x-+1+x 当<1时,1-cosx=2(sin3)2 当>1时, xx+1x(x+1) 例16计算a=(√2-1)°,取√2≈14,利用下列等式计算: (299-70√2:(3)(3-2√2)3:() (3+2√2) 问哪一个得到的结果最好? 解显然以上四个算式是恒等的,但当取√2≈14计算时,四个算式的误差是不同的。 记x=√2,x=14,|A=(一对 (1)设y=f1()= (+1)°’则按(1)式计算产生的误差为 e(H)=/f(x)-f(x)2=1(x) 同理 (2)设y2=f2(1)=99-701,则按2式计算产生的误差为 e(y)=|(x)-(x)=/(x)A (3设y3=f3(1)=(3-21)3,则按3)式计算产生的误差为 e(y)=(x)-f(x)≈|(x)△x (4)设y4=f4(1) (3+2)3’则按(式计算产生的误差为 e(y)=|(x)-f(x)=U/{x)| 估计以上四个式子中的f(x)(x)f(x)(x),即可得出4)式误差最小的结论。 具体计算结果如下:
一般地， x x x x + + + − = 1 1 1 2 2 当 x <<1时， 2 ) 2 cos 2(sin x 1− x = ， 当 x >> 1时， ( 1) 1 1 1 1 + = + − x x x x 例 1.6 计算 6 a = ( 2 −1) ，取 2 ≈ 1.4，利用下列等式计算： ⑴ 6 ( 2 1) ! + ；⑵99 − 70 2 ；⑶ 3 (3 − 2 2) ；⑷ 3 (3 2 2) 1 + 问哪一个得到的结果最好？ 解 显然以上四个算式是恒等的，但当取 2 ≈ 1.4计算时，四个算式的误差是不同的。 记 2 4 * x = ， x = 1. ， ∆x = x − x * ⑴设 1 1 6 ( 1) 1 ( ) + = = t y f t ，则按⑴式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 1 1 * 1 1 同理， ⑵设 y2 = f 2 (t) = 99 − 70t ，则按⑵式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 2 2 * 2 2 ⑶设 ，则按⑶式计算产生的误差为 3 3 3 y = f (t) = (3 − 2t) e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 3 3 * 3 3 ⑷设 4 4 3 (3 2 ) 1 ( ) t y f t + = = ，则按⑷式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 4 4 * 4 4 估计以上四个式子中的 ( ), ( ), ( ), ( ) 1 2 3 4 f ′ x f ′ x f ′ x f ′ x ，即可得出⑷式误差最小的结论。 具体计算结果如下： 4
5.2 +1)° (2)99-702≈10: 3(3-22)3≈8.0×10-3 4) 5.1×10 例1:7数列{xn}满足递推公式xn=10xn1-1,(n=1,2,…),若取x=√2≈141 问按上述递推公式,从x0计算到x10时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解记x=141作为x=V2的近似值,则E=6-x<05×102,由 x1=10x0-1,x1=10x0-1 -x1|=(10x0-1)-(10 0-x10<100s<0.5×108 显然,误差积累很大,按递推公式xn=10xn1-1求x0时,会把初始误差c0扩大10°倍, 使计算精度受到严重影响,因此,这个计算过程不稳定
⑴ 3 6 5.2 10 ( 2 1) ! − ≈ × + ； ⑵99 − 70 2 ≈ 1.0 ； ⑶ 3 3 (3 2 2) 8.0 10− − ≈ × ； ⑷ 3 3 5.1 10 (3 2 2) 1 − ≈ × + 例 1.7 数列{xn }满足递推公式 10 1, ( 1,2, ) xn = xn−1 − n = L ，若取 2 1.41 x0 = ≈ ， 问按上述递推公式，从 x0 计算到 x10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 记 1.41作为 * x0 = 2 x0 = 的近似值，则 * 2 0 0 0 0.5 10− ε = x − x < × ，由 10 1, 10 1 * 0 * x1 = x0 − x1 = x − 得 0 * 0 0 * 0 0 * x1 − x1 = (10x −1) − (10x −1) = 10 x − x < 10ε 0 * 2 1 1 * 1 1 * x2 − x2 = (10x −1) − (10x −1) = 10 x − x < 10 ε M 8 0 * 10 x10 − x10 < 10 ε < 0.5×10 显然，误差积累很大，按递推公式 xn = 10xn−1 −1求 x10 时，会把初始误差 0 ε 扩大10 倍， 使计算精度受到严重影响，因此，这个计算过程不稳定。 10 5
