自动控制原理电子教案 C=ly(T)-Kx(kT) 所以,当kT≤1<(k+1T时,方程(332)的解为 v(o)=Ly(kT)-Kx(krle r +Kx(kT (3.36) 当t=(k+1)T时,由式(3.36)得 y+1)7]=l(T)-Kx(kT)le r+Kx(T) k+1)7 式(37)就是描述连续系统输出y(1)和输入x(1)在采样时刻之间关系的差分方程 从上述推导过程可见,只要满足条件(3,31)式,则求解差分方程(3.37)与求解微分 方程(3.30),所得到的输出量在采样时刻是相等的。因此,就采样时刻而言,这种变 换是等价的,所以称为等价变换 下面考虑二阶系统,设由下列二阶线性常微分方程描述 dyo +(1+r2) dy(r) +y()=Kx(t) 3.38) 设 x(1)=x({T)k≤t<(k+1)T (339) 为把式(3.38)化为线性差分方程,引入中间变量(t) 二()=z2 dv(1) d+(1) (340) d=(n) dt 式(340)和(341)是一阶微分方程组,等价于式(3.38)描述 式(341)是一阶微分方程,而且满足式(339),所以,由式(3.37),可以得到与其 等价的差分方程 二[k+1)]-e(k7)=k(-e)x(k) (342) 同样,设 dy(n y(1) (343) do(t) +O(t)=Kx() (344 式(344)的等价差分方程为 o(k+17]-e2o(k7)=k(1-e2)x(k) (345) 由式(342)得 =ck+2)7]-e n=k+1)7]=K(I-e ")x[(k+ 将式(342)两边乘以e2后和式(346)相减,得 )(k+1n =K(1-e)xk+1)]-ke2(l-e)x(k7 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 11 - [ ] τ kT C = y(kT) − Kx(kT) e (3.35) 所以，当 kT ≤ t < (k +1)T 时，方程(3.32)的解为 y(t) [ ] y(kT) Kx(kT) e Kx(kT) t kT = − + − − τ (3.36) 当t = (k +1)T 时，由式(3.36)得 y[ ] (k 1)T [y(kT) Kx(kT)]e Kx(kT) T + = − + − τ 或 y[ ] (k 1)T e y(kT) K(1 e )x(kT) T T τ τ − − + − = − (3.37) 式(3.37)就是描述连续系统输出 y(t) 和输入 x(t) 在采样时刻之间关系的差分方程。 从上述推导过程可见，只要满足条件(3.31)式，则求解差分方程(3.37)与求解微分 方程(3.30)，所得到的输出量在采样时刻是相等的。因此，就采样时刻而言，这种变 换是等价的，所以称为等价变换。 下面考虑二阶系统，设由下列二阶线性常微分方程描述。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 y t Kx t dt dy t dt d y t τ τ + τ +τ + = (3.38) 设 x(t) ≡ x(kT) kT ≤ t < (k +1)T (3.39) 为把式(3.38)化为线性差分方程，引入中间变量 z(t) ( ) ( ) ( ) 2 y t dt dy t z t = τ + (3.40) 则 ( ) ( ) ( ) 1 z t Kx t dt dz t τ + = (3.41) 式(3.40)和(3.41)是一阶微分方程组，等价于式(3.38)描述。 式(3.41)是一阶微分方程，而且满足式(3.39)，所以，由式(3.37)，可以得到与其 等价的差分方程 [ ] ( 1) ( ) (1 ) ( ) 1 1 z k T e z kT K e x kT T T τ τ − − + − = − (3.42) 同样，设 ( ) ( ) ( ) 1 y t dt dy t ω t = τ + (3.43) 则 ( ) ( ) ( ) 2 t Kx t dt d t +ω = ω τ (3.44) 式(3.44)的等价差分方程为 [ ] ( 1) ( ) (1 ) ( ) 2 2 k T e kT K e x kT T T τ τ ω ω − − + − = − (3.45) 由式(3.42)得 z[ ] k T e z[ ] k T K e x[ k T T T ( 2) ( 1) (1 ) ( 1) 1 1 + − + = − + − − τ τ ] (3.46) 将式(3.42)两边乘以 2 τ T e − 后和式(3.46)相减，得 [ ] ( 2) ( ) [ ] ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 2 z k T e e z k T e z kT T T T T τ τ τ τ − − − + + − + + + (1 ) [ ] ( 1) (1 ) ( ) 1 2 1 K e x k T Ke e x kT T T T τ τ τ − − − = − + − − (3.47) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 11
