节点与支路混合撕裂分析法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1984.03.007 北京钢铁学院学报 1984年第3期 节点与支路混合撕裂分析法 要 电路与电子教研室臭弘仁黄汝激 摘 要 本文在广义撕裂法【及节点撕裂节点分析法[]的基础上提出了一种新的撕裂 方法一节点与支路混合撕裂法（简称混合撕裂法）。它同混合分析法与节点分析法 及回路分析法的关系类似，可以把广义撕裂法中的节点回路撕裂法与节点撕裂节点 分析法作为宅的特例，且一般可以达到比二者更好的撕裂效果。本文给出了节点与 支路混合撕裂法的严格证明，给出了以二级撕裂【]为基础的算法及示例。 一、引言 1.以往提出的撕裂法中所采用的撕裂方法从撕裂的对象来划分有两类：(1)Kron, HaPp的支路撕裂1，即移去一些支路，使大网络分为若干小的子网络，F.FWu提出 的“节点撕裂法”[！从物理角度而言实际撕裂的仍是支路，仅在分析子网络时用的是节点 分析方程。（2)L.K.Chen,L.O.Chua提出的节点撕裂节点分析法【，即在网络节 点处撕裂，使大网络成为若干小的子网络（虽然他们是从数学及支路刘分的观点进行讨论 的)，崔和范的工作是基于此种方法上开展的【！。 广义撕裂法中撕裂的是支路或子 网络，但并不把撕去的子网络中的节 点作为斯裂变量1。 2.在用撕裂方法分析问题时的 一个主要考虑是：撕去尽可能少的支 路或节点，取得尽可能少的撕裂变 量，得到比较多的小子网络。而在图 1所示网络中无论仅用支路撕裂或仅 用节点撕裂均不能达到这个效果。而 若在子网络N:与N,之间及N:与N,之 间用支路撕裂，N:与N2之间用节点 图1 撕裂(n:与nz为撕裂节点)则能满足这个要求。 3.而从各种撕裂分析方法所对应的撕裂方程个数而言： F.F.Wu取所有的独立节点电压变量及独立撕裂支路电流变量为方程的未知量[！()， L.K.Chen,L.O.Chua取所有的独立节点电压为变量， 60

北 京 钥 铁 学 院 学 报 年 第 期 节点与支路混合撕裂分析法 ， 电路 与 电子教研 室 奥弘 仁 黄汝激 摘 要 本 文在广义撕 裂法 “ ’ 及 节 点撕裂节 点分 析 法 〔 ‘ 的墓础上 提 出 了一 种 新的撕 裂 方法一 节 点与支路 混合撕裂法 简称 混合撕 裂法 。 它同混合分析 法与节点分析法 及 回路分 析 法 的关 系类似 ， 可 以把广义 撕 裂法 中的节 点回路撕 裂法 与节点撕裂节 点 分析法作为 它的特例 ， 且 一 般 可 以达 到 比二 者更好 的撕裂效果 。 本 文给 出了节 点与 支路 混合 撕 裂法 的严 格证 明 ， 给 出了 以 二 级撕裂 。 为墓础 的算法及 示 例 。 它 遥 ， 、 「 ，日 以 往提出的撕裂 法 中所采用 的撕 裂方法从撕 裂 的 对象来 划分 有两 类 ， 的支路撕 裂 ‘ ， ， 即移去 一 些支路 ， 使 大 网络 分 为若 干小 的子 网络 ， 提出 的 “ 节点撕裂 法” ’ 从 物理角度而 言实际撕裂 的仍 是 支路 ， 仅 在分析 子 网络 时用 的是节点 分析方程 。 ， 提出的节点撕 裂节点 分析 法 ‘ ， 即 在 网络节 点处撕 裂 ， 使 大 网络 成为若 干小 的子 网络 虽然他 们 是 从 数学 及支路划分 的 观 点 进行讨 论 的 ， 崔 和范的工 作 是 基于此 种方法 上开 展的 广义撕裂法 中撕裂 的是支路或子 网络 ， 但 并 不把撕 去的子 网络 中的节 点作 为撕裂变 量 。 在用 撕裂方法分 析问 题 时 的 一 个主 要考虑是 撕 去尽可能 少的 支 路 或节点 ， 取得 尽可能 少 的 撕 裂变 量 ， 得 到比较 多的小 子 网络 。 而在图 所 示 网络 中无论仅用 支路撕裂或仅 用 节点撕裂均 不能达 到这个效果 。 而 若 在子 网络 与 之 间 及 与 之 间用 支 路撕 裂 ， 与 之 间用 节点 图 撕裂 与 为撕裂节点 则能 满足这个要求 。 而从 各种撕裂分析方法所 对应 的撕裂方程 个数而言 取所 有的独立节点 电压 变量 及 独立撕裂支路 电流变量 为方程 的未知量 曰 。 ， 取所 有的独立节点 电压 为变量 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．03．007

