这样(01)式则为P=mn2 考虑到u2=U2+u2+2,所以有 u2=u2+2+2 由于气体处于平衡态可以认为分子沿各个方向运动的机会是相等的没有哪个方 向更占优势这也就是在平衡态下气体分子无规则运动的各向同性的表现因此对大量 分子来说它们在x、y、z三个轴上的速度分量的平均值应是相等的,即 把它代入(102)式中,可得 P=-mmu 或 P==n(mu) (10.3) 式中E平叫做气体分子的平均平动动能上式就是理想气体的压强公式由式(10.4)可以 看出气体作用于器壁的压强正比于分子数密度n和分子的平均平动动能E平根据分子 动理论的观点,E平一定时,n越大,单位时间撞击到单位器壁面积上的分子数愈多器 壁所受的压强愈大;当n一定时,ε平越大即分子速度平方的平均值愈大从而使器壁所 受的压强也愈大 注意:1)分子对器壁的压强是大量分子对器壁碰撞的平均效果,只有在气体的分 子数足够多时,器壁所获得的冲量才有确定的统计平均值,若说个别分子产生多大压强 是没有意义的 2)压强虽说是由大量分子对器壁碰撞而产生的但它是一个宏观量可以从实验直 接测量而(103)式的右方是不能直接测量的微观量也就是(10.3)式是根据许多假设推 导出来的不能直接用实验来验证但从此公式出发可以满意地解释或推证出已经验证 过的理想气体实验定律这就间接地证明了这个公式的正确性 作业(P64):10.12
6 这样(10.1)式则为 2 P = mnx 考虑到 2 2 2 2 = x + y + z ,所以有 2 2 2 2 = x + y + z 由于气体处于平衡态,可以认为分子沿各个方向运动的机会是相等的,没有哪个方 向更占优势,这也就是在平衡态下气体分子无规则运动的各向同性的表现.因此对大量 分子来说,它们在 x、y、z 三个轴上的速度分量的平均值应是相等的,即 2 2 2 2 3 1 x = y = z = (10.2) 把它代入(10.2)式中,可得 2 3 1 P = mn 或 P = n m = n平 3 2 2 1 3 2 2 ( ) (10.3) 式中 平 叫做气体分子的平均平动动能.上式就是理想气体的压强公式.由式(10.4)可以 看出,气体作用于器壁的压强正比于分子数密度 n 和分子的平均平动动能 平 .根据分子 动理论的观点, 平 一定时, n 越大,单位时间撞击到单位器壁面积上的分子数愈多,器 壁所受的压强愈大;当n一定时, 平 越大,即分子速度平方的平均值愈大,从而使器壁所 受的压强也愈大. 注意：1）分子对器壁的压强是大量分子对器壁碰撞的平均效果,只有在气体的分 子数足够多时,器壁所获得的冲量才有确定的统计平均值,若说个别分子产生多大压强, 是没有意义的. 2）压强虽说是由大量分子对器壁碰撞而产生的,但它是一个宏观量,可以从实验直 接测量,而(10.3)式的右方是不能直接测量的微观量,也就是(10.3)式是根据许多假设推 导出来的,不能直接用实验来验证.但从此公式出发,可以满意地解释或推证出已经验证 过的理想气体实验定律,这就间接地证明了这个公式的正确性. 作业(P64)：10.12
§10.3温度的微观解释 由理想气体状态方程和压强公式可以得到气体的温度和分子的平均平动动能之 间的关系从而说明温度这一宏观量的微观本质 设质量为M的气体的分子数为N分子的质量为m,设μ为一摩尔气体的质量 NA为阿伏伽德罗常数,则有M=mN,=Nm,把它们代入理想气体状态方程中可得 RT/V=NRT vN=nkT (10.4) 玻耳兹曼恒量-k==1.38×1023JK-,分子数密度一n=NA N 将上式与理想气体压强公式(10.4)比较可得 nkT→|平=m2=3kr (10.5) 这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式,也是气体动理论的一个基本公 式此式说明气体分子的平均平动动能只与气体的温度有关气体温度越高,分子的平均 平动能越大,分子无规则运动就越剧烈,因此式(10.5)可看成温度这个宏观量的分子动 理论的定义式:即气体的温度是气体内作无规则运动的大量分子平均平动能的“量度” 注意:1)温度是大量分子无规则运动所表现的宏观性质,具有统计意义对于单个 