用有限单元法分析轧辊的变形和应力

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1982.01.016 北京钢铁学院学报 1982年第1期 用有限单元法分析轧辊的变形和应力 力学教研室冯钩一 摘 要 本文用轴对称结构受非轴对称载荷的有限单元法分析轧辊的变形和应力，编制 了相应的计算程序，用算例和解析解作了比较，讨论了接触弧很小时对收觖速度的 影响。为计算板材轧机轧辊的变形和应力提供一种可供实用的计算方法。 一、概述 轧辊是轧钢机的主要零件，轧辊的变形和应力对轧辊的结构设计和轧钢生产工艺有很大 的影响。现在对轧辊的变形和应力计算基本上是以梁的概念为基础的。STone【】把四辊轧 机的工作辊作为弹性基础上的梁来计算变形，对一些轧辊如四辊轧机工作辊的直径d和辊长 1之比d/1=1:3~5,对支承辊d/1=1:2~3,在这种情况下运用梁的理论分析轧辊的变形和 应力就欠准确了。渡边1)把冷轧机工作辊作为平面应变来处理，分析工作辊的应力，显然 这样的分析没有考虑到弯曲的影响。近年来已有学者用有限元法分析轧辊问题。有村「5]对 轧辊作了三维的应力分析，显然限于带宽太大在周向只分了五个单元，径向分了四个单元， 这样的结果当然是十分粗糙的，即使这样也要使用较大的计算机才能完成，计算费用相当高。 本文用有限单元法来计算轧辊的应力和变 形。根据轧辊的结构和受力情况，作为一个轴 对称结构，受非轴对称载荷的问题来处理，讨 论了接触弧很小时解的收敛速度问题。并把此 方法编制成计算程序，在中型计算机上实现， 为计算轧辊的变形和应力提供一种实用的计算 方法。 对称 二、盖本遍论 对轧辊来说通常具有轴对称的几何形状 (图1)，而所受的载荷包括轧制压力，支撑力，反 弯力，摩擦力为非轴对称的，因而轧辊可以 归结为轴对称结构受非轴对称载荷的问题。 有限单元的基本方程为 A-A B一B 〔K){8}={F} (1) 图1 ”:轧辊还受到扭矩的作用，共应力和变形很容易计算出来，可迭加于上述各载荷作用的结果 184

北 京 俐 铁 学 院 学 报 年第 期 用有限单元法分析轧辊的变形和应力 力学教研 室 冯 钧 一 要 本文 用 轴对称结构 受非轴对称载荷的有限单元 法分 析轧辊 的变形和 应 力， 编 制 了相 应 的计 算程序， 用 算例和 解析解作 了比较， 讨 论 了接触弧很 小 时对 收橄 速度 的 影 响 。 为计 算板 材轧机轧辊 的变形 和 应力提供 一 种 可供 实用 的计 算方法 。 一 、 概述 轧 辊是轧 钢 机的主 要零 件 ， 轧辊 的 变形和应力对轧辊 的结 构设计 和轧钢生产工 艺有很大 的影 响 。 现在 对轧辊 的 变形 和应 力 计算 基本 上是 以 梁的概念为基础 的 。 ’ 把 四 辊轧 机的 工作辊 作为弹性 基 础 上的 梁来计算变形 ， 对 一些 轧辊如 四 辊轧机 工作辊 的直径 和辊长 之 比 ， 对 支承辊 一 ， 在这种情 况下运 用 梁的理 论分析轧辊 的变形和 应 力就 欠准确 了 。 渡边 ’ 把冷轧机 工作辊 作为平面应 变来处理 ， 分析工作辊 的应 力 ， 显然 这样的 分析没有考虑 到弯 曲的影 响 。 近 年来 已有学者用 有限元 法分析轧辊 问题 。 有村 ” 对 轧辊 作 了三 维 的应 力 分析 ， 显然 限于带宽太大在周 向只 分 了五个单元 ， 径 向分 了四个单元 ， 这样 的 结果 当然 是十 分 粗 糙的 ， 即使 这样 也 要使 用 较大的 计算机才能完 成 ， 计算费用 相 当高 。 本文用 有 限单元 法来计算轧辊 的应 力和 变 形 。 根据 轧辊 的结构 和 受力情况 ， 作为一个轴 对 称结构 ， 受 非轴对称 载荷 的 问题 来处理 ， 讨 论 了接触 弧很小时解的 收敛速 度问题 。 并 把 此 方 法编制成 计算程 序 ， 在 中型计算机 上实现 ， 为计算轧辊 的 变形和应 力提供一种 实用 的计算 方法 。 二 、 若本理论 对轧辊 来说 通 常具 有 轴对 称的 几何 形状 图 ， 而所 受 的 载荷 包括轧 制压力 ， 支撑力 ，反 弯 力 ， 摩擦 力 铸 为非轴对 称 的 ， 因而轧 辊可 以 归 结 为轴对 称结 构受非轴对 称 载荷 的 问题 。 有 限单元 的 基本方程 为 〔 〕 乙 人一人 一 图 扎棍还 受 到扭矩 的作用 ， 共应 力和 变形很 容 易计算 出来 ， 可迭加 于上 述 各载荷作用 的结果 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．01．016

