北京航空航天大学：毕设论文——数学分析中的问题与反例

北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 0, x为无理数 f(x)= 11, x为有理数 任一有理数>0均是它的周期。事实上，若x是无理数，则x+r也是无理数， 故f(x+r)=f(x)=0:又若x是有理数，则x+r也是有理数，故仍有 f(x+r)=f(x)=1l。因正有理数集无最小数，故Dirichelet函数无最小正周期。 注对连续的周期函数来说，也未必有最小正周期。例如，常值函数 f(x)=C,一切正实数都是它的正周期。因一切正实数无最小者，故常值函数无 最小正周期。 31.3无穷大量必为无界量，但无界量不一定是无穷大量。 反例：f(x)=x·C0Sx,当x→o无界量。 事实上，对无论多大的G>0,总存在x,=nz,当n>G 时，有 f(xn)=nπcosnπ=nπ>G 然而，当x→oo时，若取x,=nπ+ 2此时 f化，kar+受cos+=0,即f)并不趋于 3.1.4我们有如下命题：若满足下列两条件之一： (i)f(w)在4连续，limg(x)=4, r→xa (ii)1imf(u=A,Iimg(x)=46,但在x的某个邻域(x-6,xo+)内， Mo 当x≠x时g(x)≠%，那么 limf(g(x)=limf(w） →x 这个定理具有很重要的意义，我们时常对自变量作代换来求极限，其实是基 于这个定理的。例如，求Iimf(g(x)》时，作代换u=g(x),而由Iimg(x)=4, 把求Iimf(g(x)的问题化为求极限Iimf(u)。但是这样作代换，并不是永远通 行无阻的，还必须注意定理的条件。因此，在讨论1imf(g(x)》时，不考虑定理 的条件而轻易地作代换u=g(x),并从Iimg(x)=0和1imf()=1来断定

北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 ⎩ ⎨ ⎧ = 1 . 0 , , ( ) ， 为有理数 为无理数 x x f x 任一有理数r＞0均是它的周期。事实上，若 x 是无理数，则 x + r 也是无理数， 故 f (x + r) = f (x) = 0 ；又若 x 是有理数，则 x + r 也是有理数，故仍有 f (x + r) = f (x) =1。因正有理数集无最小数，故 Dirichelet 函数无最小正周期。 注 对连续的周期函数来说，也未必有最小正周期。例如，常值函数 f (x) ≡ C ，一切正实数都是它的正周期。因一切正实数无最小者，故常值函数无 最小正周期。 3.1.3 无穷大量必为无界量，但无界量不一定是无穷大量。 反例： f (x) = x ⋅ cos x ，当 x → ∞ 无界量。 事实上，对无论多大的G > 0，总存在 xn = nπ ，当 π G n > 时，有 f (xn ) = nπ ⋅ cosnπ = nπ > G 然而，当 x → ∞ 时，若取 2 π xn = nπ + ，此时 ) 0 2 ) cos( 2 ( ) = ( + ⋅ + = π π π f x nπ n n ，即 f (x) 并不趋于∞ 3.1.4 我们有如下命题：若满足下列两条件之一： （i） f (u) 在u0连续， 0 lim ( ) 0 g x u x x = → ， （ii） f u A u u = → lim ( ) 0 ， 0 lim ( ) 0 g x u x x = → ，但在 0 x 的某个邻域( , ) x0 − δ x0 + δ 内， 当 0 x ≠ x 时 0 g(x) ≠ u ，那么 lim ( ( )) lim ( ) 0 0 f g x f u x→x u→u = . 这个定理具有很重要的意义，我们时常对自变量作代换来求极限，其实是基 于这个定理的。例如，求 lim ( ( )) 0 f g x x→x 时，作代换u = g(x)，而由 0 lim ( ) 0 g x u x x = → ， 把求 lim ( ( )) 0 f g x x→x 的问题化为求极限 lim ( ) 0 f u u→u 。但是这样作代换，并不是永远通 行无阻的，还必须注意定理的条件。因此，在讨论 lim ( ( )) 0 f g x x→x 时，不考虑定理 的条件而轻易地作代换u = g(x)，并从lim ( ) 0 0 = → g x x 和lim ( ) 1 0 = → f u u 来断定