崔和范取所有独立节点电压及对应无伴电压源的支路电流作为方程的未知量【， 广义撕裂法列写的是广义混合分析方程「」1】【1】。 原则上讲，广义撕裂法的变量个数取得可以少于Chen一Chua的方法；而Chen一 Chua的方法所取的方程个数要比F.F.Wu的少。 通常要求解撕裂方程，总希望未知量及撕裂变量尽量少，以期减少运算量，加快运算速 度。 总之，引入混合撕裂法之目的在于，并取节点撕裂与支路撕裂之长，通过撕去较少的节 点与支路得到较多的子网络，使之在一般情况下建立的撕裂方程个数最少。 这种方法的证明过程是先按文献〔6)中的广义撕裂法的步，刘分、撕裂网络N为子网 络N:(Y网络)与N2(Z网络)，然后对子网络N,(Y网络)再用文献〔4)中的节点撕裂法 的划分方法，分出撕裂节点与非撕裂节点，经变化整理得到混合撕裂法的撕裂方程。（注： 这是为了使证明过程简明，该法使用时并不要求显明地分为两步，见示例)。方程的个数与 广义撕裂法的个数相等，即一般要比节点撕裂节点分析法或节点撕裂法的方程个数都要少。 而撕裂的效果比广义撕裂法的节点回路撕裂会有所改善。 二、混合撕裂法撕裂方程的建立 1.撕裂的网络图论基础： (1)对一个线性时不变集总参数网络N,它的图为G(N,B)，N{nⅡ，…nn}为 G的集点，B={b:,b。…b,}为G的边集。把B分成两个不相交的子池集B:与B:,从G中 移去B,得到-…个部分图，称为Y子图G1,从G缩减B,得到一个缩减图称为Z子图G,u1。 这样从图G构成两个子图G:和G2时，网络对应地分裂成两个子网络，Y子网络N:和Z子网络 N2,由此可形成广义割集矩阵Q及广义回路矩阵B如下[I: a &]「0 (2-1) Q2 CB: ]-[] (2-2) 下标1,2分别表示子网络N:,N2,边的排列是先N:的边，后N2的边。割集（回路）的 排列是先写由N:决定的割集（何路），后写由N2决定的割巢（回路）。设网络N的支路混 合参数矩阵H,为： rH H12 (2-3) LH:1 H:2- 其中：H11一Y子网络N,的支路导纳矩阵， H22一Z子网络N2的支路阻抗矩阵， H:2一从N,到N,的元件电流传递矩阵(J)=H12Ib2)事 H21一从N,到N,的元件电压传递矩阵(E)=HzV1) (2)对一个线性时不变集总参数网络N,它的图为G,令花写N为G的所有非参考节 点的集合，花写的B为G的所有支路集合，将N刘分为任意两个不相交的子集N:和N:,将 支路集B划分为两个不相交的子集B:和B,使得，①B:只包含仅与N:中节点及参考节点关 61