{8},{F},〔K)分别为结构的位移列阵，负荷列阵和刚度矩阵。 若使用圆柱坐标，轧辊 内位移和应力是z,9,Y的函 数，考虑到轧辊上的负荷 呈对称和反对称分布，即载 (a) 荷的径向分量í，对称于接触 弧中心，周向分量f。(摩擦 力)反对称于接触弧中心， 轴向分量f.一般为0。（实 际上轧件对轧辊的压力和摩 擦力如图2中(b)和(c) b 分布在接触弧ab上，弧的中 心点c和中性点d并不重合 但相差不大，其余的载荷都 完全符合上述条件)，可以 把位移，应力，应变和载荷 分别按奇函数和偶数函数展 成富氏级数。即 ☒2 2… Uncos n {8}=V 三Vnei如a (2) f.正个 W .00 0 e0e ca.con a=0 z t..cosn0 {e}= n=0 (3) ” Y: Yezn ginn 》平 a=0 ” Yzrnco8 n0 n=0 Yrenainne 185

各 ， 卜 ， 〔 〕分别为结构的位移列阵 ， 若使用 画柱坐标 ， 轧辊 内位 移和应 力是 ， ， 丫的 函 数 ， 考虑到 轧 辊 上的 负荷 呈对 称 和反对称 分布 ， 即 载 荷 的径 向分 量 对 称于 接触 弧 中心 ， 周 向分 量 摩擦 力 反对称于 接触弧 中心 ， 轴向分里 一般为。 。 实 际上轧件对轧辊 的压力和 摩 擦力如图 中 和 分布在 接触弧 上 ， 弧 的 中 心 点 和 中性点 并 不 重 合 但 相差 不大 ， 其余的 载荷 都 完 全符合 上述条件 ， 可以 把位移 ， 应 力 ， 应 变和 载荷 分别按奇 函数和偶 数 函数展 成 富 氏级 数 。 即 负荷 列 阵和 刚度矩阵 。 丰 十一 一 卞一 卜 ， 。 。 二 「 花个 产百、 各 乏 · 。 乏 · ” 艺 ” 几夕、产 一 艺 。 · “ ” 艺 。 一 ” 艺 二 ” 一 乏 丫 … ‘ 皿 一 乏 ， 。 “ 乏 丫 二 ‘ ” 了‘ … ﹄ 名 丫 …

o rn cos n 0=0 00 ∑.co9 a- G: ∑0：cosa0 {a}= 5= (4) teznsinne n=0 T z r n cosn0 n=0 Σ T:nin n f iUoa0 a-0 {f}= ，ina9 (5) 4-0 ∑f,cosn9 这里a,wn,f,n,「gn,f2n,c,n…,0:n…都只是r和z的函效，和9无关，这 样，一个三维问题可看成由个二维问题迭加而成，如果用一般的三雏有限元来计算轧辊， 因为轧辊在三个方向上的尺寸属同一量级，势必造成结点很多，刚度矩阵的带宽很大，需要 大型计算机才能胜任，而且计算时间长，费用高，现在变为个二维问题来计算，用中型计 算机就可完成，费用也约缩到可以接受的范围内。 对板材轧机的轧辊，辊身和辊颈都为圆柱 体，若以过轧辊中心线的子午面为剖面（图3） 在子午面上以平行于r轴和z轴的直线刘分成 矩形单元。显然不同角上剖面的单元划分是 一样的，可以由0=0这一剖面来代装。 采用四结点等参数单元 图3 u n w.U. {8n}= ∑N,V (6) 4 W A N,Wn 186

