2.约束条件为不等式： (1)当约束条件为“≤”时 如：2x1+2x2≤12 可令：2x+2x2+x3=12,显然X3≥0 x?称为松弛变量。 (2)当约束条件为“≥”时 如：10x,+12x,≥18 可令：10x+12x2-x4=18,显然x4≥0 x4称为剩余变量。 2025/4/6
2025/4/6 12 2. 约束条件为不等式： （1）当约束条件为“≤”时 如： 2x1 +2x2 12 可令： 2x1 + 2x2 + x3 =12 ， 显然 0 x3 （2）当约束条件为“≥”时 如： 10x1 +12x2 18 可令： 10 12 18 ， 显然 x4 0 x1 + x2 − x4 = x3 称为松弛变量。 x4 称为剩余变量
(3)目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零。 松弛变量和剩余变量统称为松弛变量 2025/4/6
2025/4/6 13 松弛变量和剩余变量统称为松弛变量 （3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零
3.取值无约束的变量 如果变量x代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然x的取值可能是正也 可能是负，这时可令： x=x'-x" 其中：x'≥0，x"≥0 4.变量x0 令X=-x,显然x)≥0 2025/4/6
2025/4/6 14 3. 取值无约束的变量 如果变量x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令： x = x − x 其中： x 0，x 0 令 4. 变量 xj≤0 j j x = −x ，显然 0 j x
例.将下述线性规划模型化为标准型 min =x+2x2 +3x3 -2x1+x2+X3≤9 -3x1+x2+2x3≥4 3x1-2x2-3x3=-6 x,≤0，x2≥0，x取值无约束 2025/4/6
2025/4/6 15 例. 将下述线性规划模型化为标准型 − − = − − + + − + + = + + 1 2 3 取值无约束 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 0, 3 2 3 6 3 2 4 2 9 min 2 3 x x x x x x x x x x x x z x x x
解：令z=-2,X=-X x3=x-x,x≥0，x5≥0) 得标准形式为： maxz'=x-2x2-3?+3x3+0x4+0x匀 2x+x2+5-x5+x4=9 3x+x2+2x-2x5-x5=4 3x+2x2+3x-3x =6 x,x2x3,x3,x4x5≥0 2025/4/6 6
2025/4/6 16 解：令 z = −z，x1 = −x1 ， ( 0 0) x3 = x3 − x3 ，x3 ，x3 得标准形式为： + + − = + + − − = + + − + = = − − + + + 0 3 2 3 3 6 3 2 2 4 2 9 max 2 3 3 0 0 1 2 3 3 4 5 1 2 3 3 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z x x x x x x ， ， ， ，