第二章解线性方程组的直接法 2.1内容提要 1.直接法概述 目前,计算机上解线性代数方程组的数值方法尽管很多,但归纳起来,大致可以分为两 大类:一类是直接法;另一类是迭代法。一般,对中、低阶以及高阶带形线性代数方程组, 用直接法有效,而对于高阶线性代数方程组,特别是对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性代 数方程组,用迭代法有效。 2.高斯(Gaus消去法 高斯消去法是一个古老的求解线性代数方程组的直接法,但由它的改进、变形得到的如 选主元消去法、三角分解法等,仍然是目前计算机上解中、低阶稠密矩阵方程组的常用有效 方法。 设有n阶代数线性方程组 x In b 写为矩阵形式 Ax=b 其中 11 为保证方程组有唯一解,设系数矩阵A为非奇异阵。将Ax=b记为A(x=b(),高斯消去 法描述如下 (1)消元过程 第k次消元(1≤k≤n-1):假定已完成k-1步消元,得到Ax=b()
第二章 解线性方程组的直接法 2.1 内容提要 1. 直接法概述 目前，计算机上解线性代数方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两 大类：一类是直接法；另一类是迭代法。一般，对中、低阶以及高阶带形线性代数方程组， 用直接法有效，而对于高阶线性代数方程组，特别是对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性代 数方程组，用迭代法有效。 2. 高斯(Gauss)消去法 高斯消去法是一个古老的求解线性代数方程组的直接法，但由它的改进、变形得到的如 选主元消去法、三角分解法等，仍然是目前计算机上解中、低阶稠密矩阵方程组的常用有效 方法。 7 设有 n 阶代数线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 写为矩阵形式 Ax = b， 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A L M M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ， ， = n x x x M 2 1 x = bn b b M 2 1 b 为保证方程组有唯一解，设系数矩阵 A 为非奇异阵。将 Ax = b记为 ，高斯消去 法描述如下： (1) (1) A x = b ⑴消元过程 第 k 次消元(1 ≤ k ≤ n −1)：假定已完成 k −1步消元，得到 A(k ) x = b(k )
2) 此时,A(的右下角n-k+1阶矩阵必非奇异 不妨设a*)≠0(a4称为主元素),消去方程组Ax=b)的第k+1至n个方程中 的x,计算公式为: (a)计算行乘数m1=,(=k+1…,m) (b)第i行元素减去第k行对应元素乘以mk,即 (k)-mikukj b (i=k+1,…,n,j=k+1,…,n) 得到A+)x=b+),此时A+的右下角n-k阶矩阵必非奇异。当完成第n-1次消 元后,得到A(x=b("),其中 b (A(,b)= a()b1(),am≠0 (n) b 原方程组变形为
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 ( ) ( ) ( , ) k n k nn k nk k k k kn k kk n n k k a a b a a b a a b a a a b A L M M L O M M L L L L L L b 8 k ) k n k x 此时， 的右下角 阶矩阵必非奇异。 ( A n − k +1 不妨设 （ 称为主元素），消去方程组 的第 至 个方程中 的 ，计算公式为： 0 ( ) ≠ k kk a (k ) kk a (k ) (k ) A x = b +1 (a)计算行乘数 ( ) ( ) k kk k ik ik a a m = ，(i = k +1,L, n) (b)第i 行元素减去第 k 行对应元素乘以 mik ，即 ( 1) ( ) (k ) ik kj k ij k aij = a − m a + ， ( 1) ( ) (k ) ik k k i k i b = b − m b + ， (i = k +1,L, n, j = k +1,L, n) 得到 A(k +1) x = b(k +1) ，此时 的右下角 (k +1) A n − k 阶矩阵必非奇异。当完成第 次消 元后，得到 ，其中 n −1 (n) (n) A x = b = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 ( ) ( ) ( , ) n n n nn k k k kn k kk n n n n a b a a b a a b a a a b A M L M M L L L L b ， ann (n) ≠ 0 。 原方程组变形为