乏 。 。 乏 。 。 。 吕 ︸乏 · ︺﹃艺乏 · ︺乏艺 、、， …… 、 口 皿 … ， 乙 。 、产护 … 、 ， 卜 … ’ ‘ … · …… 艺‘ · “ ” 艺‘ 。 · “ ” 艺‘ · ” ” 这里一 ” 。 ， · ， · ， ， ， 。 … … ， … … 都只 是 和 的 函数 ， 和 。无 关 ， 这 样 ， 一个三维间葱可 看 成 由 个二 维 问题 迭加 而 成 ， 如果 用一 般 的 三维 有 限 元 来 计算轧辊 ， 因为轧辊 在 三个方 向上的尺 寸属 同一 量级 ， 势必 造成 结点很多 ， 刚度矩 阵 的 带宽很大 ， 需要 大 型 计算机才 能胜任 ， 而 且计算时 间长 ， 费用高 ， 算机就 可完 成 ， 费用 也约缩 到可 以 接受 的 范围内 。 对板 材轧机的 轧辊 ， 辊身和辊颈 都为圆柱 体 ， 若 以 过轧 辊 中心线 的 子午面 为剖面 图 在 子午 面 上 以 平行于 轴 和 轴 的 直线 划 分成 矩 形 单元 。 显 然 不 同 角上剖面 的单元 划 分是 一 样 的 ， 可 以 由 这一 剖面 来代 表 。 采 用 四 结点 等参数单元 现在 变为 个二 维 问题 来计 算 ， 用 中型 计 、 ‘、 、产 ，‘ ，‘几， 一 心‘ 八‘︸ 、，护

N,=1+5:51+m:m) (i=14) (7) 由最小势能原理可以得到和(1)类似的式子 {kn}{δa}={fn} (8) 其中{8。}一由(2)式第n展开项的系数un,vn,wn构成的位移列阵。 {fn}一由(5)式第n展开项的系数f:n,「，[zn构成的负荷列阵。 〔kn)一第n展开项的刚度矩阵。 〔kn)=E(kn) 单元刚度矩阵 (kn11,kn12,kn13,kn14 kn21,kn22,kn23,kn24 〔kn)°= kn31,kn32,kn33,kn34 (8) knsi,kn42,kn4s,kns 其中 h11,h12,h13 kni= h21,h22,h23 (9) (h31,h32,h33 (i,j=1~4) =(+2G)(+B(Bn(+B)+aBnC Ga +λ5(3+Bm)C,+abA:(入+2G+nG) 12 4(3+Bn)(h-G:)+ab(+3G)aA h1-an:+G:m,)+合8B:(an:+Gn,)+沿(B+3m, 3+B)(h-G:)+nab(+3G)Ai hrB(+B)+CB-(+B)C Ga Ga2 (10) +bGB(3+Bm)r+〔n2(入+2G)+G)abA +128 h=2(3+B(m1-Gn,) h1=12n:2B:+3》+(x5:+G5:n+9B, a入 a=2(3+5:5An,-Gm） b=280合，r,8+8+c+8(3+B,) +nGabAi 187

乏 。 。 乏 。 。 。 吕 ︸乏 · ︺﹃艺乏 · ︺乏艺 、、， …… 、 口 皿 … ， 乙 。 、产护 … 、 ， 卜 … ’ ‘ … · …… 艺‘ · “ ” 艺‘ 。 · “ ” 艺‘ · ” ” 这里一 ” 。 ， · ， · ， ， ， 。 … … ， … … 都只 是 和 的 函数 ， 和 。无 关 ， 这 样 ， 一个三维间葱可 看 成 由 个二 维 问题 迭加 而 成 ， 如果 用一 般 的 三维 有 限 元 来 计算轧辊 ， 因为轧辊 在 三个方 向上的尺 寸属 同一 量级 ， 势必 造成 结点很多 ， 刚度矩 阵 的 带宽很大 ， 需要 大 型 计算机才 能胜任 ， 而 且计算时 间长 ， 费用高 ， 算机就 可完 成 ， 费用 也约缩 到可 以 接受 的 范围内 。 对板 材轧机的 轧辊 ， 辊身和辊颈 都为圆柱 体 ， 若 以 过轧 辊 中心线 的 子午面 为剖面 图 在 子午 面 上 以 平行于 轴 和 轴 的 直线 划 分成 矩 形 单元 。 显 然 不 同 角上剖面 的单元 划 分是 一 样 的 ， 可 以 由 这一 剖面 来代 表 。 采 用 四 结点 等参数单元 现在 变为 个二 维 问题 来计 算 ， 用 中型 计 、 ‘、 、产 ，‘ ，‘几， 一 心‘ 八‘︸ 、，护