分子来说说它有多高温度是没有意义的 2)气体分子的平均平动能由气体的温度唯一确定,不管分子的质量是否相同内部 结构如何,只要有相同的温度,就有相同的平均平动动能温度高些,平均平动能就大些, 当温度为零时,ε平=0,即理想气体分子的无规则运动停止然而实际上分子运动是永 不停息的绝对零度是不可能达到的只能无限的趋近绝对零度,目前人们应用激光已将 原子的温度冷却到101K的量级 3)平均平动能公式与压强公式一样是从理论上根据一系列假设运用统计方法导 出的无法由实验直接验证但可以间接地证明,如人们观察到悬浮在温度均匀的液体中 不同质量微粒的无规则运动(简称布朗运动)结果也证实这些不同质量微粒的平均平动 能是相等的这就是对式(10.5)的间接证明 例题101一容器内储有氧气其压强P=1.00atm,温度t=27C,求 (1)单位体积内的分子数;(2)氧气的密度;(3)氧分子的质量;(4)分子间的平 均距离;(5)分子的平均平动能 解:(1)根据P=mkT可得单位体积内的分子数 P1×1.013×105 245×1025(m2) kT1.38×10-23×300
7 §10.3 温度的微观解释 由理想气体状态方程和压强公式可以得到气体的温度和分子的平均平动动能之 间的关系,从而说明温度这一宏观量的微观本质. 设质量为 M 的气体的分子数为 N,分子的质量为 m,设μ为一摩尔气体的质量, NA 为阿伏伽德罗常数,则有 M = mN, = NAm,把它们代入理想气体状态方程中,可得 nkT N RT V N RT V M P A = = = / (10.4) 23 1 1 38 10 JK − − = = . NA R 玻耳兹曼恒量 — k ， V N n A 分子数密度 — = 将上式与理想气体压强公式(10.4)比较可得 P = n m = n平 = nkT → 3 2 2 1 3 2 2 ( ) m kT 2 3 2 1 2 平 = = (10.5) 这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式,也是气体动理论的一个基本公 式.此式说明气体分子的平均平动动能只与气体的温度有关,气体温度越高,分子的平均 平动能越大,分子无规则运动就越剧烈,因此式(10.5)可看成温度这个宏观量的分子动 理论的定义式:即气体的温度是气体内作无规则运动的大量分子平均平动能的“量度”. 注意：1）温度是大量分子无规则运动所表现的宏观性质,具有统计意义,对于单个 分子来说,说它有多高温度是没有意义的. 2）气体分子的平均平动能由气体的温度唯一确定,不管分子的质量是否相同,内部 结构如何,只要有相同的温度,就有相同的平均平动动能,温度高些,平均平动能就大些, 当温度为零时, 平 =0 ,即理想气体分子的无规则运动停止.然而实际上分子运动是永 不停息的,绝对零度是不可能达到的,只能无限的趋近绝对零度,目前人们应用激光已将 原子的温度冷却到 10-12K 的量级. 3）平均平动能公式与压强公式一样,是从理论上根据一系列假设运用统计方法导 出的,无法由实验直接验证.但可以间接地证明,如人们观察到悬浮在温度均匀的液体中 不同质量微粒的无规则运动(简称布朗运动)结果也证实这些不同质量微粒的平均平动 能是相等的,这就是对式(10.5)的间接证明. 例题 10.1 一容器内储有氧气,其压强 P=1.00atm,温度 t=27oC,求 (1) 单位体积内的分子数; (2) 氧气的密度; (3) 氧分子的质量; (4) 分子间的平 均距离; (5) 分子的平均平动能. 解：(1) 根据 P = nkT 可得单位体积内的分子数 . ( ) . . 25 3 23 5 2 45 10 1 38 10 300 1 1 013 10 − − = = = m k T P n
(2)由理想气体状态方程可得氧气的密度 MPμ1.013×103 1.300kg 8.31×300 (3)每个氧分子的质量为 1.30 =5.31×10-(kg) n245×10 (4)分子间的平均距离为 (5)分子的平均平动能 T=2×1.38×10232×300=6.21×102(J) 作业(P64):10
