第五章 系统频率响应分析3.频率特性与传递函数的关系设描述系统的微分方程为a.x(t)+ an--xg-)(t)+...+ a,x。(t)+ax.(t) =bmx(m)(t)+ bm-1x(m-1) + ..+ b,x;(t)+ b。x;(t)msm +bm-ism-l +...+b,s+b.X.(s)b.传递函数为 G(s)X,(s)a,s" +an-isn-l +...+a,s+a.当输入信号为正弦信号，即 x;(t)=X,sinotX,0X.(s)Laplace变换为s? +0?
第五章 系统频率响应分析 3. 频率特性与传递函数的关系 a x (t) + a − x (t) + + a1 xo (t) + a o xo (t) = (n-1 ) n 1 o (n) n o b x (t) b x b x (t) b x (t) 1 i o i (m 1) m 1 i (m) m i + + + + − − 1 o n 1 n 1 n n 1 o m-1 m 1 m m i o a a a a b b b b X ( ) X ( ) G( ) + + + + + + + + = = − − − s s s s s s s s s x (t) X sin t i = i 设描述系统的微分方程为 传递函数为 当输入信号为正弦信号，即 2 2 i i X X ( ) + = s Laplace变换为 s
第五章 系统频率响应分析n-sm-l +...+b,s+b。 X,obmsm +bmX.(s) = G(s)X,(s)a,s" +an-,sn-l +...+a,s+a. s? +oBB若系统无重极点，则X。(s)=>S-10s+ J0S-S:i=1 其中，S;为系统特征方程的根；A、B、B(B*为B的共轭负数)为待定系数。对上式进行Laplace逆变换可得系统的输出为X.(t)-A,est +(Bejot +B*e-jat)i=1对稳定系统而言，系统的特征根S：均具有负实部当t一→8时，将衰减为零
第五章 系统频率响应分析 ) j B j B ( A X ( ) n * i 1 i i o + + − + − == s s s s 若系统无重极点，则 s = − = + + n i 1 s t j t * j t o i x (t) A e (Be B e ) i 2 2 i 1 o n 1 n 1 n n 1 o m-1 m 1 m m o i X a a a a b b b b X ( ) G( )X ( ) + + + + + + + + + = = − − − s s s s s s s s s s i s A B B (B B * * i 、 、 为 的共轭负数)为待定系数。对上式进行Laplace逆 变换可得系统的输出为 其中， 为系统特征方程的根； 对稳定系统而言，系统的特征根 均具有负实部, 当t→∞时，将衰减为零。 i s
第五章 系统频率响应分析则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态响应为X。(t) = Bejot + B*e-jot若系统含有k个重极点，则x。(t)将含有tesjt(k=1，2，.….，k-1)这样一系列项。对于稳定的系统，由于s;的实部为负，t的增长没有e't的衰减快。所以tkesjt 的各项随着t一→oo也都趋于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都如上式所示
第五章 系统频率响应分析 j t * j t o x (t) Be B e − = + 则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态 响应为 x (t) o t j t e k s i s k t t j e s t j t e k s 若系统含有k 个重极点，则 将含有 (k=1，2，.，k-1)这样一系列项。对于稳定的 系统，由于 的实部为负， 的增长没有 的衰减快。所以 的各项随着t→∞也都趋 于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有 重极点，其稳态响应都如上式所示
第五章 系统频率响应分析待定系数B和BX;0B=G(s)(s- jo)(s+ j)X0G(jの)lei<G(jo) . X,Xi[s=jo= G(jの).G(s2j2js+ joG(jo)le-j<G(jo) . X;BG(-jo)s=jo-2j-2j则系统的稳态响应为ej[at+ZG(jo)] - e-j[at+ZG(j0)]X.(t) =IG(j)/X2j=|G(jの)IX,sin[ot + ZG(jの)]
第五章 系统频率响应分析 待定系数 * B和B 2j X G(j ) e 2j X G(j ) j X G( ) ( j ) ( j )( j ) X B G( ) i j G( j ) i j i j i = = + = − − + = = = s s s s s s s s * B 2j X G(j ) e 2j X G( j ) i j G(j ) i j − = − = − − = s | G(j ) | X sin[ t G(j )] 2j e e x (t) |G(j ) | X i j[ t G( j )] j[ t G( j )] o i = + − = + − + 则系统的稳态响应为
第五章 系统频率响应分析根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为X.()G(jの)A(の) =X;p(の) = ZG(jの)故G(jの)=|G(jo)lei<G(jo)就是系统的频率特性它是将取伐后的结果，是的复中(的s用变函数
第五章 系统频率响应分析 根据频率特性的定义可知，系统的幅频特 性和相频特性分别为 = = = ( ) G(j ) | G(j )| X X ( ) ( ) i o A j G( j ) G(j ) G(j )e = G(s) j 故 就是系统的频率特性， 它是将 中的s用 取代后的结果，是 的复 变函数