《自动控制系统及应用》第五章 自动控制系统的稳定性分析

自动控制系统及应用 148 得新方程6s=0,并用新方程的系数代换第三行的零元。劳斯阵表可继续计算,最后得: 33 s6 这种情况表明,系统的特征根中有一对纯虚根存在。这对纯虚根可由辅助方程 32+3=0解得,即 对于阶次较低的系统(如二阶和三阶系统),劳斯稳定判据可以化为如下简单形式。 二阶系统(n=2)稳定的充要条件为: 0,a1>0,a>0 (5.6) 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为 a3>0.a2>0,a1>0,a>0 请读者分别列出其劳斯阵表加以验证 应用劳斯判据,还可确定保证系统稳定时系统某参数的取值 例54设某控制系统的方框图如图7.3所示。已知5=0.2及On=866,试确定K1取 何值时,系统方能稳定。 解:由图5.3可分别求得系统的开环及闭环传递函数,即 C(s)2(s+K) E(s) S(s+250,) C(s) 及 2(s+K R(S) s+250 5+O+s+K,On) 5.3系统方块图 则闭环特征方程式为 +250,s-+Ons+KOn=0 将已知参数ξ及O数值代入特征方程,得到 s3+346s2+7500s+7500K1=0 依三阶系统稳定的充要条件得: ∫7500>0 1346×7500-7500K>0 故0<K1<346

自动控制系统及应用 148 得新方程 6 0 s = ，并用新方程的系数代换第三行的零元。劳斯阵表可继续计算，最后得： 3 2 1 0 1 1 3 3 6 3 s s s s 这种情况表明，系统的特征根中有一对纯虚根存在。这对纯虚根可由辅助方程 2 3 3 0 s + = 解得，即 1,2 s j =  。 对于阶次较低的系统（如二阶和三阶系统），劳斯稳定判据可以化为如下简单形式。 二阶系统 ( 2) n = 稳定的充要条件为： 2 1 0 a a a    0, 0, 0 (5.6) 三阶系统 ( 3) n = 稳定的充要条件为： 3 2 1 0 1 2 0 3 0, 0, 0, 0 0 a a a a a a a a       −   (5.7) 请读者分别列出其劳斯阵表加以验证。 应用劳斯判据，还可确定保证系统稳定时系统某参数的取值。 例 5.4 设某控制系统的方框图如图 7.3 所示。已知  = 0.2 及 n  = 86.6 ，试确定 K1 取 何值时，系统方能稳定。 解：由图 5.3 可分别求得系统的开环及闭环传递函数，即 2 n 1 2 n ( ) ( ) ( ) ( 2 ) C s s K s s s    + = + 及 2 n 1 3 2 2 2 n n 1 n ( ) ( ) ( ) 2 ) C s s K R s s s s K     + = + + + 则闭环特征方程式为： 3 2 2 2 n n 1 n s s s K + + + = 2 0    将已知参数  及 n 数值代入特征方程，得到： 3 2 1 s s s K + + + = 34.6 7500 7500 0 依三阶系统稳定的充要条件得： 1 1 7500 0 34.6 7500 7500 0 K K      −  故 1 0 34.6   K 。 + - 图7.3 系统方框图 + 1 + ( +2 ) n 2 n 图 5.3 系统方块图

