北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 面的完善等。反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思 路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学 素养，通过反例的构造可以培养的发散性思维和创造性思维。 1.4论文构成及研究内容 本文一共分为五个章节：数列、函数、微积分、级数和多元函数。针对大学 期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。有 些命题结论是显而易见的，因此，略掉了证明过程
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 面的完善等。反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思 路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学 素养，通过反例的构造可以培养的发散性思维和创造性思维。 1.4 论文构成及研究内容 本文一共分为五个章节：数列、函数、微积分、级数和多元函数。针对大学 期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。有 些命题结论是显而易见的，因此，略掉了证明过程
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 2数列极限 2.1收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{an}为数列，a为定数，若对任何的正数&，总存在正整数N,使得当 n>N时有 a,-a<&, 则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限。 若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列。 2.1.1判断以下两个论断是否与极限lima,=a的定义等价。 ①有无穷多个￡>0，对每一个，存在N(e),当n>N时，有an-ad<6. ②对任意正数e,有无限多个an,使an-a<￡. 事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价。 论断①忽视了ε的最本质属性“任意小正数”。例如数列{an}: an=1+(-1)”，尽管有无穷多个>0（如=3,4,5，…)，可以使 l4n-d=1+(-1)”-a(这里a可以是0或1)小于每一个8（￡=3,4,5，…）， 但却不能使an-d=1+(-1)”-a比任意小的正数e还要小。 论断②对任意￡>0，虽然有无限多个an使an-d<￡成立，但它忽视了对 每一个>0，都必须存在某个自然数N,即数列{an}的某一项aw,从aw以后 的所有项都必须满足口-a<c,例蜘致列包，}兮1小 对任意正数E,有无限多个a,=上（只要n>1),在0的E邻域(0-G0+)内： n 但在{an}中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0-6,0+)内的项
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 2 数列极限 2.1 收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义： 设{ } an 为数列，a 为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时有 a − a < ε n ， 则称数列{ } an 收敛于a ，定数a 称为数列{an }的极限。 若数列{ } an 没有极限，则称{an }不收敛，或称{an }为发散数列。 2.1.1 判断以下两个论断是否与极限 an a n = →∞ lim 的定义等价。 ①有无穷多个ε > 0，对每一个ε ，存在 N(ε )，当n > N 时，有 a − a < ε n . ②对任意正数ε ，有无限多个an ，使 a − a < ε n . 事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价。 论断①忽视了 ε 的最本质属性“任意小正数”。例如数列 { } an ： n an =1+ (−1) ，尽管有无穷多个 ε > 0 （ 如 ε = 3,4,5,L ）， 可 以 使 a a a n n − = 1+ (−1) − （这里a 可以是 0 或 1）小于每一个ε （ε = 3,4,5,L）， 但却不能使 a a a n n − = 1+ (−1) − 比任意小的正数ε 还要小。 论断②对任意ε > 0，虽然有无限多个an 使 a − a < ε n 成立，但它忽视了对 每一个ε > 0，都必须存在某个自然数 N ，即数列{an }的某一项aN ，从aN 以后 的所有项都必须满足 a − a < ε n ，例如数列{ } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = L ,L1 , ,1, 4 1 ,1, 3 1 ,1, 2 1 1, n an . 对任意正数ε ，有无限多个 n an 1 = （只要 n n 1 > ），在0的ε 邻域(0 − ε ,0 + ε ) 内； 但在{ } an 中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0 − ε ,0 + ε ) 内的项
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 通过这两个反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε和N在定义 中起到的作用、意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。 收敛数列有一些重要的性质 其中，在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。 (四则运算法则)若{an}与bn}为收敛数列，则{an+bn},{an-bn},{an·bn} 也都是收敛数列，且有 lim(a b)=lima +limb., lim(an·bn）=lima,·limb 特别当b为常数c时有 lim(a,c)=lima,+c,lim(ca,)=clima, 若再假设b,≠0及limb,≠0，则 也是收敛数列，且有 卿会=mam6 因此，收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立。例如： 2.1.1数列{xn}与y},通项分别为 x。=1/n+),yn=nsin(nπ/2) (n=1,2,…), 则数列{xn}收敛，{yn}发散， xy,=usinz/2）-± (n=1,2,…) n+1 n+1 故其积{xnyn}发散。 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运 算，结果也是收敛的。 数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定 收敛。 反例：数列《-有界，但它发散。 2.12数列{xn}与{yn}均为发散数列，通项分别为
