由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此 滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=s()+n(t) (8.1-2) 式中输出信号的频谱函数为S(⊙)，其对应的时域信号为 s(0=2元swe=2元(F(webr (8.1-3) 滤波器输出噪声的平均功率为 -aRmw=anwf咖 2元∫2hwcw=∫4fom (8.1-4)
由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此 滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=so(t)+no(t) (8.1 - 2) 式中输出信号的频谱函数为So(ω)，其对应的时域信号为 0 0 ( ) 1 1 s t = ( ) () () 2 2 jwt jwt s w e dw s w H w e dw π π ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ 滤波器输出噪声的平均功率为 N P w dw p w H w dw i n n 2 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ∫ 0 ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ = = π π 2 2 0 0 1 ( ) ( ) 22 4 n n H w dw H w dw π π ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ (8.1 - 3) (8.1 - 4)
在抽样时刻，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均 功率之比为 .22wweh (8.1-5) No 由式(8.1-5)可见，滤波器输出信噪比r。与输入信号的频谱函 数S(o)和滤波器的传输函数H(O)有关。在输入信号给定的情 况下，输出信噪比r,只与滤波器的传输函数H(o)有关。使输出 信噪比r,达到最大的传输函数H(o)就是我们所要求的最佳滤波 器的传输函数。式(8.1·5)是一个泛函求极值的问题，采用施 瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题
由式(8.1 - 5)可见， 滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函 数S(ω)和滤波器的传输函数H(ω)有关。在输入信号给定的情 况下，输出信噪比ro只与滤波器的传输函数H(ω)有关。使输出 信噪比ro达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要求的最佳滤波 器的传输函数。式(8.1 - 5)是一个泛函求极值的问题，采用施 瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 0 2 2 0 0 0 2 0 0 1 ( )( ) ( ) 2 r = (8.1 5) ( ) 4 jwt H w s w e dw s t N n H w dw π π ∞ −∞ ∞ −∞ = ∫ ∫ — 在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均 功率之比为
施瓦兹不等式为： 品(nY(ydrs2 (w) 9(8.1-6) 式中，X(@)和Y(o)都是实变量o的复函数。当且仅当 X(O)=KY*(@) (8.1-7) 时式(8.1-6)中等式才能成立。式(8.1-7)中K为任意常数。 将施瓦兹不等式用于式(8.1-5)，并令 X(o)=H(0) (8.1-8) Y(o)-S(o)eWo (8.1-9)
X w Y w dw X w dw Y w dw 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ≤ π π π 式中， X(ω)和Y(ω)都是实变量ω的复函数。 当且仅当 X(ω)=KY*(ω) (8.1 - 7) 时式(8.1 - 6)中等式才能成立。式(8.1 - 7)中K为任意常数。 将施瓦兹不等式用于式(8.1 - 5)， 并令 0 jwt X( )=H( ) (8.1 - 8) Y( )=S( )e (8.1 - 9) ω ω ω ω 施瓦兹不等式为: (8.1 - 6)
可得： gew (w)dw 三好wfwf-左小suf z∫lHwf 2 (8.110) 根据帕塞瓦尔定理有 25wfm=oo0h=么 (8.1-11)
可得: 0 2 0 2 0 1 ()() 2 r = ( ) 4 jwt H w S w e dw n H w dw π π ∞ −∞ ∞ −∞ ∫ ∫ 0 2 2 2 2 2 0 0 1 1 () () ( ) 4 2 ( ) 4 2 jwt H w dw S w e dw S w dw n n H w dw π π π ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ −∞ ≤ = ∫∫ ∫ ∫ 根据帕塞瓦尔定理有 2 1 2 ( ) () 2π ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ S w dw s t dt E （8.1_10） (8.1 - 11)
式中E为输入信号的能量。代入式(8.1-10)有： (8.1-12) no 式(8.1-12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 2E 0nax三 (8.1-13) no 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(o)=KY*(o),可得不 等式(8.1-10)中等号成立的条件为 H()=KS*()e-jto (8.1-14) 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*(o)是输入信号频谱 函数S(o)的复共轭。式(8.1·14)就是我们所要求的最佳线性 滤波器的传输函数。 2E 该滤波器在给定时刻t能获得最大输出信噪比： no
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(ω)=KY*(ω)， 可得不 等式(8.1 - 10)中等号成立的条件为 H(ω)=KS*(ω)e-jωt0 （8.1-14） 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*(ω)是输入信号频谱 函数S(ω)的复共轭。式(8.1 - 14)就是我们所要求的最佳线性 滤波器的传输函数。 0 0 2 r (8.1 - 12) E n ≤ 0max 0 2 r (8.1 - 13) E n = 0 2 n E 式中E为输入信号的能量。 代入式(8.1 - 10)有： 式(8.1 - 12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比 ：