中国地质大学（武汉）：《电磁场与电磁波 Electromagntic Fields and Electromagntic waves》课程教学资源（课件讲稿）第4章 静态场分析

电磁场与电磁波 第4章静态场分析 合长KI 例1：已知无限长同轴电缆内、外半径分别为R,和R2,如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为U, 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， R 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系 c)0积分=Ar+B r or (U-Aln R+BA= U U B=- R R In R2 由边界条件 (0=4InR,+B In R R U R U 则：= In E= a R r In E=-V0 R R

电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 R2 R1 例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 R1 R2 U 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系 1 ( ) 0 r r r r      积分    A r B ln 由边界条件 1 U A R B   ln 2 0 ln   A R B 2 1 1 2 2 ln ln ln U U A B R R R R R    2 2 1 ln ln U R R r R 则：   E   2 1 ˆ ln r U E a R r R 

电磁场与电磁波 第4章静态场分析 谷<K 例2：如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他 条件同“例1”，求：(1)内外导体间的电位 R 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。 解：(1)由于内、外导体的电导率很高，可以认 为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的 边界条件一致，利用对偶原理，可以立即 得到 U (2)单位长度同轴线漏电流密度 U 4= 中2 In 为 R σU In R2 In j。=oE2= a R R R 则漏电流为 R U E= a. R E2 a 1=ij。ds = rln R R In R R

电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认 为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的 边界条件一致，利用对偶原理，可以立即 得到 2 2 2 1 ln ln U R R r R   2 2 1 ˆ ln r U E a R r R  2 1 2 1 ln ln U R R r R   1 2 1 ˆ ln r U E a R r R  (2)单位长度同轴线漏电流密度 为 c 2 2 1 ln r U J E a R r R     c 2 1 2 d ln S U I J S R R      例2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他 条件同“例1”，求: (1)内外导体间的电位 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。 则漏电流为 R2 R1

电磁场与电磁波 第4章静态场分析 囧≤KI 2.叠加定理 ◆若和中，分别满足拉普拉斯方程，则中和中，的线性组合 =a01+bp, 必然满足拉普拉斯方程。 ◆证明：V中=V(a4+b42)=V(a1)+V(b42) av20 +bV2D, 已知中和中2满足拉普拉斯方程7功，=V中，=0 所以：V中=0 >利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解

电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 2. 叠加定理  若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。  证明： 已知 和 满足拉普拉斯方程 所以： 1 2      a b 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) a b a b a b                    2 2       1 2 0 2    0  利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解。 1  2 1  2 1  2

电磁场与电磁波 第4章静态场分析 囧≤KI 3.惟一性定理 ◆边值问题的分类 ■狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 =f(s) ■聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 =f(s) On ■混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 中+(s) 9 ◆惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 √用反证法可以证明。 > 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用

电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 3. 惟一性定理  边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合  惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。 用反证法可以证明。   f s( )f s( ) n    1 2 f s f s ( ) ( ) n        惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用

电磁场与电磁波 第4章静态场分析 囧≤KI 四、镜像法 ◆镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 ◆理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据

电磁场与电磁波 第4章 静态场分析 四、镜像法 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据