8 (2) 由理想气体状态方程可得氧气的密度 . ( ) . . 3 5 3 1 30 kgm 8 31 300 1 013 10 32 10 − − = = = = RT P V M (3) 每个氧分子的质量为 . ( ) . . k g n m 26 25 5 31 10 2 45 10 1 30 − = = = (4) 分子间的平均距离为 . (m) n l 9 3 3 44 10 1 − = = (5) 分子的平均平动能 k T . . (J ) 23 21 1 38 10 300 6 21 10 2 3 2 3 = = = − 平 作业(P64)：10.13
§104麦克斯韦气体分子速率分布律 kT→方均根速率 3kT n 它是分子速度的一种统计平均值当气体的温度一定时,方均根速率也是一定的但气体 处于平衡态时,并非所有分子都以方均根速率运动而是以各种大小的速度沿着各个方 向运动着,而且又由于非常频繁的碰撞,每一个分子的速度都在不断地改变,因此若在 某一特定时刻去观察某一特定分子它的速度具有怎样的量值和方向完全是偶然的然 而就大量分子的整体来看在平衡态下分布在各种不同速率范围内的分子数在总分子 数中所占的比率各是多少,则是确定的这一必然规律即速率分布规律 关于速率分布律,1859年麦克斯韦( J C Maxwel首先从理论上导出了气体分子速 率分布规律,直到1920年斯特恩才第一次用实验进行了初步验证后来许多人对此实验 作了改进我国物理学家葛正权也在这方面有过贡献,但是直到1955年才由密勒与库士 对麦克斯韦气体分子速率分布定律作出了高度精确的实验验证.为了便于理解,先介绍 气体分子速率分布的实验测定 测定气体分子速率分布的实验 图10.3是一种用来产生分子射线并观测射线中分子速率分布的实验装置示意图 图中A是一个恒温箱箱内为待测的水银蒸气,即分子源水银分子从A上的小孔射出通 过狭缝S后形成一束定向的分子射线D和D是两个相距为l的共轴圆盘盘上各开 个很窄的狭缝两狭缝成一个很小的夹角0,约2°左右P是接收分子的屏 中接真空 图10.3 当D、D以ω的角速度转动时,圆盘每转一周分子射线通过D圆盘一次,但由于分 子速率的大小不同自D到D所需时间也不同所以并非所有通过D的分子都能通过
9 §10.4 麦克斯韦气体分子速率分布律 m kT m kT 3 2 3 2 1 2 2 = 方均根速率 = 它是分子速度的一种统计平均值.当气体的温度一定时,方均根速率也是一定的,但气体 处于平衡态时,并非所有分子都以方均根速率运动,而是以各种大小的速度沿着各个方 向运动着,而且又由于非常频繁的碰撞,每一个分子的速度都在不断地改变,因此,若在 某一特定时刻去观察某一特定分子,它的速度具有怎样的量值和方向,完全是偶然的.然 而就大量分子的整体来看,在平衡态下,分布在各种不同速率范围内的分子数在总分子 数中所占的比率各是多少,则是确定的,这一必然规律即速率分布规律. 关于速率分布律,1859 年麦克斯韦(J.C.Maxwell)首先从理论上导出了气体分子速 率分布规律,直到 1920 年斯特恩才第一次用实验进行了初步验证,后来许多人对此实验 作了改进.我国物理学家葛正权也在这方面有过贡献,但是直到 1955 年才由密勒与库士 对麦克斯韦气体分子速率分布定律作出了高度精确的实验验证.为了便于理解,先介绍 气体分子速率分布的实验测定. 一、测定气体分子速率分布的实验 图 10.3 是一种用来产生分子射线并观测射线中分子速率分布的实验装置示意图. 图中 A 是一个恒温箱,箱内为待测的水银蒸气,即分子源.水银分子从A 上的小孔射出通 过狭缝 S 后形成一束定向的分子射线.D 和 D'是两个相距为 l 的共轴圆盘,盘上各开一 个很窄的狭缝,两狭缝成一个很小的夹角θ,约 2°左右.P 是接收分子的屏. 当 D、D'以ω的角速度转动时,圆盘每转一周,分子射线通过 D 圆盘一次,但由于分 子速率的大小不同,自 D 到 D'所需时间也不同.所以并非所有通过 D 的分子都能通过
