无线通信原理2023春郑我平 Lecture2-1时间分集技术 2023-2-17 ~般的，无线衰落信道的性能远差于高斯信道，因此很长时间以来，无线通信技术都是 以抵抗衰落为出发点。分集技术就是一种经典的抵抗信道衰落方法。 1、衰落与高斯信道性能对比 考虑平坦瑞利哀落信道，输入输出信号模型为 y=√Dhr+w (1) 其中y是接收信号，x是取自有限字符集发送信号，h一CV(O,)是零均值单位方差的复 高斯信道，w~CV(O,)是零均值单位方差的复高斯噪声，p为信噪比(SNR)。简单起 见，这里假定BPSK调制，即x等概率取自有限字符集-L,+1。 假设信道h在接收端完全己知，此时接收端可以进行相干检测。根据ML检测原理，检 测错误概率为 P(h)=P(住=-l=1,h) =Pl小6h+w+6h<Nh+w-a)】 =P2ph+wf<hwf） =P(4p+4pRe(hw)<0) 网 (2) -1-Q-2p4个 =e2pm） 其中，第一个等式利用了BSK信号星座的几何均匀特性（信号星座的平均错误概率与任 星座符号的错误概率相等)，第二个等式利用了高斯噪声条件下ML检测与最小欧氏距离译 码的等价性，第七个等式利用了万Re-NO)(东准正查分有.并且式中高所
无线通信原理 2023 春 郑贱平 Lecture 2-1 时间分集技术 2023-2-17 一般的，无线衰落信道的性能远差于高斯信道，因此很长时间以来，无线通信技术都是 以抵抗衰落为出发点。分集技术就是一种经典的抵抗信道衰落方法。 1、 衰落与高斯信道性能对比 考虑平坦瑞利衰落信道，输入输出信号模型为 y hx w = + (1) 其中 y 是接收信号，x 是取自有限字符集发送信号， h (0,1) 是零均值单位方差的复 高斯信道， w (0,1) 是零均值单位方差的复高斯噪声， 为信噪比（SNR）。简单起 见，这里假定 BPSK 调制，即 x 等概率取自有限字符集{-1, +1}。 假设信道 h 在接收端完全已知，此时接收端可以进行相干检测。根据 ML 检测原理，检 测错误概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 * * * 2 ˆ 1 1, 2 4 4 Re 0 Re 2 Re 1 2 1 2 2 P h P x x h e P h w h h w h P h w w P h h w h w P h h h w P h h Q h Q h = = − = = + + + − = + = + = − = − − = − − = （2） 其中，第一个等式利用了 BPSK 信号星座的几何均匀特性（信号星座的平均错误概率与任一 星座符号的错误概率相等），第二个等式利用了高斯噪声条件下 ML 检测与最小欧氏距离译 码的等价性，第七个等式利用了 ( ) ( ) * 2 Re 0,1 h w h （标准正态分布），并且式中高斯
无线通信原理2023春郑我平 Q函数定义为 ea (3) m品0o 显然，高斯Q函数是单调递减函数，并且有Q(-)=1,0(+∞)=0，Q(0)=0.5, Q(-x)=1-Q(x)。 式(2)计算的是以信道方为条件的条件错误概率，在快衰落信道中，进一步可以计算 其信道平均错误概率 e=E,[Ra]=E,g(2p]】 (4) 注意到当h-CN(0,1)时，有uh~exp(),即p(u)=exp(-w),u>0.因此，式(4) 进一步计算为 卫=E[e(2pm] 店eg云e恤 应e(g山 -ae-enh 片店 -品 ,:=1p在x0的邻域进行泰勒展开有。 f(-)-f()+f)=+o(-)-1-2p+o(Vp) (6) 将(6)待入(5⑤)，有 B=b*op)0 (7)
无线通信原理 2023 春 郑贱平 Q 函数定义为 ( ) 2 2 2 2 2 0 1 2 1 exp 2sin t x Q x e dt x d + − = = − （3） 显然，高斯 Q 函数是单调递减函数，并且有 Q Q Q (− = + = = ) 1, 0, 0 0.5 ( ) ( ) ， Q x Q x (− = − ) 1 ( ) 。 式（2）计算的是以信道 h 为条件的条件错误概率，在快衰落信道中，进一步可以计算 其信道平均错误概率 ( ) ( ) 2 2 P E P h E Q h e h e h = = （4） 注意到当 h (0,1) 时，有 ( ) 2 u h exp 1 ，即 p u u u ( ) = − exp , 0 ( ) 。因此，式（4） 进一步计算为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 e u u t u t t u t t t P E Q u e e dtdu e e du dt e e dt e dt − − − − − − − + = = = = − = − = − + (5) 对 ( ) 1 , 1 1 1 f z z z = = = + + 在 z=0 的邻域进行泰勒展开有， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 0 1 1 2 f z f f z o z o = + + = − + （6） 将（6）待入(5)，有 ( ) 1 1 2 1 4 4 P o e = + （7）