自动控制系统及应用 149 此例的劳斯阵表请读者列出,并加以验证。 5.3奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据,简称奈氏判据。它是将系统开环频率特性G(jo)H(jo)与系统闭 环极点联系起来的判据,即由系统的开环幅相频率特性曲线来判别闭环系统的稳定性。应用 奈氏判据,无论是由解析法还是由实验方法获得的开环频率特性曲线,都可用来分析系统的 稳定性。奈氏稳定判据还能指出系统的稳定程度,即相对稳定性,指出进一步提高和改善系 统动态性能(包括稳定性)的途径。因此,它得到了广泛的应用。 5.3.1奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。由幅角原理可以证明(证明从 略)有如下关系: 式中 闭环右极点个数,即闭环特征方程中为正根的个数,其值为正整数或零: p一开环(传递函数)右极点个数,其值为正整数或零; N一当O从-∞→>0>+∞变化时,G(o)H(jo)封闭曲线在[GH]平面内包围 (-1,j0)点的次数。当N>0时表示逆时针方向包围的情况;当N<0时表示顺时针方向包 围的情况;当N=0时表示曲线不包围(-1,j0)点。 由式(5.8),则可根据开环右极点数目p和开环奈氏 IGH 曲线对(-1,0)点的包围次数N,来判断闭环右极点数 是否等于零。若要闭环系统稳定,闭环不能有右极点,即 O=一 必须使二=0,也就是要求N=p。由于开环传递函数 G(s)H(s)通常是一些简单典型环节串联相乘的形式,因 图5.4“从 +∞的奈氏图 此开环右极点数p容易求出。 O从-∞→>0→+∞0的开环奈氏图是关于实轴上下对称的曲线,见图5.4。为了简单起 见,通常仅用正半部分奈氏曲线来判别系统的稳定性,此时,包围次数应当增加一倍才符合 式(5.8)的关系。即把式(5.8)改写为: 式中N为O从0→∞时的G(0)H(o)曲线对(-1,0)点包围的次数,N的正负及p、 z的含义与式(5.8)相同

自动控制系统及应用 149 此例的劳斯阵表请读者列出，并加以验证。 5.3 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。它是将系统开环频率特性 G j H j ( ) ( )   与系统闭 环极点联系起来的判据，即由系统的开环幅相频率特性曲线来判别闭环系统的稳定性。应用 奈氏判据，无论是由解析法还是由实验方法获得的开环频率特性曲线，都可用来分析系统的 稳定性。奈氏稳定判据还能指出系统的稳定程度，即相对稳定性，指出进一步提高和改善系 统动态性能（包括稳定性）的途径。因此，它得到了广泛的应用。 5.3.1 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。由幅角原理可以证明（证明从 略）有如下关系： z p N = − (5.8) 式中， z —闭环右极点个数，即闭环特征方程中为正根的个数，其值为正整数或零； p —开环（传递函数）右极点个数，其值为正整数或零； N —当  从 −→ → + 0 变化时， G j H j ( ) ( )   封闭曲线在[GH]平面内包围 ( 1, 0) − j 点的次数。当 N  0 时表示逆时针方向包围的情况；当 N  0 时表示顺时针方向包 围的情况；当 N = 0 时表示曲线不包围 ( 1, 0) − j 点。 由式（5.8），则可根据开环右极点数目 p 和开环奈氏 曲线对 ( 1, 0) − j 点的包围次数 N ，来判断闭环右极点数 z 是否等于零。若要闭环系统稳定，闭环不能有右极点，即 必须使 z = 0 ，也就是要求 N p = 。由于开环传递函数 G s H s ( ) ( ) 通常是一些简单典型环节串联相乘的形式，因 此开环右极点数 p 容易求出。  从 −→ → + 0 的开环奈氏图是关于实轴上下对称的曲线，见图 5.4。为了简单起 见，通常仅用正半部分奈氏曲线来判别系统的稳定性，此时，包围次数应当增加一倍才符合 式（5.8）的关系。即把式（5.8）改写为： z p N = − 2 (5.9) 式中 N 为  从 0 → 时的 G j H j ( ) ( )   曲线对 ( 1, 0) − j 点包围的次数， N 的正负及 p 、 z 的含义与式（5.8）相同。 图 5.4 ω 从-∞→0→+∞的奈氏图 0 Im Re =+∞ =-∞ =0 (-1, 0) [GH] 图7.4 从-∞→0→+∞的奈氏图