北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 limf(g(x))=limf(u)=1, 那就是错误的。 例如： 设 f(= 1,u≠0， 0，u=0, 1/q,x=p/q,p与q是互质的整数，且g>0, g(x)= 0 x为无理数 显然，1imf(u=1,limg(x)=0.但是，若取x为无理数，则g(x)=0,从而 limf(g(x))=0. 若取x为有理数，x=pq,则g(x)=/q,从而 1imf(8(x》=1 可见limf(g(x)不存在。 所以，函数y=f四，u=g(x)适合1imf四=B,lim8)=A,但mf(g(x》 不存在。 3.2函数的连续性 3.2.1关于乘积函数连续性的例子。 关于乘积函数的连续性，我们熟知定理：若函数∫与g在x处皆连续，则g 在x处亦连续，但当∫与g在x处不同时连续时，可以有下述各种不同情况。 (a)函数f(x)=x在x=0连续。g(x)=sin(l/x),x≠0；g(0)=0在x=0 处不连续。由于 limxsin(1/x)=0=f(0)=g(0), 故fg在x=0连续。 (b)f(x)=x在x=0连续，g(x)=1/x,x≠0，g(O)=0在x=0处不连续。 其积8在x=0不连续

北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 lim ( ( )) lim ( ) 1 0 0 = = → → f g x f u x u ， 那就是错误的。 例如： 设 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0 , 0, 1 , 0, ( ) u u f u ⎩ ⎨ ⎧ = > = 0 , . 1 , , 0, ( ) 为无理数 与 是互质的整数，且 x q x p q p q q g x 显然，lim ( ) 1 0 = → f u u ，lim ( ) 0 0 = → g x x .但是，若取 x 为无理数，则 g(x) = 0，从而 lim ( ( )) 0 0 = → f g x x . 若取 x 为有理数， x = p q ，则 g(x) =1 q ，从而 lim ( ( )) 1 0 = → f g x x 可见lim ( ( )) 0 f g x x→ 不存在。 所以，函数 y = f (u) ，u = g(x)适合 f u B u A = → lim ( ) ， g x A x a = → lim ( ) ，但lim f (g(x)) x→a 不存在。 3.2 函数的连续性 3.2.1 关于乘积函数连续性的例子。 关于乘积函数的连续性，我们熟知定理：若函数 f 与 g 在 0 x 处皆连续，则 fg 在 0 x 处亦连续，但当 f 与 g 在 0 x 处不同时连续时，可以有下述各种不同情况。 (a) 函数 f (x) = x在 x = 0连续。g(x) = sin(1 x) ，x ≠ 0；g(0) = 0 在 x = 0 处不连续。由于 lim sin(1 ) 0 (0) (0) 0 x x f g x = = = → ， 故 fg 在 x = 0连续。 (b) f (x) = x在 x = 0连续，g(x) =1 x ，x ≠ 0，g(0) = 0 在 x = 0处不连续。 其积 fg 在 x = 0不连续

北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 (c) 设 x, fx)=1 x≤0， x20, g(x)= -1,x<0 0,x≥0 则f与g在x=0处皆不连续。 然而 lim f(x)g(x)=lim x.(-1)=0, 0- lim f(x)g(x)=lim 1.x=0, x→0+ x→0+ 所以 limf(x)g(x)=0=f(0)g(0), 即g在x=0连续 (d) 设f(x)=g(x)=x,x≠0：f0)=g(0)=0. 则f与g在x=0处皆不连续，其积在x=0处亦不连续。 综上所述，可列出下表（表3.1）。 表3.1 f在x=x 例 g在x=x0 g在x=x0 1 连续 连续 连续 定理 2 连续 不连续 连续 (a) 3 连续 不连续 不连续 (6) 4 不连续 不连续 连续 (c) 5 不连续 不连续 不连续 (d) 3.2.2关于复合函数连续性的例子。 关于复合函数的连续性，我们熟知定理：若f(x)在x=x连续，g(y)在 =f(x)连续，则复合函数gf(x》在x=x连续。但当gy)在y=%,fx)在 x=x,不同时连续时，可以有下述各种不同的结果。 (a)设 1/q,x=p/q为互质的整数，且q>0, f(x)= 0, x为无理数， g(0y)= 1,y为有理数， O,y为无理数

