F6(s)=∑(D(r-k)-1(-k- Tle-kTs l-e-7s 因此,零阶保持器的传递函数为 Go(s)=Fh(s)1-e-Ts (3.16) F (S) 零阶保持器的脉冲响应函数为 gm()=L[m(]=1()-1(-7) (3.17) 上式清楚地表明了零阶保持器的特性。go()是高度为1宽度为T的方波,在一个采 样周期内,采样值经过保持器保持,既不放大,也不衰减,对其它采样周期内的输 出没有影响。 零阶保持器的频率特性为 将式(3.18a)写成指数形式可以看出零阶保持器的重要特性 2 所以,零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ∠Goh(jo) 19b 幅频特性、相频特性分别如图3.6(a)、(b)所示。 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 6 - ( ) ( ){ [ ] 1( ) 1( ) } 0 F s f kT L t kT t kT T k h =∑ − − − − +∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + +∞ = ∑ kTs k Ts k e s e s f kT ( 1) 0 1 1 ( ) s e f kT e Ts kTs k − − +∞ = − =∑ 1 ( ) 0 s e−Ts − = 1 kTs k f kT e− +∞ = ∑ 0 ( ) s e−Ts − = 1 F *(s) 因此，零阶保持器的传递函数为 s e F s F s G s Ts h oh − − = = 1 ( ) ( ) ( ) * (3.16) 零阶保持器的脉冲响应函数为 ( ) [ ( )] 1( ) 1( ) 1 goh t = L Goh s = t − t −T − (3.17) 上式清楚地表明了零阶保持器的特性。goh (t) 是高度为 1 宽度为T 的方波，在一个采 样周期内，采样值经过保持器保持，既不放大，也不衰减，对其它采样周期内的输 出没有影响。 零阶保持器的频率特性为 ω ω ω j e G j j T oh − − = 1 ( ) (3.18a) 将式(3.18a)写成指数形式可以看出零阶保持器的重要特性。 2 2 ( ) 2 2 2 j e e G j e T j T T j j oh ω ω ω ω ω − − − = 2 sin 2 2 T e T j ω ω ω − = 2 2 2 sin T j e T T T ω ω ω − = (3.18b) 所以，零阶保持器的幅、相频率特性分别为 G j = T ⋅ oh ( ω) 2 2 sin T T ω ω (3.19a) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∠ = − − 2 2 ( ) T oh T G j ω π ω ω sin sin ω ω T T 2 0 2 0 p ≥ (3.19b) 幅频特性、相频特性分别如图 3.6(a)、(b)所示。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 6
自动控制原理电子教案 图3.6零阶保持器的幅频特性、相频特性 从图3.6(a)可见,零阶保持器的频谱和理想滤波器的频谱图3.4(a)具有相同的 特征,但有一些差别。零阶保持器也是低通滤波器,但没有截止频率,它除了允许 基带频谱通过外,还允许附加的各次谐波频谱通过一小部分,而且,零阶保持器具 有半个采样周期的纯滞后。因此,由零阶保持器复现的信号与原信号有些差别。因 为 所以,当采样周期T取得越小,上述差别也就越小 零阶保持器本身比较简单,容易实现。步进电机就是一个实际的例子。它接受 个脉冲信号后转动一步,至下一个信号到来之前,其转角一直保持不变。计算机 的寄存器和数一模转换器,也具有零阶保持作用。