因此有：P,(r + R,) = Vm[α(r+ R,) =eik-aRy mk(ar- ela".Rr (ar) - ea-k.R, ,(r)所以Φ,(r)的波矢标记应该是：α-'kΦ,(r)是本征函数之一，所以可以写成：na-k(r)从而有：na-k(r)=nk (or)
因此有： 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) () n n n ik R n n nk n nk i kR i kR nk n rR rR e r e re r n(r)是本征函数之一，所以可以写成： 所以 n(r) 的波矢标记应该是： k 1 1 (r) n k 从而有： 1 (r) ( r) nk n k
从上式可得有α-1k和k所对应的能量本征值相等，即有：E,(α-lk)= E,(k)由于α-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有：证毕。E,(k)= E,(αk)这表明，在k空间中Ek)具有与晶体点群完全相同的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若于个等价的小区域，只取其中一个就足够了。区域大小为第一布里渊区的1/f，f为晶体点群对称操作元素数。如三维立方晶体f=48
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等， 即有： ( ) ( ) 1 E k E k n n E (k ) E ( k ) n n 由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有： 证毕。 这表明，在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48
反演对称性3.E,(k)=E,(-k)在晶体中电子运动的哈密顿算符h2v? +U(r)H :2m是实算符，H*=H。如果ynk(r)是方程的解，那么y*nk(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即有Hym(r) = E,(k)ym()Hym(r)= E,(k)wm(r)
在晶体中电子运动的哈密顿算符 2 2 2 H U m r 是实算符， H* ＝ H 。 如果 n k ( r) 是方程的解，那么 * n k ( r) 也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有 3. E ( k ) E ( k ) n n ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ H r E k r H r E k r nk n nk nk n nk 反演对称性
同时按照Bloch定理有：Vik(F+R,)=e-i-Rrym(F)Vn-k(r + R,) = e-ik.Ray n- (r)因此，y/*nk(r)和 y/n-k(r)是相同的，因而 ynk(r)和yn-k(r)能量简并：E,(k)= E,(-k)这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中E(K)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
同时按照Bloch定理有： ( ) ( ) ( ) ( ) r R e r r R e r n k ik R n k n nk ik R nk n n n 因此，*nk(r) 和n-k(r) 是相同的，因而nk(r) 和n-k(r) 能量 简并： E (k ) E ( k ) n n 这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否 有对称中心，在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。 下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
二、E,(k)图示以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4v(4mm)所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称相关。在这些点，电子都有相同的能量E(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积O称为简约区的不可约体积。依此类k推，对于立方晶系的O(m3m)点群，只需研究（1/48)2即可。减少在确定、计算能带时所要做的工作是对称性研究的意义之一
P P’’ P’ kx ky 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm), 所以，对于一般位置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的 能量 En(k)。因此，我们只需研究 清楚简约区中 1/8 空间中电子的能 量状态，就可以知道整个 k 空间中 的能量状态了。我们将这部分体积 称为简约区的不可约体积。依此类 推，对于立方晶系的 Oh(m3m) 点 群，只需研究 (1/48)b即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作 是对称性研究的意义之一。 二、 En(k)图示