例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个 小于1的正实根 证设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在0,1连续 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理 日x0∈(0,1),使f(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1)2x1≠x0,使f(x1)=0 f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x,x1之间),使得f(2)=0 但f(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 小于 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
几何事实 B A 0a b 在连续可导曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处的切线与弦AB平行的
几何事实: . , 在该点处的切线与弦 平行的 在连续可导曲线弧 上至少有一点 AB AB C A o x y b B a .D .C 1 2 .M
、拉格朗日( Lagrange)中值定理 grange定理如果函数f(x)具有 (1).在闭区间a,b上连续; (2)在开区间(a,b)上可导 则至少一点∈(a,b),使得 r(=()=(或(b-a)r(4)=f(b)-f(a) 注意与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b) 结论亦可写成(b)-f(a) f() b-a
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 Lagrange定理 如果函数 f(x) 具有 (1). 在闭区间[a,b]上连续； (2). 在开区间(a,b)上可导； 则 至少一点 (a,b), 使得 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) 或 (b − a) f ( ) = f (b) − f (a). 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 注意：
L何解释: y=f(r) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB 51x 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b 弦AB方程为y=f(a)+ f(b)-f(a) x-a b x∈(a,b),点M与N纵坐标之差g(x) q(x)在曲线A,B两端点的函数值同时为零
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + x (a,b)，点M与N纵坐标之差(x)， (x)在曲线 A,B两端点的函数值同时为零
作辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)+ f(b)-f(a) (x-a) b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b内至少存在一点ξ,使得F'(2)=0 即f(ξ) f(b)-f(a) =0 b 拉格朗日中值公式 或f(b)-f(a)=f(2)(b-a) 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意: 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系