D而到达P只有分子速率满足下列关系式的那些分子才能通过D而射到P上,即 0 这种装置也叫做速率选择器由于两个狭缝都有一定的宽度,到达P上的分子实际 上分布在一定的速率区间υ-U+dυ内,实验时如果保持0和l不变而让圆盘先后以 各种不同的角速度o1、O2、…转动,就有处在不同速率区间内的分子到达屏上用光 学方法测量屏上所堆积的水银层厚度,就可以确定相应的速率区间内的分子数与总分 子数之比也叫做分子数比率 图104是直接从实验结果作出的分子速率分布图线,其中一块块矩形面积表示分 布在各速率区间内的分子数比率 实验结果表明分布在不同速率区P;f(-M △N 间内的分子数比率是不相同的但在实 验条件不变的情况下分布在给定速率 区间内的分子数比率则是完全确定的, 尽管个别分子速率大小是偶然的,但就 大量分子整体来说,其速率的分布却遵 守着一定规律这个规律叫做分子速率07 图10.4 分布律 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 早在气体分子速率实验测定获得成功之前麦克斯韦和玻尔兹曼等人在1859年就 已经从概率论导出了气体分子的数目按速率分布的规律限于数学上的原因和本课程 的要求我们只介绍一些基本的内容 设在平衡态下,一定量的气体分子总数为N,其中速率在U-U+△U区间内的分子 数为△N,从上面的实验已知,△NN与速率及所取的速率区间有关在不同的速率附 近它的数值不同,在同一速率附近,如取的速率区间△U越大,则△N/N就越大,当△U 趋于0时,则△N(N△U)的极限值就变成U的一个连续函数了,并用f(U)表示, 我们把这一函数叫做速率分布函数。即 lim AN 1 lim an dN f(u) A→0 NAU NA→0△UNd f∫(U)dh 0.7) 上式中的△NN为N个气体分子中在速率U附近处于速率区间△u的分子数比率 速度分布函数表示在速率U附近单位速率间隔内的分子数在总分子数中所占比率,也 是气体分子的速率处于υ附近单位速率区间的概率也叫概率密度.f(υ)与的关系
10 D'而到达 P,只有分子速率 满足下列关系式的那些分子才能通过 D'而射到 P 上,即 l l = = 或 这种装置也叫做速率选择器.由于两个狭缝都有一定的宽度,到达 P 上的分子实际 上分布在一定的速率区间υ-υ+d υ 内,实验时,如果保持θ和 l不变,而让圆盘先后以 各种不同的角速度ω1、ω2、…转动,就有处在不同速率区间内的分子到达屏上.用光 学方法测量屏上所堆积的水银层厚度,就可以确定相应的速率区间内的分子数与总分 子数之比,也叫做分子数比率. 图 10.4 是直接从实验结果作出的分子速率分布图线,其中一块块矩形面积表示分 布在各速率区间内的分子数比率. 实验结果表明,分布在不同速率区 间内的分子数比率是不相同的,但在实 验条件不变的情况下,分布在给定速率 区间内的分子数比率则是完全确定的, 尽管个别分子速率大小是偶然的,但就 大量分子整体来说,其速率的分布却遵 守着一定规律,这个规律叫做分子速率 分布律. 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 早在气体分子速率实验测定获得成功之前,麦克斯韦和玻尔兹曼等人在 1859 年就 已经从概率论导出了气体分子的数目按速率分布的规律.限于数学上的原因和本课程 的要求,我们只介绍一些基本的内容. 设在平衡态下,一定量的气体分子总数为 N,其中速率在υ-υ+Δυ区间内的分子 数为ΔN ,从上面的实验已知, ΔN/N 与速率及所取的速率区间有关,在不同的速率附 近,它的数值不同,在同一速率附近,如取的速率区间Δυ越大,则ΔN/N 就越大,当Δυ 趋于 0 时,则ΔN/（NΔυ）的极限值就变成υ的一个连续函数了,并用 f（υ） 表示, 我们把这一函数叫做速率分布函数。即 = = = → → Nd N dN N N N f 0 0 lim 1 lim ( ) 或 = f d N dN ( ) (10.7) 上式中的ΔN/N 为 N 个气体分子中,在速率υ附近处于速率区间Δ υ的分子数比率. 速度分布函数表示在速率υ附近单位速率间隔内的分子数在总分子数中所占比率,也 是气体分子的速率处于υ附近单位速率区间的概率,也叫概率密度. f (υ)与υ的关系