自动控制系统及应用 由式(5.9)可知,闭环系统稳定时,即当z=0时应满足 P=2N或N=P/2 综上所述,给出奈氏据判据的结论:当O从0→+∞时,开环频率特性曲线 G(io)H(o)逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环右极点数的一半,则闭环系统稳 定,否则不稳定 5.3.2奈氏判据应用举例 应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下 首先,绘制O从0→+0变化时的开环频率特性曲线,并在曲线上标出O从0→+∞增 加的方向。根据曲线包围(-1,j0)点的次数和方向,求出N的大小及正负。为此可从点 (-1,j0)向曲线上作一矢量,并计算这个矢量当O从0→+∞变化时相应转过的“净”角度 规定逆时针旋转方向为正角度方向,并按转过360°折算N=1,转过-3600折算N= 要注意N的正负及N=0的情况,见图5.5。 图5.5N的计算 然后,由给定的开环传递函数确定开环右极点数p,并按奈氏判据判断系统的稳定性。 若N=p/2,则闭环系统稳定,否则不稳定。如果曲线刚好通过(-1,0)点,表明闭环系 统有极点位于虚轴上,系统处于临界稳定状态。 需要指出,开环传递函数中没有s=0的极点时,开环奈氏曲线为一条封闭曲线,而当 开环传递函数中有s=0的极点,即含有积分环节时,奈氏曲线就不是封闭曲线,为了确定 曲线对(-1,j0)点的包围情况,这时需要作辅助曲线。可以证明(证明从略),辅助曲线的 作法是:以原点为圆心以无穷大为半径,从实轴上开始顺时针方向绕行y×90°(y为积分 环节的个数)作圆弧至奈氏曲线的起始端。注意从实轴上开始并不一定都是从正实轴上开 例5.5单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)= ,试用奈氏判据判断k=4 0.ls+1 和k=-4情况下的稳定性

自动控制系统及应用 150 图 5.5 N 的计算 ω=∞ ω=∞ b) N=0 图7.5 的计算 a) N= ω=0 -1 0 Re -1 0 ω=0 Re ［GH］ Im Im ［GH］ -1 由式（5.9）可知，闭环系统稳定时，即当 z = 0 时应满足 p N = 2 或 N p = 2 综上所述，给出奈氏据判据的结论：当  从 0 → + 时，开环频率特性曲线 G j H j ( ) ( )   逆时针包围 ( 1, 0) − j 点的次数 N 等于开环右极点数的一半 2 p ，则闭环系统稳 定，否则不稳定。 5.3.2 奈氏判据应用举例 应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下。 首先，绘制  从 0 → + 变化时的开环频率特性曲线，并在曲线上标出  从 0 → + 增 加的方向。根据曲线包围 ( 1, 0) − j 点的次数和方向，求出 N 的大小及正负。为此可从点 ( 1, 0) − j 向曲线上作一矢量，并计算这个矢量当  从 0 → + 变化时相应转过的“净”角度， 规定逆时针旋转方向为正角度方向，并按转过 0 360 折算 N =1 ，转过 0 −360 折算 N =−1。 要注意 N 的正负及 N = 0 的情况，见图 5.5。 然后，由给定的开环传递函数确定开环右极点数 p ，并按奈氏判据判断系统的稳定性。 若 N p = 2 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。如果曲线刚好通过 ( 1, 0) − j 点，表明闭环系 统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态。 需要指出，开环传递函数中没有 s = 0 的极点时，开环奈氏曲线为一条封闭曲线，而当 开环传递函数中有 s = 0 的极点，即含有积分环节时，奈氏曲线就不是封闭曲线，为了确定 曲线对 ( 1, 0) − j 点的包围情况，这时需要作辅助曲线。可以证明（证明从略），辅助曲线的 作法是：以原点为圆心以无穷大为半径，从实轴上开始顺时针方向绕行 o  90 （  为积分 环节的个数）作圆弧至奈氏曲线的起始端。注意从实轴上开始并不一定都是从正实轴上开始。 例 5.5 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) 0.1 1 k G s s = + ，试用奈氏判据判断 k = 4 和 k =−4 情况下的稳定性