北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 (c) 设 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≤ = 0, 0. 1, 0, ( ) 1, 0, , 0, ( ) x x g x x x x f x ＜ 则 f 与 g 在 x = 0处皆不连续。 然而 lim ( ) ( ) lim ( 1) 0 0 0 = ⋅ − = → − → − f x g x x x x ， lim ( ) ( ) lim 1 0 0 0 = ⋅ = → + → + f x g x x x x ， 所以 lim ( ) ( ) 0 (0) (0) 0 f x g x f g x = = → ， 即 fg 在 x = 0连续 (d) 设 f (x) = g(x) =1 x ， x ≠ 0； f (0) = g(0) = 0. 则 f 与 g 在 x = 0处皆不连续，其积在 x = 0处亦不连续。 综上所述，可列出下表（表 3.1）。 表 3.1 — 0 f在x = x 0 g在x = x 0 fg在x = x 例 1 2 3 4 5 连 续 连 续 连 续 不连续 不连续 连 续 不连续 不连续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 连 续 不连续 定理 (a) (b) (c) (d) 3.2.2 关于复合函数连续性的例子。 关于复合函数的连续性，我们熟知定理：若 f (x) 在 0 x = x 连续， g( y) 在 ( ) 0 0 y = f x 连续，则复合函数 g( f (x))在 0 x = x 连续。但当 g( y) 在 0 y = y ， f (x) 在 0 x = x 不同时连续时，可以有下述各种不同的结果。 (a) 设 ⎩ ⎨ ⎧ = > = 0 , , 1 , 0, ( ) 为无理数 为互质的整数，且 x q x p q q f x ⎩ ⎨ ⎧ = 0， y为无理数. 1, y为有理数, g( y)

北京航空航天大学毕业设计（论文） 第 页 则f在x=0连续，g在f(0)不连续，而复合函数g(fx》=1在x=0连续。 (b)设f(x)=x2, 再设 g0y)= y, y≤I, 3y-5,y>1. 则f(x)在x=1连续，g(y)在f)=1不连续。因为 g(f(x))= x2, x≤1， 3x2-5,x>l, 所以复合函数g(fx)》在x=1不连续。 (c)函数f(x)=sgnx在x=0不连续，gy)=y(1-y2)在y=0连续，因 g(f(x)=(sgnx)1-sgnx)≡0， 故g(f(x)在x=0连续。 (d)设 1,x为有理数， f(x)= g(y)=y, 0,x为无理数， 则f(x)在x=0不连续，g(y)在=f(0)=1连续，而复合函数 1,x为有理数， g(f(x))= 0, x为无理数 在x=0不连续。 (e)设 f(x)= V9,x=p/q,p与q是互质的整数，且q>0, 1, x为无理数或x=0. g(0y)= 1,y为有理数， 0,y为无理数 则f(x)在x=0不连续，g(y)在。=f0)=1也不连续，然而g/》=1连续。 ()设f(x)=/x,x≠0，f(0)=0:g(y)=sgny,则f(x)在x=0不连续， g(y)在=f(O)=0不连续，符合函数g(f(x)=sgnx在x=0也不连续

北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 则 f 在 x = 0连续， g 在 f (0)不连续，而复合函数 g( f (x)) ≡ 1在 x = 0连续。 (b) 设 2 f (x) = x ， 再设 ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = 3 5, 1. , 1, ( ) y y y y g y 则 f (x) 在 x = 1 连续， g( y) 在 f (1) = 1 不连续。因为 ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = 3 5, 1, , 1, ( ( )) 2 2 x x x x g f x 所以复合函数 g( ) f (x) 在 x = 1 不连续。 (c) 函数 f (x) = sgn x在 x = 0不连续， ( ) (1 ) 2 g y = y − y 在 y = 0 连续，因 ( ( )) (sgn )(1 sgn ) 0 2 g f x = x − x ≡ ， 故 g( ) f ( ) x 在 x = 0连续。 (d) 设 ⎩ ⎨ ⎧ = ， 为无理数， 为有理数， x x f x 0 1 , ( ) g(y) = y ， 则 f (x) 在 x = 0不连续， g( y) 在 y0 = f (0) =1连续，而复合函数 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 . 1 , ( ( )) ， 为无理数 ， 为有理数 x x g f x 在 x = 0不连续。 (e) 设 ⎩ ⎨ ⎧ = = > = 1 , 0. 1 , , 0, ( ) x x q x p q p q q f x 为无理数或 与 是互质的整数，且 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 . 1 , , ( ) ， 为无理数 为有理数 y y g y 则 f (x) 在 x = 0不连续， g( y) 在 y0 = f (0) =1也不连续，然而 g(f ( ) x ) ≡1连续。 (f) 设 f (x) =1 x ，x ≠ 0， f (0) = 0；g( y) = sgn y ，则 f (x) 在 x = 0不连续， g( y) 在 y0 = f (0) = 0 不连续，符合函数 g( f (x)) = sgn x 在 x = 0也不连续