崔 和 范取所 有独立 节点 电压 及 对应无 伴 电压 源 的 支路 电流 作 为方程 的未 知最 下‘ ’ 广义撕裂 法列 写 的 是广义 混合分析方程 。 ‘ 。 “ 。 原则 上讲 ， 广义撕裂 法 的变量 个 数取 得可 以 少于 一 的 方 法 而 一 的 方 法所 取 的方程个数要 比 的少 。 通 常要求解撕裂方程 ， 总希望 未知 量 及撕裂变量 尽量少 ， 以期减少 运 算 最 ， 加快运 算速 度 。 总之 ， 弓 入 混合撕裂 法之 目的 在于 ， 并取节点撕裂 与支路撕裂之长 ， 通过撕 去较少 的节 点 与支路得 到较多的子网络 ， 使 之 在一般情 况下建立 的撕裂方程 个数最 少 。 这种方法 的证明过程 是先按 文 献 〔 〕 中的广义撕裂 法 的步砚 ， 划分 、 撕 裂 网络 为子 网 络 网络 与 网络 ， 然后 对子 网络 网络 再用 文 献 〔 〕 中的节点撕裂 法 的划分 方 法 ， 分 出撕裂节点 与非撕 裂节点 ， 经 变化整理得 到混合撕裂法的撕 裂 方程 。 注 这 是 为了使 证 明过程 简明 ， 该 法使用 时并不 要求显 明地分 为两步 ， 见 示例 。 方程 的个数 与 广义 撕裂 法 的个数相等 ， 即一般 要比节点撕裂节点分析法或节点撕裂 法 的 方程 个数都 要少 。 而撕 裂 的效果 比 广义 撕裂法 的节点 回 路撕 裂会有所 改善 。 二 、 混 合撕 裂 法撕裂 方程 的建立 撕 裂的网 络口 论谷 础 对一 个线 性 时不变集 总参数 网络 ， 它 的 图 为 ， ， 丈 ， ， ， ” · 。 卜为 的集点 ， ， 一 。 为 的边集 。 把 分 成 两个不相 交 的子镇集 与 ， 从 巾 移去 得 到 一 个 部分 图 ， 称 为 子 图 ，， 从 缩减 得到一个缩减图称为 子图 「‘ 。 。 这 样从 图 构成 两个子 图 ，和 时 ， 网络对应地分裂 成 两个子 网络 ， 子 网络 和 子 网络 ， 由此 可 形 成广义 割集矩 阵 及广义 回路矩 阵 如 下 〔。 「 〕 〔了 ’ ’ 〕 〔 ’ 〕 〔 ， 〕 一 一 一 下标 ， 分另 表示子 网络 ， ， ， 边 的排列 是 先 的 边 ， 后 的 边 。 割 集 回路 的 排列 是呢 写 由 决 定 的 割集 回路 ， 后 写 由 决 定 的割集 回路 。 设 网络 的 支路混 合 参数 矩 阵 为 一 厂 ， 一 其 中 － 子 网络 的支路导纳 矩 阵， － 子 网络 的 支路阻抗矩阵， － 从 到 ， 的元件 电流传递矩阵 去尝 二 。 ， ， － 从 到 的 元件 电压 传递 矩 阵 若蜜’ 、 ， 对一个线性时不 变集总参数 网络 ， 它 的图 为 ， 令花写 为 的所 有非 参考节 点的集合 ， 花写 的 为 的所 有支路集合 ， 将 划分 为任意 两个不相 交 的子 集 和 ， 将 支路集 划分 为两个不 相 交 的子 集 和 使 得 ， ① 只 包含仅 与 中节点 及参考节点关

联的支路：②B,包含所有其它的支路。则网络的关联矩阵如下： B1 B2 A= (2-4) N:LA::A:: 在网络中我们采用图2所示标准复合支路并且 定义： v=:] 网络N的支路电压列向量；， -[ 一网络N的支路电流列向最， 1=[}:]一网络N的支路独立电流源列向 量 图2 E-[:} 一网络N的支路独立电压源列向量， V。=V。+E。一网络N的支路元件电压列向量， I。=I。+J。一网络N的支路元件电流列向量； V.=[仪：一广义割架装的电压列响量： ,=[:]一广义回路装M的电流列向量。) 电压、电流、阻抗和导纳均为复频率S的函数。 2.证明一混合撕裂方程的意立 由文献〔6)可知，广义混合基方程： [&2]-[g] (2-5) [21 (2-5) 其中：Y。1=QH1QiZ2=B,Hz2BC=(B:H21+B2)QD=(Q:H2+Q1z)B Jo1=Q1J11 Er2=B2B021 J01=Jo1-H11E1-H12JD2 BD2=ED2-H:2J02- H21Eo1。 下标1为Y子网络，2为Z子网络。方程(2-5)的推导及各矩阵、向量的定义均与文 献〔6)相同，不再赘述。不失一般性，我们讨论当N,(Y)子网络含有两个彼此间无耦合的 可离分网络N1',N22,则： Q1= Q* H-[ga] D HF=0 Y (2-6) C Z.2 我们用节点法分析N:时，有 62