寄存器把kT时刻的数字一直保持 到下一个采样时刻,而数一模转换器把数字(数码)转换成模拟量,从而恢复原信号 最后需要指出的是,对于连续系统,频率特性有明确的物理意义,由于连续系 统的输入、输出均是连续信号,所以我们可以用单个频率的谐波信号的输入与其响 应的关系来定义它的频率特性。而零阶保持器的输入是离散量,不接受一定频率的 连续谐波信号。所以,零阶保持器的频率特性不能用某频率的正弦信号输入时 输出与输入的幅值比及相位差来解释,更不能用相应的测试连续系统频率特性的实 验方法得到。 2.一阶保持器 阶保持器是一种基于两个采样值f(kn)与f[(k-门线性外推规律恢复离散信 号的保持器。它的外推输出为 f+D)=(km+<(k7)-/[k-门 阶保持器的脉冲响应如图3.7(a)所示。可见,为了保证线性外推,每个时刻 的采样值的作用都是延续两个采样周期。作为现在时刻的采样值在第一个采样周期 的外推斜率为正,起着式(3.20)的斜率中第一项「(kn的作用,但到第二个采样周 期新的采样值出现后,它就变成过去时刻的采样值了,应起式(3.20)的斜率中第二 项二/(k-门的作用,所以在第二个采样周期里,其斜率为负,即 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 7 - 图 3.6 零阶保持器的幅频特性、相频特性 从图 3.6(a)可见，零阶保持器的频谱和理想滤波器的频谱图 3.4(a)具有相同的 特征，但有一些差别。零阶保持器也是低通滤波器，但没有截止频率，它除了允许 基带频谱通过外，还允许附加的各次谐波频谱通过一小部分，而且，零阶保持器具 有半个采样周期的纯滞后。因此，由零阶保持器复现的信号与原信号有些差别。因 为 0 lim T→ 1 2 2 sin = T T ω ω 所以，当采样周期 T 取得越小，上述差别也就越小。 零阶保持器本身比较简单，容易实现。步进电机就是一个实际的例子。它接受 一个脉冲信号后转动一步，至下一个信号到来之前，其转角一直保持不变。计算机 的寄存器和数—模转换器，也具有零阶保持作用。寄存器把 kT 时刻的数字一直保持 到下一个采样时刻，而数—模转换器把数字(数码)转换成模拟量，从而恢复原信号。 最后需要指出的是，对于连续系统，频率特性有明确的物理意义，由于连续系 统的输入、输出均是连续信号，所以我们可以用单个频率的谐波信号的输入与其响 应的关系来定义它的频率特性。而零阶保持器的输入是离散量，不接受一定频率的 连续谐波信号。所以，零阶保持器的频率特性不能用某ω 频率的正弦信号输入时， 输出与输入的幅值比及相位差来解释，更不能用相应的测试连续系统频率特性的实 验方法得到。 2. 一阶保持器 一阶保持器是一种基于两个采样值 f (kT) 与 f [(k −1)T ]线性外推规律恢复离散信 号的保持器。它的外推输出为 f (kT +τ ) = f (kT) [( ) ] τ T f (kT) − f k −1 T + (0 < τ < T ) (3.20) 一阶保持器的脉冲响应如图 3.7(a)所示。可见，为了保证线性外推，每个时刻 的采样值的作用都是延续两个采样周期。作为现在时刻的采样值在第一个采样周期 的外推斜率为正，起着式(3.20)的斜率中第一项 T f (kT) 的作用，但到第二个采样周 期新的采样值出现后，它就变成过去时刻的采样值了，应起式(3.20)的斜率中第二 项 [ ] ( ) T − f k −1 T 的作用，所以在第二个采样周期里，其斜率为负，即 T 1 − 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 7
自动控制原理电子教案 图3.7一阶保持器的时域特性 将脉冲响应函数分解成如图3.7(b)的叠加,可得一阶保持器的传递函数 Gn(s)=1+1-2 =T(1+7s)( (3.21) 一阶保持器的频率特性为 Gh(o)=7(1+jo7) G,(jo)=TVI+(oT) (3.23a) ∠G(jo)=g-lo-oT (3.23b) 阶保持器的幅频特性、相频特性如图3.8(a)、(b)所示。为了便于与零阶保持 器比较,图中同时用虚线画出了零阶保持器的幅、相频率特性曲线 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 8 - 图 3.7 一阶保持器的时域特性 将脉冲响应函数分解成如图 3.7(b)的叠加，可得一阶保持器的传递函数 Gh (s) = Ts Ts Ts Ts e Ts e s e Ts e s Ts s 2 2 2 2 2 1 1 2 − 2 − 1 − 1 − + − − + + 2 ) 1 (1 )( Ts e T Ts −Ts − = + (3.21) 一阶保持器的频率特性为 G ( jω) h 2 ) 1 (1 )( j T e T j T j T ω ω − ω − = + (3.22) 2 2 2 2 sin ( ) 1 ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + T T Gh j T T ω ω ω ω (3.23a) ∠ Gh ( jω) = tg ωT −ωT −1 (3.23b) 一阶保持器的幅频特性、相频特性如图 3.8(a)、(b)所示。为了便于与零阶保持 器比较，图中同时用虚线画出了零阶保持器的幅、相频率特性曲线。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 8
自动控制原理电子教案 图3.9—阶保持器的幅频特性、相频特性 从图3.8可以看出,一阶保持器的幅频特性较零阶的为高,复现效果好,同时 又引进较大的高频分量,一阶保持器的迟后相移也比零阶保持器的大。从保持器的 脉冲响应容易看出,零阶保持器只能较好地复现阶跃函数信号,而一阶保持器能较 好地复现速度函数信号。 3.2差分方程 321差分方程的概念 对于采样控制系统,系统中一些元件是连续式的,这些连续式元件,仍可由微 分方程或传递函数描述,但由于系统中某些地方的信号是断续的或采样的,所以 需要用差分方程或Z传递函数描述连续元件输入输出采样时刻的值之间的关系。 在离散时间系统中,信号的自变量k是离散的整型值,需要用差分方程描述系统 的动态特性 定义:差分方程由未知序列y(k)及其移位序列yk+1),yk+2)…或 y(k-1),y(k-2 以及激励x(k)及其移位序列x(k+1),x(k+2),…或 x(k-1),x(k-2),…构成。例如 k+3)-y2(k)=x(k) 3y(k+2)-2y(k+1)y(k)=x(k) 3k2y(k+2)+n2,y(k)=x(k) (3.26) y(k)-7y(k-1)+16y(k-2)-12y(k-3)=x(k) 差分方程的阶数定义为未知序列的自变量序号中最高值与最低值之差。例如 (324)、(327)是3阶差分方程,(325)、(2.26是2阶差分方程 若差分方程中的未知序列是递增方式,即由y(k)、y(k+1)、y(k+2),…等组 成的差分方程,称为前向差分方程。若差分方程中的未知序列的序号是递减方式 即由y(k)、y(k-1)、y(k-2)…等组成的差分方程,称为后向差分方程。例如 (324)~(326)是前向差分方程,(227)为后向差分方程。两种形式的差分方程描述系 统没有本质的差别。对某一离散系统,是用前向差分方程,还是用后向差分方程描 述,要根据具体情况而定 若差分方程中每一项包含的未知序列或(和)其移位序列仅以线性形式出现,则称 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 9 - 图 3.9 一阶保持器的幅频特性、相频特性 从图 3.8 可以看出，一阶保持器的幅频特性较零阶的为高，复现效果好，同时 又引进较大的高频分量，一阶保持器的迟后相移也比零阶保持器的大。从保持器的 脉冲响应容易看出，零阶保持器只能较好地复现阶跃函数信号，而一阶保持器能较 好地复现速度函数信号。 3.2 差分方程 3.2.1 差分方程的概念 对于采样控制系统，系统中一些元件是连续式的，这些连续式元件，仍可由微 分方程或传递函数描述，但由于系统中某些地方的信号是断续的或采样的，所以， 需要用差分方程或 Z 传递函数描述连续元件输入输出采样时刻的值之间的关系。 在离散时间系统中，信号的自变量 是离散的整型值，需要用差分方程描述系统 的动态特性。 k 定义：差分方程由未知序列 y(k) 及其移位序列 y(k +1), y(k + 2), L 或 y(k −1), y(k − 2), L ，以及激励 x(k) 及其移位序列 x(k +1), x(k + 2), L 或 x(k −1), x(k − 2), L构成。例如： (3.24) ( 3) ( ) ( ) 2 y k + − y k = x k 3y(k + 2) − 2y(k +1) y(k) = x(k) (3.25) ( ) ( ) 1 2 3 ( 2) 2 y k x k k k y k = + + + (3.26) y(k) − 7y(k −1) +16y(k − 2) −12y(k − 3) = x(k) (3.27) 差分方程的阶数定义为未知序列的自变量序号中最高值与最低值之差。例如 (3.24)、(3.27)是 3 阶差分方程，(3.25)、(2.26)是 2 阶差分方程。 若差分方程中的未知序列是递增方式，即由 y(k) 、 y(k +1) 、 y(k + 2) ,LL等组 成的差分方程，称为前向差分方程。若差分方程中的未知序列的序号是递减方式， 即由 、 、 ,LL等组成的差分方程，称为后向差分方程。例如， (3.24)～(3.26)是前向差分方程，(2.27)为后向差分方程。两种形式的差分方程描述系 统没有本质的差别。对某一离散系统，是用前向差分方程，还是用后向差分方程描 述，要根据具体情况而定。 y(k) y(k −1) y(k − 2) 若差分方程中每一项包含的未知序列或(和)其移位序列仅以线性形式出现，则称 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 9
自动控制原理电子教案 为线性差分方程,否则称为非线性差分方程。例如,(2.26)、(327是线性差分方程 (3.24)、(325)是非线性差分方程,因为其中包含非线性项y2(k)和y(k+1)y(k) 若差分方程中每一项的系数与离散变量k无关,则称为常系数差分方程,否则 称为变系数差分方程。例如,(3.26)为变系数线性差分方程,(324)、(3.25)为常系数 非线性差分方程,(3,27)是常系数线性差分方程 差分方程中的自变量可以是时间,但并不限于时间,根据其所描述的具体系统 而定。例如,在电路系统中,常以各节点的序号或各回路的序号为变量。 对于完全离散系统,其输入输出信号均为离散信号,这时系统无法用微分方程 或其它连续模型描述,只能用差分方程、Z传递函数等离散模型描述。下面举例说明。 例3.1实时运算的计算装置或数字控制器,它在t=kT时的输出值为y(kT) 为了计算它,可能应用了现在时刻的输入值x(kT),及取自寄存器的过去时刻的输入 值x(k-1],x(k-2)门],…,和过去时刻的输出值y(k-1)7,y(k-2)7], 假设计算程序是线性的,则可以用差分方程描述为 y(kT)=b0x(k7)+b1x(k-1)7]+…+bmx(k-m)门]-a1y(k-1)7 -a2y[(k-2)7 anyl( -n)rI y(kT)+a1y{(k-1)7]+a2y{(k-2)门]+…+any(k-n)7] box(k7)+b1x[(k-1)7]+…+bmx(k-m)门 (3.29) 式中,a1,b1为加权系数 322微分方程描述的差分化 在计算机控制系统中,被控对象往往是连续系统,一般用微分方程描述,但由 于计算机控制系统是离散系统,所以需要建立被控对象的差分方程数学模型。事实 上,连续系统的输入和输出关系可以用微分方程描述,但在离散时刻的数学关系也 可以用差分方程描述。在工程上,常常由连续系统的微分方程描述,得到等价的差 分方程描述。因此,下面介绍由微分方程描述变换为差分方程描述的方法 下面介绍两种常用的变换方法。首先介绍一种等价变换方法,然后介绍一种近 似变换方法 1.等价变换方法 首先考虑一阶线性微分方程 y(1)=Kx(1) (3.30) 设系统的采样周期是T,并设系统输入在一个采样周期内保持不变,即 x(t=x(kr) kTst<(k+lT (331) 因为采样周期T很小,所以,上述假设是合理的。这时,方程(3.30)成为 dy(r) +y()=Kx(k7) (332) 当kT≤t<(k+1)T时,方程(3.32)有一个特解 y,(0)=kx(kT (333) 它的全解的一般形式是 y(r=Ce r+Kx(kT) 其中C是积分常数。当t=kT时,得 kT y(kT)=Ce r +kx(kr) 因此, 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 10 - 为线性差分方程，否则称为非线性差分方程。例如， (2.26)、(3.27)是线性差分方程。 (3.24)、 (3.25)是非线性差分方程，因为其中包含非线性项 y 2 (k)和 y(k +1) y(k) 。 若差分方程中每一项的系数与离散变量 无关，则称为常系数差分方程，否则 称为变系数差分方程。例如，(3.26)为变系数线性差分方程，(3.24)、 (3.25)为常系数 非线性差分方程，(3.27)是常系数线性差分方程。 k 差分方程中的自变量可以是时间，但并不限于时间，根据其所描述的具体系统 而定。例如，在电路系统中，常以各节点的序号或各回路的序号为变量。 对于完全离散系统，其输入输出信号均为离散信号，这时系统无法用微分方程 或其它连续模型描述，只能用差分方程、Z 传递函数等离散模型描述。下面举例说明。 例 3.1 实时运算的计算装置或数字控制器，它在 t = kT 时的输出值为 。 为了计算它，可能应用了现在时刻的输入值 ，及取自寄存器的过去时刻的输入 值 ， ，…，和过去时刻的输出值 y(kT) x(kT) x[(k −1)T] x[(k − 2)T] y[(k −1)T]， y[(k − 2)T] ，… 假设计算程序是线性的，则可以用差分方程描述为 ( ) ( ) [( 1) ] [( ) ] [( 1) ] y kT = b0 x kT + b1 x k − T +L+ bm x k − m T − a1 y k − T [( 2) ] −a2 y k − T a y[(k n)T] −L− n − （3.28） 或 ( ) [( 1) ] [( 2) ] [( ) ] y kT + a1 y k − T + a2 y k − T +L+ an y k − n T ( ) [( 1) ] [( ) ] = b0 x kT + b1 x k − T +L+ bm x k − m T （3.29） 式中，a1，b1为加权系数。 3.2.2 微分方程描述的差分化 在计算机控制系统中，被控对象往往是连续系统，一般用微分方程描述，但由 于计算机控制系统是离散系统，所以需要建立被控对象的差分方程数学模型。事实 上，连续系统的输入和输出关系可以用微分方程描述，但在离散时刻的数学关系也 可以用差分方程描述。在工程上，常常由连续系统的微分方程描述，得到等价的差 分方程描述。因此，下面介绍由微分方程描述变换为差分方程描述的方法。 下面介绍两种常用的变换方法。首先介绍一种等价变换方法，然后介绍一种近 似变换方法。 1. 等价变换方法 首先考虑一阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) y t Kx t dt dy t τ + = (3.30) 设系统的采样周期是 T，并设系统输入在一个采样周期内保持不变，即 x(t) = x(kT) kT ≤ t < (k +1)T (3.31) 因为采样周期 T 很小，所以，上述假设是合理的。这时，方程(3.30)成为 ( ) ( ) ( ) y t Kx kT dt dy t τ + = (3.32) 当 kT ≤ t < (k +1)T 时，方程(3.32)有一个特解 y (t) Kx(kT) (3.33) p = 它的全解的一般形式是 y(t) Ce Kx(kT) t = + − τ (3.34) 其中 C 是积分常数。当t = kT 时，得 y(kT) Ce Kx(kT) kT = + − τ 因此， 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 10