哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第四章 n维向量与线性方程组

例2判别向量组 a=(,1,-1),B=(2,-3,2),y=(0,12)的线性相关性 解由于A=(aBy) 131=-14≠0 故a,B,y线性无关 推论3R"中任意m(m>n)个向量的向量组 an必线性相关。 例3判别向量组 a4=4的线性相性 解由于n=3,m=4,m>n,故a1,a2,a3,a4线性相关 哈工大数学系代数与几何教研室

例 2 判别向量组   1, 1, 1,   2,  3, 2,   0, 1, 2的线性相关性. 解 由于   T T T A     14 0 1 2 2 1 3 1 1 2 0        T T T A    故,  , 线性无关. 推论 3 n R 中任意 m (m>n)个向量的向量组    m , , , 1 2  必线性相关。 例 3 判别向量组                              7 4 1 , 2 1 4 , 1 3 2 , 1 2 1 1  2  3  4 的线性相性. 解 由于 n  3,m  4,m  n, 故 1 2 3 4  ,  ,  , 线性相关

例4设有向量组 a=(2,-1,1,3),B=(,0,4,2),y=(-4,2,-2,k 讨论k取何值时a,B,y线性相关?k取何值时a,B,y线性 无关? 解以a,B,y为列构造矩阵 21-4 010 040 32k 02k+6 102 010 010 K 000 00k+6 00k+6 000 3.k≠-6 由于r(A) k=-冶工大数学系代数与几何教研室

例 4 设有向量组   2, 1, 1, 3,   1, 0, 4, 2,    4, 2,  2,, k  讨论k 取何值时,  , 线性相关? k 取何值时,  , 线性 无关? 解 以,  , 为列构造矩阵: A r r r r r r r r r r r r r r k k k k K A                                              0 0 0 0 0 6 0 1 0 1 0 2 0 0 6 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 2 6 0 4 0 0 1 0 1 0 2 3 2 1 4 2 1 0 2 2 1 4 4 2 3 4 3 2 4 11 3 1 2 1 2 2 4 3 2 由于         2, 6. 3, 6; ( ) k k r A

故k≠-6时,a,B,y线性无关 k=-6时,a,B,y线性相关。 例4.2证明n维单位向量组s1,2…,En线性无关。 证方法1(定义法):设有一组数k,k2…kn使得 k151+k262+…+k,En=0 00 k1(0 即有k1 0 0 k,.|+…+k 因此k1=k2=…=kn=0,由定义向量组s1,62…,n线性无 关 哈工大数学系代数与几何教研室

故 k  6 时, , , 线性无关； k  6时，, , 线性相关。 例 4.2 证明 n 维单位向量组 n  , , , 1 2  线性无关。 证 方法 1（定义法）: 设有一组数 n k , k , , k 1 2  使得 0 k1 1  k2 2  kn n  即有                                    0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 2       n n k k k k k k 因此 k1  k2   kn  0 ,由定义向量组 n  , , , 1 2  线性无 关

方法2(矩阵秩数法):由J以向量s,2灬…5n为冽列的矩阵 E r(En)=n故由推论1向量组s,s2…n线性无关 方法3(行列式法):由于向量组s1,2…,n的矩阵为 E 其行列式为E 1≠0, 哈工大数学系代数与几何教研室

方法2（矩阵秩数法）:由于以向量 n  , , , 1 2  为列的矩阵为        1 1 1  En ,r E n ( n )  故由推论1向量组 n  , , , 1 2  线性无关. 方法 3（行列式法）:由于向量组 n  , , , 1 2  的矩阵为        1 1 1  En 其行列式为 1 0 1 1 1     En