无线通信原理2023春郑我平 另一方面，在公式(2)中令仁1，高斯信道的误码率为 p-(p)sexp(-e) (8) 上式利用了公式(9)。对比(7)和(8)，高斯信道的误码率随着SNR指数下降，衰落信道 误码率下降速率仅为SNR'。因此，采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能。 Remark上：高斯Q函数的一个上界和近似表达式。 (9) 1 (10) Remark2:上述分析表明采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能，但是采 用非相干检测的衰落信道性能是否仍然远差于高斯信道呢？注意到BPSK调制不适合非相 干检测，考虑如下的采用二进制正交调制的信号模型 y=V2ph,+w,1=l,2 (1) 上式中y,1=1,2表示两个相邻时刻的接收信号，(x,x)∈{《0,1)，(L,0)},p表示平均每 符号时刻的SNR。接收瑞采用非ML相干检测，易得其误码率为 R+20*站 1 (12) 因此，非相干检测的性能仍远差于高斯信道，并且非相干检测相比相干检测有3B的性能 损失。 2、衰落信道性能差的原因分析 注意到当pl州<1，即以<合时、有 r心-e咖=-e产月 (13) 因此P以<】与衰落信道误玛率有相同的随SNR变化趋势。一般的，称<为深 我客事作、P代<分司甲为深装客事件发生的华。因此。认为案落信道性能差主要是由 信道处于深衰落引起的。因此，改善衰落信道的性能，可以从降低信道处于深衰落事件的概
无线通信原理 2023 春 郑贱平 另一方面，在公式（2）中令 h=1，高斯信道的误码率为 , ( ) ( ) 1 2 exp 2 P Q e awgn = − （8） 上式利用了公式（9）。对比（7）和（8），高斯信道的误码率随着 SNR 指数下降，衰落信道 误码率下降速率仅为 SNR-1。因此，采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能。 Remark 1: 高斯 Q 函数的一个上界和近似表达式。 ( ) 2 1 exp , 0 2 2 x Q x x − （9） ( ) 2 2 1 1 2 exp exp , 0 12 2 4 3 x x Q x x − + − （10） Remark 2： 上述分析表明采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能，但是采 用非相干检测的衰落信道性能是否仍然远差于高斯信道呢？注意到 BPSK 调制不适合非相 干检测，考虑如下的采用二进制正交调制的信号模型 y hx w t t t t = + = 2 , 1,2 (11) 上式中 , 1,2 t y t = 表示两个相邻时刻的接收信号， ( x x 1 2 , 0,1 , 1,0 )( ) ( ) ， 表示平均每 符号时刻的 SNR。接收端采用非 ML 相干检测，易得其误码率为 1 1 1 2 2 P e = + （12） 因此，非相干检测的性能仍远差于高斯信道，并且非相干检测相比相干检测有 3dB 的性能 损失。 2、 衰落信道性能差的原因分析 注意到当 2 h 1 ，即 2 1 h 时，有 1 1 2 0 1 1 1 u P h e du e − − = = − （13） 因此 2 1 P h 与衰落信道误码率有相同的随 SNR 变化趋势。一般的，称 2 1 h 为深 衰落事件， 2 1 P h 即为深衰落事件发生的概率。因此，认为衰落信道性能差主要是由 信道处于深衰落引起的。因此，改善衰落信道的性能，可以从降低信道处于深衰落事件的概
无线通信原理2023春郑贱平 率开展研究。 注意到信道本身一般是不发生变化的，幸运的是公式(1)中输入输出关系对应h实际 上是等效信道，它可以由实际信道经过预编码和/成接收端前端处理得到。一个朴素的降低 等效信道深衰落概率的思想是重复编码，即多次发送相同的符号。如果信道在多次发送时间 内会发生变化，那么只要有一次信道不处于深衰落，信息就能够以更高概率在接收端正确恢 复。 Remark3:获得分集的前提是：1)相同符号经过多个独立（等效）路径到达接收端：2) 这些经过不同路径的到达信号在接收端是可分的。在该前提下，辅以合适的信号检测算法就 能获得分集。 3、时间分集 3.1重复传输 考虑在时间维进行重复编码，其信号模型为 y=phx+w,t=1...L (14) 其中1表示时刻，这里假定h在不同时刻=，上是独立同分布的。 分析采用ML检测的误码率。将(14)写成矢量形式，有 y=√phr+w (s 其中y=[y,,J,h和w也类似得到。采用MF/MRC处理，有 Re(y)Re() h h (16) 英中-N》在检测理论中，一授称1为充分统计量。同公式②)准号，有 P(间=eV2pI (17) 定义U兰h?,显然有U服从自由度为2L的中心卡方分布，即 p0=）--e”w20 (18) 则平均错误概率可以计算为