其中符号 ,门，，门，一为单元上结点i,j在局部坐标中的坐标值。 2a,2b一为真实单元在z向和r向的边长（图4）。 r。一单元的平均半径。 即 B,=5:51 B、=n,n) Cg=5,+ξ， Cn=n:+门1 dn =24a(3+B,〔C.+C.(C,-B,) (11)(1,-1) 3■ Co=In Tota 1 ro-a C1=2-C。 (-1,1)(-1,1) G,入一为拉梅常数 图4 E Eμ G=2(1+4),λ=a+)1-2μ) 单元刚度矩阵（8)为12×12的方阵，并应注意到(9)中h11,h22,h33和n有关， h2,h21,h23,h3z和n有关。 在轧辊的计算中只有表面力的作用，暂不考虑热负荷的影响，因而单元的负荷列阵为 4f)=((N)T4f}Rdz (11) 若面力作用于单元的2~3边上，且为均匀分布（图5a),则(11）式经积分后得 {fn}°=〔0,0,0，q:n,qgn,qzn,q:n,qen,gzn,0,0,0)T ×Rb (12) 若2~3边上有线性分布的方载荷（图5b),则(11） (a) 式积分后 i=0,00号q+9号+ 2 3939n, 26 2 1 1 21 2 922n+3932,3921n+33m,3920a+3930, 892n+ 1 (b) 393zn,0,0,0)TRb (13) 其中R一2~3边的半径。 2b (12)和(13)式相当于把面载荷的合力(q1+q2)2b乘R 后按静力学原理分配到2,3点上去，1,4点不受影响。 图5 由〔K),{fn}以及(8)式可解出{δa},若位移，应力，载荷按(3)~(5)式版 开到n1项，则子午面上任一点的总位移为 188

其中符号 乙 ‘ ， ‘ ， 毛，， ” ， － 为单元 上结点 ， 在局 部坐标中的坐标值 。 ， － 为真实单元 在 向和 向的边 长 图 。 。 － 单元 的 平均半径 。 以， 甲 万 乙 ‘ 自 一 、 息 ‘ 息 ， 。 二 息 ‘ 七， ， ， ， ， 月 ‘ 月 题 ‘ ， 见三毕 ‘ “ ‘ 蠢 ， 〔 。 一 ，〕 。 二 一 一 。 ， 入－ 为拉梅 常数 右 ” 一 ， 一 ，一 图 件 久 卜 件 一 卜 单元 刚度矩 阵 为 的方 阵 ， 并应 注意 到 中 ， ， ， ， 和 “ 有关 ， ， ，， ， 和 有关 。 在 轧 辊 的计算 中只 有表面 力的作用 ， 暂 不 考虑 热 负荷 的影 响 ， 因而单元 的 负荷 列 阵 为 、“ ’ 〔 〕 ’ “ · ， 若面 力作用 于 单元 的 边 上 ， 且 为均匀分布 图 ， 则 式 经积 分后得 引上下 韶曰四 王 〔 ， ， ， 。 ， 。 ， ， ， ， ， ， ， ， 〕 若 边 上有 线性 分布的 方 载荷 式积 分 后 图 ， 则 玉 〔。 ， 。 ， 。粤口 不 ， 万口 、 。 ， 口 了 副上丁 了 ， 叭 一 百 一 。 ， ， 〕 下 一 一万 公 其 中 － 、 边 的半径 。 和 式 相 当于 把 面 载荷的 合 力蚤 乘 后 按 静力学原 理分 配到 ， 点 上去 ， ， 点 不 受影 响 。 由〔 。 〕 ， 。 以 及 式可 解 出 ， 若位 移 ， 应 力 ， 开到 项 ， 则 子午面 上任一 点 的 总 位 移 为 图 载荷按 式展