曲线叫做速率分布曲线如图10.5所示由图可知小矩形的面积的数值就表示在这一速 率区间内的分子数占总分子数的比率,因为纵坐标 f∫(u)=dN/(Nh) 与dU的乘积即矩形的面积就等于dNN,而曲线 u 下从U1到2范围内曲线下的面积的数值就表 示速率在U1到U的较大速率区间内的分子数 比率,也就是下面的积分 △N 图10.5 f(U)ah(10.8) 由上还可知,曲线下的总面积表示速率从零到无限大的整个范围内的全部分子占总分 子数的比率这个比率显然应当是百分之百,即 f(u)du=l (10.9) 这称为分布函数的归一化条件 由曲线可以看出,具有很大速率和很小速率的分子数为数较小,其百分率较低而具 有中等速率的分子数较多,故曲线有一最大值,与这个最大值对应的速率值叫做最可几 速率用Up表示它的物理意义是,在一定温度下速率与相近的气体分子的比率最大也 就是以相同速率区间来说,气体分子中速率在υp附近的几率最大且在不同温度下(或 对不同种气体分子)速率分布曲线的形状有所不同 关于∫(U)的具体函数形式就是麦克斯韦从理论上导出的当气体处于平衡态时, 速率分布在任一速率区间υ-1+d内的分子数的比率为 4r( nm-/2kT u du 2πkT (10.10) 这个结论称为麦克斯韦速率分布律与(10.7式比较可得 f()=4(2kr 7u-/2kT (10.11) 称为麦克斯韦速率分布函数式中的T是气体的温度,m是每个分子的质量是玻尔兹 曼恒量.从(10.10)式可以看出以下几点 1)dN/N与h成正比,且与有关,这种关系的具体形式为f(U) 2)当u=0和→∞时,f(U)=0,即有dN/N=0
11 曲线叫做速率分布曲线,如图 10.5 所示.由图可知,小矩形的面积的数值就表示在这一速 率区间内的分子数占总分子数的比率,因为纵坐标 f () = dN /(Nd) 与 dυ的乘积(即矩形的面积)就等于 dN/N,而曲线 下从υ1 到υ2 范围内曲线下的面积的数值就表 示速率在υ1 到υ2 的较大速率区间内的分子数 比率,也就是下面的积分 = f d N N ( ) ~ 2 1 1 2 (10.8) 由上还可知,曲线下的总面积表示速率从零到无限大的整个范围内的全部分子占总分 子数的比率,这个比率显然应当是百分之百,即 1 0 = f ( )d (10.9) 这称为分布函数的归一化条件. 由曲线可以看出,具有很大速率和很小速率的分子数为数较小,其百分率较低,而具 有中等速率的分子数较多,故曲线有一最大值,与这个最大值对应的速率值叫做最可几 速率,用 P 表示.它的物理意义是,在一定温度下,速率与相近的气体分子的比率最大.也 就是以相同速率区间来说,气体分子中速率在 P 附近的几率最大.且在不同温度下(或 对不同种气体分子),速率分布曲线的形状有所不同 关于 f () 的具体函数形式,就是麦克斯韦从理论上导出的.当气体处于平衡态时, 速率分布在任一速率区间 − + d 内的分子数的比率为 = − e d kT m N dN 3 2 m 2kT 2 2 2 4 / / ( ) (10.10) 这个结论称为麦克斯韦速率分布律.与(10.7)式比较可得: 3 2 2 2 2 2 4 = −m kT e kT m f / / ( ) ( ) (10.11) 称为麦克斯韦速率分布函数.式中的 T 是气体的温度,m 是每个分子的质量,k 是玻尔兹 曼恒量.从(10.10)式可以看出以下几点 1) dN / N与d成正比，且与有关，这种关系的具体形式为f () ； 2)当 = 0和→时，f () = 0，即有dN / N = 0
这些与实验结果是符合的 三、三种速率的推算 应用麦克斯韦速率分布函数可以算出最可几速率和两种重要的平均速率 l、最可几速率 因为在υ=υ时,分布函数具有极大值由极大值条件得 d=4r( 2πkT 由此得 kT aRT Up= :1.41 (10.12) 2、平均速率υ 在这儿平均速率就是大量作无规则运动的分子速率的算术平均值若用dN表示气 体分子速率在υ-1+d区间的分子数N为气体的总分子数,按照算术平均值的计算方 法有 Uad1+U2dN2+…+UdN1+… 由于分子速率是在零到无穷大之间连续分布的故上式求和可变成积分运算即 2πkT 得:=/878R=1.60,/7 (10.13) Jm πμ 3、方均根速率v u dN 分子速率平方的平均值为u2= AITkT 3kT ≈1.73 (10.14) f(u) 这与由平均平动能与温度的关系式得到的结果相 可以看出,这三种速率都与√T成正比,与 图10.6 2
12 这些与实验结果是符合的. 三、三种速率的推算 应用麦克斯韦速率分布函数,可以算出最可几速率和两种重要的平均速率. 1、最可几速率 P 因为在 = P 时,分布函数具有极大值,由极大值条件得 2 0 2 4 3 2 2 2 2 − = = = − P k T m e k T m d df m kT ( ) [ ] / / 由此得 = = = RT mN RT m R N T m k T A A P 1 41 2 2 2 . ( / ) (10.12) 2、平均速率 在这儿平均速率就是大量作无规则运动的分子速率的算术平均值.若用 dN 表示气 体分子速率在 − + d 区间的分子数,N 为气体的总分子数,按照算术平均值的计算方 法,有 N dN + dN ++ idNi + = 1 1 2 2 由于分子速率是在零到无穷大之间连续分布的,故上式求和可变成积分运算,即 − = = = 0 3 2 2 3 0 0 2 2 4 e d k T m N dN N dN / m / kT ( ) = = RT RT m k T 1 60 8 8 得： . （ 2 0 3 2 2 1 = − e d ） (10.13) 3、方均根速率 2 分子速率平方的平均值为 m k T e d k T m N dN m kT 3 2 4 0 0 3 2 2 4 2 2 2 = = = − / / ( ) = = RT k T m k T 1 73 2 3 3 . (10.14) 这与由平均平动能与温度的关系式得到的结果相 同. 可以看出,这三种速率都与 T 成正比,与