联 的 支路 ② 包含所 有其它的 支路 。 则 网络 的关联 矩阵如下 ‘ ’ 〕 么 一 一 一 在网络 中我 们采用 图 所 示 标 准复 合 支路并且 定义 「 卜 飞 ， ‘ 、 ， ‘ 、 一“ 。 一 ， 。 一 ， ” 试 一毗 的 支路 电压舫量 ‘ 一毗 的支路 毓酗 量 ， 「 卜 ， 〕 ， ‘ 、 ， 二 ， 一 一 。 ， 一 二 、 、 ， ” 于 」一 网络 的 支路 独立 电流 源 列 向 量 ， 「 卜 ， 飞 、 ， 二二 一 一 ‘ 一 讨 苞 」一 网络 的 支路 独立 电压 源列向量 ， 。 二 、 。 － 网络 的 支路 元件 电压列 向量 ， 。 二 。 。 － 网络 的支路元件 电流列 向量 ， 图 一 等下且 ， 一 广义 割集 基。 的 电压 列 。 ， 一 广烟路 基 白勺电流 列， 。 。 ， 电压 、 电流 、 阻 抗和导 纳均 为复频率 的 函数 。 证 明－ 沮合衡拱方怪 的趁 立 由文献 可 知 ， 广义 混合 基方程 。 一 。 〕 · ‘ ’ · ‘ 〕 ， 。 · 一 ， 曰，百 卜 厂 一 其 中 。 ， ， ， ， 王， ， 夏， ， 井， 。 了 、 ， ， 君 。 ， 了 、 。 一 。 一 ， 君 。 。 一 ， 一 一 。 ‘ 下标 为 子 网络 ， 为 子 网络 。 方程 一 的推导 及各矩 阵 、 向量 的 定义 均 与文 献 〔 〕相 同 ， 不再赘述 。 不失一般性 ， 我 们讨论 当 子 网络 含有两个彼此 间无 藕合 的 可离分 网络 ， ‘ ， “ ， 贝 ， “ 〕 尸 一 二 一一一 一 庄陌卜 一 书我们用 节点 法分析 时 ， 有

Q=A1= 文献〔4)中提出的节点撕裂节点分析实际上是一种支路、节点刘分方法，且支路与节点 的编号是人为规定的，不失一般性，将N,'及N,2中的非参考节点划分为撕裂节点与非撕裂 节点，支路划分为仅与撕裂节点及参考节点相关联的边与其它的边，并设： Aii Y Y: A111 HI:= Ytaat AA A,11A2 YaHYoH1-Y11Yi A Y A Y A2= H:= Y,2 A2A1-A2*A3 YoiY31-YoaR:1IYoia 上述矩阵A,‘（i=1,2)均先写非撕裂节点，后写撕裂节点，先写至少与一个非撕裂节点 相关联的边，后写仅与撕裂节点及参节点相关联的边，所对应的网络的物理意义（约束）详 见文献〔4)，则混合基矩阵为： D(1) Y,3 YiY-Y1 Y D(2) Hr= Y Y (2-7) Y Y进 D(3) YiR Y YiY:1-Y Y,i D(4) C(1) C(2) C(3) C(4) Z.2 其中：Y=AY(A), Yi=AY(A)+AY(A) k=1,2…m1 Yi=AYE(A)+A:Y(A) Y,4k,[AnAr+AA+AY,A,y] m i P +A:Yb(A,4)gi=1,2 (A)（A,1)0 0 0（A) 0 0 C=〔BzH21+B2:)A=〔BzH21+B2t) 0 0 (A,)（A,) 0 0 0 （A:) =〔C(1)C(2)C(3)C(4) (2-8) 63