自动控制原理电子教案 同样,由式(345)得 o(k+2]-eo[k+1)7]=k(1-e2)xk+1 (348) T 将式(345)两边乘以en后和式(348)相减,得 o(k+2门] (k+1)门 (k7) k+1)-Ke(1 将式(347)乘以1减式(349)乘以z2,得 r1k+2)]-z2ok+2)n]-(e+e)x1k+1]-x2ok+1)T T (te -Te +TI 将式(340)乘以1与式(343)乘以z2相减,得 Too(t (3.51) 则有 r1(k7)-20(k7)=(1-z2)y(kT (3.52) r1(k+172ok+1]=(x1-2)k+17] (3.53) k+2)7]2ok+2门]=(x-2)k+2)门] (3 将式(352)式(354代入式(3.50),并约去(x1-r2)因子,得 yk+2)]-(e+e2)y(k+1)7]+e2ykT )k+17]+k( TI-TA (3.55) 差分方程(355)是微分方程(338)的等价变换。 上述等价变换虽然精确,但推导过程和最后结果都比较复杂,计算量大,特别 是差分方程系数和系统参数之间的关系复杂。在工程上,常采用近似的但推导过程 和最后结果都比较简单的近似变换方法。下面介绍常用的一种近似变换方法。 2.近似变换方法 根据数学分析中熟知的结论,当采样周期T足够小时,有下列近似等式成立 dt 37k+17]-kr dn=2k+2门+m-2+m (357) (k+3) (3.58) 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 12 - 同样，由式(3.45)得 [ ] k T e [ ] k T K e x[ k T T T ( 2) ( 1) (1 ) ( 1) 2 2 + − + = − + − − τ τ ω ω ] (3.48) 将式(3.45)两边乘以 1 τ T e − 后和式(3.48)相减，得 [ ] ( 2) ( ) [ ] ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 2 k T e e k T e kT T T T T ω ω ω τ τ τ τ − − − + + − + + + (1 ) [ ] ( 1) (1 ) ( ) 2 1 2 K e x k T Ke e x kT T T T τ τ τ − − − = − + − − (3.49) 将式(3.47)乘以 1 τ 减式(3.49)乘以 2 τ ，得 z[ ] k T [ ] k T e e { } z[ ] k T [ k T T T ( 2) ( 2) ( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 1 2 + − + − + + − + − − τ τ ω τ τ ω τ τ ] e { } z kT kT K e e x[ ] k T T T T T ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) + ⋅ − = − − + + − + − − τ τ τ τ τ τ ω τ τ τ τ ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 1 1 1 2 1 2 1 2 K e e e e x kT T T T T T T τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − + − + + − + − (3.50) 将式(3.40)乘以 1 τ 与式(3.43)乘以 2 τ 相减，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 τ z t −τ ω t = τ −τ y t (3.51) 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 τ z kT −τ ω kT = τ −τ y kT (3.52) z[ ] (k 1)T [(k 1)T ] ( ) y[(k 1)T] τ 1 + −τ 2ω + = τ 1 −τ 2 + (3.53) z[ ] (k 2)T [ ] (k 2)T ( ) y[(k 2)T ] τ 1 + −τ 2ω + = τ 1 −τ 2 + (3.54) 将式(3.52)～式(3.54)代入式(3.50)，并约去( ) 1 2 τ −τ 因子，得 [ ] + − + [ ] + + = − − − + ( 2) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 2 y k T e e y k T e y kT T T T T τ τ τ τ (1 ) [ ] ( 1) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x kT e e x k T K e e e K T T T T T T τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − + + − − − − − − − + − − (3.55) 差分方程(3.55)是微分方程(3.38)的等价变换。 上述等价变换虽然精确，但推导过程和最后结果都比较复杂，计算量大，特别 是差分方程系数和系统参数之间的关系复杂。在工程上，常采用近似的但推导过程 和最后结果都比较简单的近似变换方法。下面介绍常用的一种近似变换方法。 2. 近似变换方法 根据数学分析中熟知的结论，当采样周期 T 足够小时，有下列近似等式成立 { [ ] ( 1) ( ) ( ) 1 y k T y kT dt T dy t t kT = + − = & } (3.56) { } y[ ] k T y kT y[ k T dt T d y t t kT ( 2) ( ) 2 ( 1) ( ) 1 2 2 2 = + + − + = & ] (3.57) { } [ ] ( 3) 3 [( 2) ] 3 [( 1) ] ( ) ( ) 1 3 3 3 y k T y k T y k T y kT dt T d y t t kT = + − + + + − = & (3.58) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 12
