对o1=√g/l, mgl+kl-a (1) =0 kI mg!+k2-0m2人A2) →A()=A4) 对o2=Vg/l+2k/m, mg+kl-0,ml 2 0 KI mgl +kI--a (2) →A(2)=-A (2) 2 通解.01= Adcos(o1t+q1)+A2)cos(ot+92) 02=AI cos(o t+(p1-A)cos(o, t+(p2) A,A(2,q1φ2由初始条件确定
， ， ， 由初始条件确定。 通 解 对 对 A A A cos( t ) A cos( t ) A cos( t ) A cos( t ) : A A 0 A A kl mgl kl ml mgl kl ml kl g / l 2k / m, A A 0 A A kl mgl kl ml mgl kl ml kl g / l, 1 2 (2) 1 (1) 1 2 2 (2) 1 1 1 (1) 2 1 2 2 (2) 1 1 1 (1) 1 1 (2) 2 (2) 1 (2) 2 (2) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 (1) 2 (1) 1 (1) 2 (1) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 = + − + = + + + = − = − + − + − − = + = = − + − + − − =
讨论:(1)t=0时,01=02=A,01=02=0, 则A()=A 0,A2)=0 0. 通解:01= Acos o,t,02= Acoso, t, 两个单摆完全同步 (2)t=0时,01=A,02=-A,O1=02=0, 通解:日1= A cos o2t,02=-AcsD 则A=0,q1=0,A}2) 两个单摆反相振动
两个单摆反相振动。 通 解 则 时 ， 两个单摆完全同步 通 解 则 讨论： 时 : Acos t, Acos t, A 0, 0, A A, 0. (2) t 0 , A A, 0, . : Acos t, Acos t, A A, 0, A 0, 0. (1) t 0 , A, 0, 1 2 2 2 2 (2) 1 1 (1) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 (2) 1 1 (1) 1 1 2 1 2 = = − = = = = = = = − = = = = = = = = = = = = =
讨论: (3)t=0时,01=A,2=0,01=02=0, 则A=A(2)=A/2,q1=φ2=0 0,=A(cos o,t+cos o,t) 通解 2 02=A(cos O,t-cos a,t) 2 0,+0 A cos t·cos 2 2 A 2 SIn t·sin 2 2 2 →差拍振动
差拍振动 通 解 则 时 ， 讨论： t 2 t sin 2 Asin t 2 t cos 2 Acos A(cos t cos t) 2 1 A(cos t cos t) 2 1 : A A A / 2, 0. (3) t 0 , A 0, 0, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 (2) 1 (1) 1 1 2 1 2 + − + − = = − = + = = = = = = = = =
§64简正坐标和简正振动 由于T,U是实对称二次齐次式正定的,即r>0, U>0),因此应有满秩线性夔换:q1=∑gn使T, U同时化为平方和,即T=∑t2/2,U=∑u2, L=∑t/2-∑u2。代入拉格朗日方程得 d aL aL =0→t1+u1=0(1=1,2,…s) dt( ag)a5 令 →81+0181=0 →解:1=A1Cos(o1t+q1) ξ1称为简正坐标,独立埘应简正频率ω1作简谐振动
称为简正坐标，独立地对应简正频率 作简谐振动。 解 ： 令 ， （ ，， ） 。代入拉格朗日方程得 同时化为平方和，即 ， ， ，因此应有满秩线性变换 ， 使 ， 由 于 ， 是实对称二次齐次式正定的，即 ， A cos( t ) ω 0 t u ω 0 t u 0 l 1 2 s L L dt d L t / 2 u / 2 U T t / 2 U u /2 U 0) : q g T T U ( T 0 l l l l l l l 2 o l l l o 2 l l l o l l o l l 2 l o l l 2 l o l l 2 l o l l 2 l o l l j jl l = + = + = = + = = − = − = = = §6.4 简正坐标和简正振动
上例:作线性变换: 01=(31+2)/231=01+0 三1 → 02=(51-2)/222=0 T (02+02)=(ml2/2)(2+2l) 2 U=mgl(2+02)+k2(O2-01 (mgl/2)22+(mgl/2+k2/2)2 2 2 2 mg /2 /2I 2 mg/2+kI/2 g, 2k 2/2
. m 2k l g ml / 2 mgl / 2 kl / 2 t u , l g ml / 2 mgl / 2 t u (mgl / 2 kl / 2) 2 1 (mgl / 2) 2 1 kl ( ) 2 1 mgl( ) 2 1 U (ml / 2)( ) 2 1 ml ( ) 2 1 T ( )/ 2 ( )/ 2 : : 2 2 o 2 o 2 2 2 o 2 1 o 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 = + + = = = = = = + + = + + − = + = + = − = + = − = + 上 例 作线性变换