勺百 名 ’ “ 〔 文 献 〔 〕 中提 出的 节点撕裂节点分析实际 上是一 种支路 、 节点 划分 方法 ， 且 支路 与节点 的 编 号是人 为规定的 ， 不 失一般性 ， 将 ‘ 及 ， 艺 中的非 参考节点划分 为撕裂节点 与非撕裂 节 点， 支路划 分 为仅与撕 裂节点 及 参考节点相 关联 的 边与其它 的 边， 并设 ， 、卫 ‘ ︸ 气 击声 奋 川 ‘ 二 … … 受 ‘ 九 甲 ， ‘ 孟 老 、 ‘ 甲 皿 ‘ 釜卜一 、 份“ 全 ， 几 、 斗于 兮 曰“ 且 干一 一 幻 孟 击、 受孟 ‘ 号 ， 、 二 · ·· 老受 卫产吸下胜 一 一 ︸ ，么 月目 … 全 卜 月 、 委卜一 份 ‘ 盘贾 一 、 笼 月 上述矩阵 、 相 关联 的 边 ， 见 文 献 〔 〕 ， ‘ ， 均先写非撕裂节点 ， 后 写撕裂节点 ， 先 写至 少 与一 个非撕 裂节点 后 写仅 与撕裂节点 及 参节点 相关联 的边 ， 所 对应 的 网络 的 物理意义 约 束 详 则 混 合 基矩 阵为 、 。 斗 一 一 斗 二， 口 自名二 且 登 ， · 一一 一斗 一一 ··· ·· 中 · · · 一一 孟受 孟一 卜 ， 孟 一 · 一 ‘ ，一 · 一 ·‘ 一 一 ‘ · 一 一一 一 一 ‘ 二几占‘ 月盆名 一 釜受 ‘ ， 三 。 “ 一 卜 兮 ， 一 份 名 “” 牛 ‘ 孟全 ， 丰 ， 一 一未 二 · · 一一斗一 一一十 ， 一 。 斗 曰二 曰 岛 其 中 七 生 云， 专 二 曰 七 曰科 曰“ 云， 如 告 七 曰 ， 今 ， 孟 告 冲 “ ， ” ’ ‘ 曰封 目 ，」书 、声 口 二 ‘ 「、 、 ， ， ‘ ， 呈 玺 ’ 十 佳 、 飞 、 ’戮 。 ” 毛 卜 、 盔 ‘ ， ， ‘ 〕 〔 〕 盖 ’ ， ’ 生 ’ 乏 ， 受 ’ 全 ’ 诬 侧 ﹃争 斗 家 二 〔 〕 邸 、 ， 厂 ’ 之盛 卜 山

(A1): (A) C(I)=(B,Hz1+B,) 0 C(2)=〔B,Hz1+B2i) (A:) 0 0 0 O 0 0 C(3)=〔B,Hz1+B:i) C(4)=〔B:Hz1+B:t) 0 （A,1) (A,1) 0 (A,)。 将A1与A12作如下划分： Air 0 0 0 A:(1) A12(1) Ait Aa 0 0 A1(2) A1= A12(2) 0 0 Ai 0 A1(3) A12= A12(3) 0 0 Ai Aia A1(4) A12(4) 则： 〔A1(1)H1z+A12(1)B: D(1) D〔A,H12+A12)B= 〔A1(2)H1z+A12(2)B:D(2) (2-9) 〔A:(3)H12+A1z(3)B:D(3) 〔A:(4)H12+A1z(4)B;D(4) 将(2-7)式的矩阵变形整理为(2-10)式： YH 0 0 0 D(1) 0 Y YH Y、 0 用 He'= 0 0 D(3) Y,2 YHYH-YR1 0 Yi: 0 D(2) 0 Y1Y31-Y221 0 Yi: D(4) C(1) C(3) C(2) C(4) Z,2 (2-10) 其中： Yia 0 D(2) Y,1 Hn= 0 Y.D(4) C(2) C(4)Z, 64

， 盖 云 二 〔 ， 〕 ‘ ，二 〔 〕 ‘ 孟” ， ‘少 〔 〕 笙 〔 〕 ， 全 里 ’ 户 将 与 作如下划分 一 卜 一 卜 璧 璧 ‘ 一 ， 一 则 〔“ 盆 “ ， “ ” ” ‘ 。 〔· · 一 〕 ， …交 公幸交 茗… 仁〔 〕 一 子 将 一 式 的 矩 阵变形 整理 为 一 式 一 扛二 一 ， ， ， 。 〕 …一 产 一 拄中 刊 、 一 ’ “ ， 。 璧里 孟 夏 ， 、 甲