北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 综上所述，可列出下表（表3.2） 表3.2 f(x)在x=x )在%=f(x) g(f(x》在x=x 例 1 连续 连续 连续 定理 2 连续 不连续 连续 (a) 3 连续 不连续 不连续 (b) 不连续 连续 连续 (c) 5 不连续 连续 不连续 (d) 6 不连续 不连续 连续 (e) 7 不连续 不连续 连续 () 3.2.3容易证明：若f在[0，+o)上连续且limf(x)存在，则f在[0，+∞)上一致 连续。但是，若把“1imf(x)存在”代以“∫在[0，+o)上有界”。则这个命题就 不成立了。如： 设f(x)=sinx2,则f在[0，+o)上连续且有界。但是，它在[0，+o)上并不一致 连续。事实上，对于6=分无论怎样选取5>0，总可取正整数%充分大，使 <6再取x=(2mx卢，=2+加，则有 √n 戈-x Γ2 V2nπVno 但是， f(x2)-f(x)=sin(2no+z-sin 2noz =1>6o 因此，f(x)=sinx2在[0，+o)上不一致连续。 所以，上述反例说明：一个在[0，+∞)上连续且有界的函数，它在[0，+∞)上不 一致连续。 3.2.4若f(y)是严格单调的连续函数，而递增函数y=g(x)在点x间断，则 复合函数f(g(x)在x。亦必间断。在这个陈述中，函数f的严格单调性不能减弱 为单调性。例如： 两个单调函数∫，g,其中∫连续而g间断，但复合函数f。g确实连续的单

北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 综上所述，可列出下表（表 3.2） 表 3.2 — f (x) 在 0 x = x ) g(y 在 ( ) 0 0 y = f x g( f (x)) 在 0 x = x 例 1 2 3 4 5 6 7 连 续 连 续 连 续 不连续 不连续 不连续 不连续 连 续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 连 续 不连续 连 续 连 续 定理 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 3.2.3 容易证明：若 f 在[0,+∞)上连续且 lim f (x) x→∞ 存在，则 f 在[0,+∞)上一致 连续。但是，若把“ lim f (x) x→∞ 存在”代以“ f 在[0,+∞)上有界”。则这个命题就 不成立了。如： 设 2 f (x) = sin x ，则 f 在[0,+∞)上连续且有界。但是，它在[0,+∞)上并不一致 连续。事实上，对于 2 1 ε 0 = ，无论怎样选取δ > 0 ，总可取正整数n0 充分大，使 < δ 0 1 n .再取 2 1 1 0 x = (2n π ) ， 2 1 2 0 ) ] 2 1 x = [(2n + π ，则有 2 2 1 2 2 π x − x = . δ π π π π < − = + ≤ = < = < < − − − 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 (2 ) 2 ( ) 2 0 n n x x x x x x x . 但是， 2 1 0 2 0 1 0 ) sin 2 1 f (x ) − f (x ) = sin(2n + π − n π = > ε 因此， 2 f (x) = sin x 在[0,+∞)上不一致连续。 所以，上述反例说明：一个在[0,+∞)上连续且有界的函数，它在[0,+∞)上不 一致连续。 3.2.4 若 f ( y) 是严格单调的连续函数，而递增函数 y = g(x) 在点 0 x 间断，则 复合函数 f (g(x)) 在 0 x 亦必间断。在这个陈述中，函数 f 的严格单调性不能减弱 为单调性。例如： 两个单调函数 f ，g ，其中 f 连续而 g 间断，但复合函数 f o g 确实连续的单