推广(A1A2…4)1=A241A1 (若可逆则4亦可逆,且()}=(4) 证明:(42y=(424)=E=E (4)=(x). 另外,当4≠Q时,定义 ,A=(A (k为正整数)
( ) ( ) T T T A A A A −1 −1 = T = E = E, ( ) ( ) . 1 1 T T A A − − = , ( ) . , 0 , 0 1 k k A E A A A − − = = 另外 当 时 定义 证明 (k为正整数) ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1 (4) A , A , (A ) (A ) . T 若 可逆 则 亦可逆 且 = T −1 −1 T
当A≠0,,为整数时有 A4“=A,(4y=A (5)若可逆则有A|=A 证明AA=E 因此A=4
( ) A , A A . 1 1 5 − − 若 可逆 则有 = 证明 AA = E −1 1 1 = − A A A A . 1 −1 − 因此 = 当A 0, ,为整数时,有 , + A A = A ( ) . A = A
、逆矩阵的求法 例1求方阵A= 1的逆矩阵 23 解:4=221≠0,A存在 343 A21=6, 31 =-3 A、=-6 A,=5 2 22 32 A3=2, A,=2 A3=-2 33
例1 求方阵 的逆矩阵. = 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A 解 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A = 0, . A −1存在 2, 4 3 2 1 A11 = = 3, 3 3 2 1 A12 = − = − 三、逆矩阵的求法 2, A13 = 6, A21 = A22 = −6 A23 = 2 2, 5, 4, 33 32 31 = − = = − A A A
得 62 45 故 2 6 3 33 62 5 3
, 2 2 2 3 6 5 2 6 4 − − − − = 得 A 故 − = A A A 1 1 − − − − = 2 2 2 3 6 5 2 6 4 2 1 . 1 1 1 3 2 3 5 2 1 3 2 − − − − =
例2下列矩阵4,B是否可逆?若可逆,求出其逆 矩阵. 123 23-1 2 B 135 133 15-11 123123 解 2=0-3-4 133010
, 1 3 3 2 1 2 1 2 3 A = . 1 5 11 1 3 5 2 3 1 − − − B = 解 1 3 3 2 1 2 1 2 3 A = 0 1 0 0 3 4 1 2 3 = − − . , ? , 矩阵 例 2 下列矩阵A B是否可逆 若可逆 求出其逆