) 有解。 4.2.2 向量组的线性相关与线性无关 对于n 维零向量0 可由任意n 维向量组   m , , , 1 2  线 性表示.事实上: