第5章习题 51已知系统的单位阶跃响应为c()=1+0.2e--1.2e-0,试求 (1)系统的传递函数 (2)系统的阻尼比ξ和自然振荡频率 答案:(1)G(s)= s(s+60(s+10) (2)5=143On=24.5 52设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)= s(s+1) 试求系统的上升时间1、超调时间tn、超调量σ%和调节时间t, 6△=5 *答案:1=2421p=36250=16.3%1 53要求图题53所示系统具有性能指标:op%=20%,tp=1s。试确定系统参数K和A,并计算,,, R(s) 图题5.3 *答案:K=60.5A=0.135 54图题5.4所示控制系统,为使闭环极点为s2=-1±j,试确定K和α的值,并确定这时系统阶跃响 应的超调量。 K1c() 图题54 *答案:K=2a=1tr=0.35 ∫087A=2 0.654=5 5.5设典型二阶线性定常系统的单位阶跃响应曲线如图题55所示 (1)求阻尼比c和自然振荡频率on; (2)画出等效的单位反馈系统 (3)写出相应 的开环传递函数 0.3 t(秒)
1 第 5 章习题 5.1 已知系统的单位阶跃响应为 t t c t e e 60 10 ( ) 1 0.2 1.2 − − = + − ，试求： (1) 系统的传递函数； (2) 系统的阻尼比ξ 和自然振荡频率ω n 。 *答案：（1） ( 60)( 10) 600 ( ) + + = s s s G s （2）ξ = 1.43 ωn = 24.5 5.2 设单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1) 1 ( ) + = s s G s 试求系统的上升时间 r t 、超调时间 p t 、超调量σ p %和调节时间 s t 。 *答案： = 2.42 rt t p = 3.625 σ = 16.3% ⎩ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 8 2 6 5 s t 5.3 要求图题 5.3 所示系统具有性能指标：σ p % = 20% ，t s p = 1 。试确定系统参数 K 和 A，并计算 rt ， st 。 图题 5.3 *答案： K = 60.5 A = 0.135 5.4 图题 5.4 所示控制系统，为使闭环极点为 s j 1 2 1 , = − ± ，试确定 K 和α 的值，并确定这时系统阶跃响 应的超调量。 r(t) c(t) 1+αs K s 2 图题 5.4 *答案： K = 2 α = 1 = 0.35 r t ⎩ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 0.654 5 0.87 2 s t 5.5 设典型二阶线性定常系统的单位阶跃响应曲线如图题 5.5 所示 （1）求阻尼比ς 和自然振荡频率ω n ； （2）画出等效的单位反馈系统； （3）写出相应 的开环传递函数。 As s(s +1) R(s) K C(s) C(t) 1.25 1 t (秒) 0 0.3
图题55 *答案(1)=0.4n=114 (2) 12996 ss+912) (3)((5)129.96 S(S+9.12) 56图题56所示样控制系统,已知图中线性网络部分的单位阶跃响应为1 采样周期为T,求系 统在输入单位阶跃信号时的输出响应y(nT)。 零阶 线性 保持器 网络 图题56 *答案:y(n7)=1-em 57试求下列状态方程的解,设初始状态为x(0) 答案:x(1) x(0) 58求下列状态方程在单位阶跃输入作用下的响应。设初始状态为:x1(0)=1,x2(0)=0。 答案:)se0 Φ(t-r)Bu(r)dr= te'e' 59已知线性系统状态转移矩阵Φ(t),试求该系统的状态阵A 2e+2e 2 e 01 *答案:A=Φ(1)l=0 5.10单位负反馈控制系统的开环传递函数为 S(S+10)
2 ( 10) 100 ( ) + = S S G s 图题 5.5 *答案（1）ζ = 0.4 ω n = 11.4 (2) (3) s(s 9.12) 129.96 ( ) + G s = 5.6 图题 5.6 所示采样控制系统，已知图中线性网络部分的单位阶跃响应为1− − e t ，采样周期为 T，求系 统在输入单位阶跃信号时的输出响应 y n( ) T 。 零 阶 保持器 线性 u 网络 y T 图题 5.6 *答案： nT y(nT) = 1− e 5.7 试求下列状态方程的解，设初始状态为 x ( 0 ) 。 x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 & 答案： ( ) (0) 3 2 x e e e x t t t t ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − 5.8 求下列状态方程在单位阶跃输入作用下的响应。设初始状态为： (0) 1, (0) 0 x1 = x 2 = 。 x x u⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 1 1 0 & 答案： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Φ = t t t te e e t 0 ( ) ； ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Φ − = t t t te e t Bu d 0 1 ( τ ) (τ ) τ 5.9 已知线性系统状态转移矩阵 Φ (t) ，试求该系统的状态阵 A。 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − − Φ = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) *答案: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = Φ′ = = 2 3 0 1 ( ) | t 0 A t 5.10 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： r(t) c(t) - s(s 9.12) 129.96 +
试求 (1)位置误差系数Kp,速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka (2)当参考输入r(t)=1+t+at2时,系统的稳态误差。 答案:(1)k=∞,k,=10,k=0 51单位负反馈系统的开环传递函数为 (s) s(S+1) (1)求输入信号是r1(1)=0.I时系统的稳态误差; (2)求输入信号是r2()=0012时系统的稳态误差。 答案:(1)e()=0.02 (2)∞ 512单位反馈系统的开环传递函数为 K G(s) (S+2)(s+5) 求在单位阶跃信号的作用下,稳态误差终值e,=0.1时的K值。 答案:K=90 513在零初始条件下,控制系统在输入信号r(t)=l()+1(口)的作用下的输出响应为c(t)=l(),求系 统的传递函数,并确定系统的调节时间t 答:(G=-1t=324=5 5.14控制系统的结构如图题5.14所示: C(s) s(S+2 图题5.14 (1)当a=0时,试确定系统的阻尼系数5,无阻尼自然振荡频率On和单位斜坡函数输入时系统的 稳态误差 (2)确定系统中反馈校正参薮α的值使系统为最佳-阶系统(ξ=0.707),并计算单位斜坡输入时的 稳态误差。 (3)在保证5=0.7和e=0.25的条件下,确定参数a及前向通道增益K 答案:(1)on=22,5=√2/4 (2)a=0.251/2 (3)K=32,a=0.187
3 试求： ⑴ 位置误差系数 Kp，速度误差系数 Kv 和加速度误差系数 Ka； ⑵ 当参考输入 r(t)=1 + t + at2 时，系统的稳态误差。 答案：（1） = ∞, = 10, = 0 p v a k k k （2）∞ 5.11 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( 1) 5 ( ) + = s s G s （1）求输入信号是 r (t) 0.1t 1 = 时系统的稳态误差； （2）求输入信号是 2 r2 (t) = 0.01t 时系统的稳态误差。 *答案：（1）ess (∞) = 0.02 （2）∞ 5.12 单位反馈系统的开环传递函数为： ( 2)( 5) ( ) + + = s s K G s 求在单位阶跃信号的作用下，稳态误差终值ess = 0.1时的 K 值。 答案： K = 90 5.13 在零初始条件下，控制系统在输入信号 r(t) =1(t) + t1(t) 的作用下的输出响应为c(t) = t1(t) ，求系 统的传递函数，并确定系统的调节时间 st 。 *答案： 1 1 ( ) + = s G s ⎩ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 4 2 3 5 ts 5.14 控制系统的结构如图题 5.14 所示： ( 2) 8 s s + R(s) C(s) − − E(s) αs 图题 5.14 (1) 当α = 0 时，试确定系统的阻尼系数ξ ，无阻尼自然振荡频率ω n 和单位斜坡函数输入时系统的 稳态误差； (2) 确定系统中反馈校正参数α 的值使系统为最佳二阶系统（ξ = 0.707 ）,并计算单位斜坡输入时的 稳态误差。 (3) 在保证ξ ＝０.７和 ss e ＝０.２５的条件下，确定参数 a 及前向通道增益 K 。 答案：（1） = 2 2 ω n ，ξ = 2 / 4 （2） α = 0.25 1/ 2 （3） K = 32,α = 0.187
5.15如图题515所示系统,采用微分补偿复合控制。当输入为r()=t时,要求系统稳态误差的终值为0, 试确定参数z4的值。 E(s) s(1+7s) 答案: 5.16控制系统结构图如图题5.16所示,要求: (1)计算测速反馈校正(τ1=0,z2=0.1)时,系统的动态性能指标σ%,1,和单位斜坡输入作用 下的稳态误差e (2)计算当比例一微分校正(τ1=0.1,2=0)时,系统的动态性能指标σ%,t,及单位斜坡输入 作用下的稳态误差en R(s) E(s)y s(s+1) T25 图题5.16 *答案:(1)%=35.1%,t1=3.5,e=0.2 (2)%=75.7%,l,=3.1,e=0. 517控制系统结构图如图题5.17所示。 (1)当K=25,Kr=0时,求系统的阻尼比5,无阻尼自然振荡角频率on以及单位斜坡输入作 用下的稳态误差e。; (2)当K=25时,求K/取何值能使闭环系统的阻尼比5=0.707,并求单位斜坡输入作用下的稳 态误差e (3)欲使5=0.707,单位斜坡输入作用时的稳态误差em=0.12,求K和Kr (s) C 图题5.17 答案:(1)On=5,5=0.3,e=3/25
4 5.15 如图题 5.15 所示系统，采用微分补偿复合控制。当输入为 r(t) = t 时，要求系统稳态误差的终值为 0， 试确定参数 d τ 的值。 图题 5.15 答案： K d 1 τ = 5.16 控制系统结构图如图题 5.16 所示，要求： (1) 计算测速反馈校正（ 1 τ ＝０， 2 τ ＝０.１）时，系统的动态性能指标 s σ %,t 和单位斜坡输入作用 下的稳态误差 ss e ； (2) 计算当比例—微分校正（ 1 τ ＝０.１， 2 τ ＝０）时，系统的动态性能指标 s σ %,t 及单位斜坡输入 作用下的稳态误差 ss e 。 图题 5.16 *答案：（1）σ % = 35.1% ，ts = 3.5 ，ess = 0.2 （2）σ % = 75.7% ，ts = 3.1 ，ess = 0.1 5.17 控制系统结构图如图题 5.17 所示。 (1) 当 K = 25， K f = 0时，求系统的阻尼比ξ ，无阻尼自然振荡角频率ω n 以及单位斜坡输入作 用下的稳态误差 ss e ； (2) 当 K = 25时，求 K f 取何值能使闭环系统的阻尼比ξ ＝0.707，并求单位斜坡输入作用下的稳 态误差 ss e ； (3) 欲使ξ ＝0.707，单位斜坡输入作用时的稳态误差 ssr e ＝0.12，求 K 和 K f 。 图题 5.17 答案：（1）ω n = 5,ξ = 0.3,ess = 3/ 25 R(s) E(s) C(s) K 3 1 ⊗ ⊗ s + − K f s 1 − E(s) s(1 Ts ) K + R(s) s d τ C(s) R(s) C(s) ( 1) 10 ⊗ s s + ⊗ − s2 τ − s1 τ ⊗ E(s)
(2)Kr=4,ex=0.29 (3)Kr=13.66,K=13884 5.18系统结构图如图题518所示,其超调量σp%=163%,峰值时间tp=l (1)求开环传递函数G(s) (2)求闭环传递函数Φ(s); (3)根据已知性能指标可p%及确定参数K及r (4)计算输入r(t)=1.5t时系统的稳态误差e。 S) E(s) 图题5.18 K *解:(1)G()=~s(s+1)=-K 10as(s+1+10r) s(S+ 1) (2)d(s) G(s) 1+G(s)s2+(1+10r)s+10K %=e-=163% 5=0.5 (3)令 解出 On=3.628 又因 10K=n2=13.16 1+10r=25n=3.628 故 K=1.316 r=0.2627 (4)由(1)得 开环增益K0=-10K =3.628 1+10 系统型别v= 故当r(1)=Rt=1.5t时,利用静态误差系数法得 R1.5 e k0369=0.4135 519复合控制系统结构图如图题519所示,图中K1,K2T1,T2是大于零的常数。 (1)确定当闭环系统稳定时,参数K1,K2T1,T2应满足的条件 (2)当输入r(D)=V01时,选择校正装置G2(s),使得系统无稳态误差。 +G(s) S s(T2s+1)
5 （2） K f = 4,ess = 0.29 （3） K f = 13.66,K = 138.84 5.18 系统结构图如图题 5.18 所示，其超调量σ p % = 16 .3% ，峰值时间t s p = 1 。 (1) 求开环传递函数G(s) ； (2) 求闭环传递函数Φ(s) ； (3) 根据已知性能指标σ p % 及 p t 确定参数 K 及τ ； (4) 计算输入 r(t) = 1.5t 时系统的稳态误差 ss e 。 图题 5.18 *解：（1） ( 1 10 ) ( 1) 10 1 ( 1) 10 ( ) τ + + τ = + + + ⋅ = s s K s s s s s K G s （2） s s K K G s G s s (1 10 ) 10 10 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + + = + Φ = τ （3）令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = = − − 1 1 % 16.3% 2 / 1 2 n p t e ξ ω π σ ξπ ξ 解出： ⎩ ⎨ ⎧ = = 3.628 0.5 ωn ξ 又因 ⎩ ⎨ ⎧ + = = = = 1 10 2 3.628 10 13.16 2 n K n τ ξω ω 故 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0.2627 1.316 τ K （4）由（1）得 开环增益 3.628 1 10 10 0 = + = τ K K 系统型别 v = I 故当 r(t) = Rt = 1.5t 时，利用静态误差系数法得 0.4135 3.628 1.5 0 = = = K R ess 5.19 复合控制系统结构图如图题 5.19 所示，图中 1 2 1 2 K ,K ,T ,T 是大于零的常数。 (1) 确定当闭环系统稳定时，参数 1 2 1 2 K ,K ,T ,T 应满足的条件。 (2) 当输入 r t V t0 ( ) = 时，选择校正装置G (s) c ，使得系统无稳态误差。 R(s) E(s) C(s) K ( 1) 10 s s + ⊗ ⊗ − τ s G (s) c R(s) E(s) C(s) 1 1 1 T s + K ( 1) 2 2 s T s + K ⊗ ⊗ −