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 通过这两个反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε 和 N 在定义 中起到的作用、意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。 收敛数列有一些重要的性质 其中，在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加 减乘除。 （四则运算法则）若{ } an 与{ } bn 为收敛数列，则{an + bn }，{an − bn }，{ } an bn ⋅ 也都是收敛数列，且有 n n n n n n n a b a b ←∞ ←∞ ←∞ lim( ± ) = lim + lim ， n n n n n n n a b a b ←∞ ←∞ ←∞ lim( ⋅ ) = lim ⋅ lim . 特别当bn 为常数c 时有 a c a c n n n n ± = + ←∞ ←∞ lim( ) lim ， n n n n ca c a ←∞ ←∞ lim( ) = lim . 若再假设bn ≠ 0及lim ≠ 0 →∞ n n b ，则 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n n n n a b b a →∞ →∞ →∞ lim = lim lim . 因此，收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立。例如： 2.1.1 数列 { }n x 与{ }n y ，通项分别为 x =1 (n +1) n ， y n sin (n π 2 ) n = （n=1, 2, …）， 则数列{ }n x 收敛，{ }n y 发散， ( ) 1 1 sin 2 + = ± + = n n n n n x yn n π ，（n=1, 2, …） 故其积{ } n n x y 发散。 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运 算，结果也是收敛的。 数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定 收敛。 反例：数列{( ) }n −1 有界，但它发散。 2.1.2 数列 {xn }与{ }n y 均为发散数列，通项分别为
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 xn=+(←r)/2，n=-←y/2(m=1,2,…)。 但xny。=0(n=1,2,…),因而数列{yn}收敛于零。 2.1.3两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。 取数列 1,0,1,0,1,0，… 及数列 0,1/2,0,2/3,0,3/4,…, 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是 1,1/2,12/3,1,3/4,…, 它是一个收敛数列
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 (1 ( ) 1 ) 2 n n x = + − ， (1 ( 1) ) 2 n n y = − − (n=1, 2, …)。 但 xn yn = 0 （n=1, 2, …），因而数列{xn yn }收敛于零。 2.1.3 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。 取数列 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , … 及数列 0 , 1/2 , 0 , 2/3 , 0 , 3/4 , …， 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是 1, 1/2, 1, 2/3, 1, 3/4, …， 它是一个收敛数列
北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 3函数 3.1函数的某些性质及函数极限 3.1.1定义1设f为定义在D上的函数，若对任何正数M,都存在x。∈D, 使得f(x>M,则称f为D上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若x→x时，f(x)→o,则f在x,的每个邻域内必定无界。反之，函数f, 它在x,的任何邻域内都是无界的，但当x→x时，f(x)并不趋于无穷大。 设 f(x)=cos(1/x)/x, 则对无论多大的正数M,总有充分接近于x=O的点，使 cos(1/x)/x>M. 例如，取x=Vnπ，则cos/x)/x=nπ，故当n>M/π时，就有 cos(1/x)/M. 因此，函数f在x=0的任何邻域内都是无界的。 然而，若取无，=m+z,则当n→时，龙→0，此时cosx/水，→0， 即f并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2容易证明，若r≠0是函数f的周期，则-r也是f的周期，r(n=1, 2,…)也是∫的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的Dirichelet函数
北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 3 函 数 3.1 函数的某些性质及函数极限 3.1.1 定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数，若对任何正数M ，都存在 x0 ∈ D， 使得 f (x0 ) > M ，则称 f 为 D 上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若 0 x → x 时， f (x) → ∞ ，则 f 在 0 x 的每个邻域内必定无界。反之，函数 f ， 它在 0 x 的任何邻域内都是无界的，但当 0 x → x 时， f (x)并不趋于无穷大。 设 f (x) = cos(1 x) x ， 则对无论多大的正数 M，总有充分接近于 x = 0 的点，使 cos(1 x) x＞M . 例如，取 x = 1 nπ ，则 cos( ) 1 x x = nπ ，故当 n＞M π 时，就有 cos(1 x) x＞M . 因此，函数 f 在 x = 0 的任何邻域内都是无界的。 然而，若取 )π 2 1 xn =1 (n + ，则当n → ∞ 时，xn → 0，此时cos(1 xn ) xn → 0 ， 即 f 并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2 容易证明，若r ≠ 0是函数 f 的周期，则− r 也是 f 的周期，nr （n=1, 2, … )也是 f 的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的 Dirichelet 函数