无线通信原理 2023 春 郑贱平 率开展研究。 注意到信道本身一般是不发生变化的，幸运的是公式（1）中输入输出关系对应 h 实际 上是等效信道，它可以由实际信道经过预编码和/或接收端前端处理得到。一个朴素的降低 等效信道深衰落概率的思想是重复编码，即多次发送相同的符号。如果信道在多次发送时间 内会发生变化，那么只要有一次信道不处于深衰落，信息就能够以更高概率在接收端正确恢 复。 Remark 3：获得分集的前提是：1）相同符号经过多个独立（等效）路径到达接收端；2） 这些经过不同路径的到达信号在接收端是可分的。在该前提下，辅以合适的信号检测算法就 能获得分集。 3、 时间分集 3.1 重复传输 考虑在时间维进行重复编码，其信号模型为 , 1,..., t t t y h x w t L = + = (14) 其中 t 表示时刻，这里假定 t h 在不同时刻 t=1,…,L 是独立同分布的。 分析采用 ML 检测的误码率。将（14）写成矢量形式，有 y h w = + x (15) 其中 1 ,... T L y = y y ，h 和 w 也类似得到。采用 MF/MRC 处理，有 Re Re ( ) ( ) H H l x x w = + = + h y h w h h h h (16) 其中 1 0, 2 w 。在检测理论中，一般称 l 为充分统计量。同公式（2）推导，有 ( ) ( ) 2 2 P h Q e = h （17） 定义 2 U h ，显然有 U 服从自由度为 2L 的中心卡方分布，即 ( ) ( ) 1 1 , 0 1 ! L u p U u u e u L − − = = − (18) 则平均错误概率可以计算为
无线通信原理2023春郑骏平 P=E,[P(h]=E,[(2U] -到 (19) 在高SNR时，根据泰勒展开(6)，有 1 2 另外 - 21 将(20)(21)代入(19)，有 别 (22) 即误码率随SNR下降，当L趋于无穷大时，通近高斯信道的随SNR指数下降趋势， 根据式(I5),高SNR时深衰落事件为 cw 1 (23) -=2 1 上式中近似表达式利用了当u→0时“≈1。显然，与之前分析一致，深衰落事件与错误概 率具有相同的随SNR变化趋势。 3.2 Beyond重复传输 错误概率一般可以表达为 P.=ap-L (24) 在错误概率曲线图上（错误概率对数域，分集度L一般体现为曲线的斜率，α体现为曲线 相对纵轴的距离。考虑系统1和系统2，其错误概率分别为 P=ap P2=ap (25) 如果%<%2，则称系统1相比系统2具有的编码增益为
无线通信原理 2023 春 郑贱平 ( ) ( ) 1 0 2 1 1 1 2 2 e h e U L l L l P E P h E Q U a a L l l − = = = − + − + = (19) 其中 1 a = + 。 在高 SNR 时，根据泰勒展开（6）,有 1 1 1 1, 2 2 4 a a + − （20） 另外 1 0 1 2 1 1 L l L l L l L − = − + − = − （21） 将（20）（21）代入（19），有 2 1 1 1 4 L e L P L − − （22） 即误码率随 SNR-L 下降，当 L 趋于无穷大时，逼近高斯信道的随 SNR 指数下降趋势。 根据式（15），高 SNR 时深衰落事件为 ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 ! 1 1 1 ! ! L u L L P u e du L u du L L − − − = − = − h （23） 上式中近似表达式利用了当 u→0 时 1 u e − 。显然，与之前分析一致，深衰落事件与错误概 率具有相同的随 SNR 变化趋势。 3.2 Beyond 重复传输 错误概率一般可以表达为 L P e − = （24） 在错误概率曲线图上（错误概率对数域），分集度 L 一般体现为曲线的斜率， 体现为曲线 相对纵轴的距离。考虑系统 1 和系统 2，其错误概率分别为 ,1 1 L P e − = ,2 2 L P e − = （25） 如果 1 2 ，则称系统 1 相比系统 2 具有的编码增益为