北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 调函数。 在区间[0,2]上如下定义函数： 8(r)= x,0≤x<l, x+l,1≤x≤2 显然，函数g在[0,2]上递增的，它有间断点x=1,且g(0)=0,g(2)=3。现在， 我们在区间[0,3]上定义函数： y,0≤y≤1， fy)={1,1<y<2, y-l,2≤y≤3 显然，f在区间[0,3]上递增，且f(g(x)=x(0≤x≤2)。因此，fog是区间[0,2] 上的单调连续函数
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 调函数。 在区间[0,2]上如下定义函数： ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ ≤ ≤ < = 1, 1 2. , 0 1, ( ) x x x x g x 显然，函数 g 在[0,2]上递增的，它有间断点 x =1，且 g(0) = 0， g(2) = 3。现在， 我们在区间[0,3]上定义函数 f ; ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ < < ≤ ≤ = y -1, 2 y 3. 1, 1 y 2, , 0 y 1, ( ) y f y 显然，f 在区间[0,3]上递增，且 f ( ) g(x)) = x (0 ≤ x ≤ 2 。因此，f o g 是区间[0,2] 上的单调连续函数
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 4一元函数积分与微分 4.1一元函数的导数和微分 4.1.1定理1若函数f在点x。可导，则f在点x连续。 其中，可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。如函数 f(x)=x在点x=0处连续，但不可导。 而且，函数f在某点可微，只能保证∫在该点连续，而不能保证f在该点的 某个邻域内连续。例如： 函数 f(x)= x2,x为无理数， 0,x为有理数 在x≠0的点都间断，而x=0处有导数f'(O)=0。这是因为当h是有理数时， fh)-f0_0-0=0, h h 而当h是无理数时， f)-f@_-0=h→0h→0). h h 设f(x)=0,当x为有理数：f(x)=x2+x,当x为无理数。则函数f也仅在 x=0处连续且可微，f'(0)=1。 4.1.2关于乘积函数可微性的例子。 关于乘积函数的可微性，我们熟知定理：若函数f与g在点x皆可微，则乘 积函数g在点x,亦可微。但当∫或g在x。不可微时，可以有下述各种不同的结 果。 (a)f(x)=x在x=0可微，g(x)=x在x=0处不可微，由于 mfg)-f00=lm-0, x→ x→0X 因而g在x=0处可微，且(g)(0)=0
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 4 一元函数积分与微分 4.1 一元函数的导数和微分 4.1.1 定理 1 若函数 f 在点 0 x 可导，则 f 在点 0 x 连续。 其中，可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。如函数 f (x) = x 在点 x = 0 处连续，但不可导。 而且，函数 f 在某点可微，只能保证 f 在该点连续，而不能保证 f 在该点的 某个邻域内连续。例如： 函数 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 . , ( ) 2 ， 为有理数 为无理数， x x x f x 在 x ≠ 0的点都间断，而 x = 0处有导数 f '(0) = 0。这是因为当h 是有理数时， 0 ( ) (0) 0 0 = − = − h h f h f ， 而当h 是无理数时， 0 ( ) (0) 0 2 = → − = − h h h h f h f ) (h → 0 . 设 f (x) = 0，当 x 为有理数； f x = x + x 2 ( ) ，当 x 为无理数。则函数 f 也仅在 x = 0处连续且可微， f '(0) =1。 4.1.2 关于乘积函数可微性的例子。 关于乘积函数的可微性，我们熟知定理：若函数 f 与 g 在点 0 x 皆可微，则乘 积函数 fg 在点 0 x 亦可微。但当 f 或 g 在 0 x 不可微时，可以有下述各种不同的结 果。 (a) f (x) = x在 x = 0可微， g(x) = x 在 x = 0处不可微，由于 lim 0 ( ) ( ) (0) (0) lim 0 0 = = − → → x x x x f x g x f g x x ， 因而 fg 在 x = 0 处可微，且( ) (0) 0 ' fg =