教案 y{(k+4)7]-4y(k+3)门+6y{(k+2)7 4y{(k+1)7]+y(kT)} 若将微分方程的各阶导数项直接用上面的近似式代替,就可得到近似的差分方 程描述。例如,将(3.56)式代入一阶微分方程(3.30),得 k+17}-y(m)}+y(k7)=Kx(k 整理得 yk+1)7](1--)y(k7)=-k1xkT) 比较式(360)和(3.37)的系数,可见上述近似变换方法实质上是运用了熟知的近似等式 T 因此,在T/r的数值很小,即采用的周期T相对于系统的时间常数z很小时,近似 差分方程(360)与等价差分方程(337)的各项系数值是比较接近的。所以,近似变换方 法具有一定的实用价值。计算机控制系统中常采用这种变换方法 同样,将导数的近似等式代入二阶微分方程(3.38),得 r21(k+2)71+y()-21+1)7 (r y(k+1)7]-y(k)}+y(k7)=Kx(k7) 整理得 yk+2)7-(2----)(k+1)7]+(1 T2 T_L)y(kT) Kx(kT rr212 4122 (361) 差分方程(361)是微分方程(3.38)的近似变换 如果要将微分方程变换为后向差分方程,可采用下列近似等式 dy(t) y(k7)-(k-1)7] (k-1)7]+y(k-2)]} y k-1)7+3y{(k-2)7-y{(k-3)T]} drool (k-1)7]+6y{(k-2) y{(k-3)+y{(k-4)} (362 3.纯滞后的处理 具有纯滞后时间L的线性微分方程为 +B1 +…+B 若L=0时,微分方程(363)的等价差分方程为 y(k+n)7]+a1y{(k y(kr)=bo xl(k+m)T 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 13 - { [( 4) ] 4 [( 3) ] 6 [( 2) ] ( ) 1 4 4 4 y k T y k T y k T dt T d y t t kT = + − + + + = & −4y[(k +1)T] + y(kT)} (3.59) 若将微分方程的各阶导数项直接用上面的近似式代替，就可得到近似的差分方 程描述。例如，将(3.56)式代入一阶微分方程(3.30)，得 { } y[ ] (k 1)T y(kT) y(kT) Kx(kT) T + − + = τ 整理得 [ ] ( 1) (1 ) ( ) Kx(kT) T y kT T y k T τ τ + − − = (3.60) 比较式(3.60)和(3.37)的系数，可见上述近似变换方法实质上是运用了熟知的近似等式 τ τ T e T = − − & 1 因此，在T / τ 的数值很小，即采用的周期 T 相对于系统的时间常数τ 很小时，近似 差分方程(3.60)与等价差分方程(3.37)的各项系数值是比较接近的。所以，近似变换方 法具有一定的实用价值。计算机控制系统中常采用这种变换方法。 同样，将导数的近似等式代入二阶微分方程(3.38)，得 { [( 2) ] ( ) 2 [( 1) ]} 1 2 1 2 y k T y kT y k T T τ τ ⋅ + + − + { [( 1) ] ( )} ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 y k T y kT y kT Kx kT T + τ +τ + − + = 整理得 [( 2) ] (2 ) [( 1) ] (1 ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 y kT T T T y k T T T y k T τ τ τ τ τ τ + − − − + + + − − ( ) 1 2 2 Kx kT T τ τ = (3.61) 差分方程(3.61)是微分方程(3.38)的近似变换。 如果要将微分方程变换为后向差分方程，可采用下列近似等式 { ( ) [( 1) ]} ( ) 1 y kT y k T dt T dy t t kT = − − = & { ( ) 2 [( 1) ] [( 2) ]} ( ) 1 2 2 2 y kT y k T y k T dt T d y t t kT = − − + − = & { ( ) 3 [( 1) ] 3 [( 2) ] [( 3) ]} ( ) 1 3 3 3 y kT y k T y k T y k T dt T d y t t kT = − − + − − − = & { ( ) 4 [( 1) ] 6 [( 2) ] ( ) 1 4 4 4 y kT y k T y k T dt T d y t t kT = − − + − = & −4y[(k − 3)T] + y[(k − 4)T]} (3.62) 3. 纯滞后的处理 具有纯滞后时间 L 的线性微分方程为 m m n n n n n n dt d x t L A y t B dt dy t A dt d y t A dt d y t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 − + + + − + = − − L ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 B x t L dt dx t L B dt d x t L B m m m m + − − + + − + − − − L (3.63) 若 L = 0 时，微分方程(3.63)的等价差分方程为 [( ) ] [( 1) ] ( ) [( ) ] ( ) 1 0 y k + n T + a y k + n − T +L+ an y kT = b x k + m T +L+ bm x kT 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 13