Definition2.1.14.设A=[aii]ERnxn，下式（对Vie[1,n]均成立）det(A) := [A| := (-1)i+jaij/A;jl(2.24)j=1称为矩阵A的行列式式中AijER(n-1)x(n-1)表示A矩阵删除第i行和第j列后，剩余元素构成的矩阵.式（2.24）称为矩阵A沿第i行的拉普拉展开（Laplaceexpansion）与（2.24）类似，我们有[A|=(-1)i+3ai/Ail(2.25)2=111PROFESSORCAYUANLIX'an Jiaotong University
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Theorem2.1.3.如果A和B是具有相同维数的两个方阵，那么[AB|=|A|B|Definition2.1.15.设AeRnxn,如果Av=A那么入ER称为A的一个特征值,ERn称为入对应的的特征向量n×n维矩阵具有n个特征值，可能有相同取值Theorem2.1.4.设入是矩阵AERnxn的特征根，那么[A| = II 入i=112PROFESSORCAIYUANLIX'an Jiaotong University
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Definition2.1.16.对于矩阵AERnxn,如果存在矩阵A-1ERnxn，使得AA-1 =A-1A= I(2.29)那么A-1称为A的逆矩阵一般地，（AB)-1=B-1A-1（假设对应的逆存在).此外，（AT）-1=（A-1)T如果一个矩阵不存在逆矩阵，那么称该矩阵不可逆，或者说是奇异的，可逆矩阵又称非奇异矩阵，非奇异矩阵一定是方阵，反之则不然，可以利用向量线性无关的概念，矩阵非奇异也可以定义为矩阵的任意行（或列）不是其他行（或列）的线性组合：此外，矩阵非奇异也可以定义为矩阵的行列式不等于零，即IA|￥0.13Xran Jiaotong UniversityPROFESSORCAYUANLI
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Definition2.1.17.如果AT=A-1，那么A称为正交矩阵（或旋转矩阵）Theorem2.1.5.如果A是正交矩阵，那么A=1或一1Theorem2.1.6.假设AERnxn，那么如下说法是等价的：.p(A)=n.·A是非奇异的·构成A的所有列向量是线性无关的·构成A的所有行向量是线性无关的·A-1存在·[A|￥0.·对于任意的bERn,代数方程组Aa=b具有唯一解a·0不是A的特征值14PROFESSORCAYUANLIXran Jiaotong University
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Definition2.1.18.对于矩阵AERnxn，它的迹（trace）定义为矩阵A对角元素之和.即7tr(A)=Zai(2.37)根据2-范数的定义，不能发现tr(aaT）=|a.对于适当维数的矩阵A和B,有tr(AB）=tr(BA)Property2.1.1.设入是矩阵AERnxn的第i个特征值，那么tr(A)=入(2.38)i=1PROFESSORCAIYUANLI15xran JiaotongUniversity
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