生S=(-X)表示所有数据与总平均值 的离差平方和是描述全部数据离散程度的一个 指标称为总偏差平方和(总离差平方和 S=∑∑(Xx,)2表示每个数据与其组平均值 黑的离差平方和反映了试验中的随机误差称为误差 偏差平方和(组内离差平方和) S=∑n(x-X)2表示组平均值与总平均值的离差 平方和,反映了各总体因子4的不同水平均值之间的 差异程度称为因子偏差平方和(组间离差平和
, ( ). , ( ) 1 1 2 指标 称为总偏差平方和 总离差平方和 的离差平方和 是描述全部数据离散程度的一个 表示所有数据与总平均值 = = = − r i n j T i j i S X X ( ). , , ( .)2 1 1 偏差平方和 组内离差平方和 的离差平方和 反映了试验中的随机误差 称为误差 表示每个数据与其组平均值 = = = − r i n j E i j i i S X X , ( ). , ( ) ( . ) 1 2 差异程度 称为因子偏差平方和 组间离差平方和 平方和 反映了各总体 因子 的不同水平 均值之间的 表示组平均值与总平均值的离差 A S n X X r i A i i = = −
王§13检验统计量的构造 当H0:a1=a2=…=an=0为真时,一切X~N(,2 且相互独立 上S=∑∑(X-x)2=(mn-1)S2 i=1j=1 其中S2是全体样本的样本方差 S, (n-1)S2 故 2 x2(n-1) 上页
§1.3 检验统计量的构造 . : ... 0 , ~ ( , ), 2 0 1 2 且相互独立 当H = = =n = 为真时 一切Xi j N 2 1 1 2 S (X X ) (n 1)S r i n j T i j i = − = − = = ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 − − = n ST n S 故 . 其中S 2 是全体样本的样本方差
王 对于各组样本有∑(X0-X1)2=(n-1)S2 其中n是第纽样本的样本容量 S2是第组样本的样本方差 因此n=D ~x2(n1-1)i=12…,r 且各组样本方差S2,S2…,S2相互独立 由-=2(n-1及x分布的可加性知 E (n1-1)2 ~x2(n-r) O 上页
对于各组样本有 2 1 2 . ( ) ( 1) i i n j Xi j Xi n S i − = − = 是第 组样本的样本方差 其中 是第 组样本的样本容量 S i n i i i 2 因此 n i r n S i i i ~ ( 1), 1,2, , ( 1) 2 2 2 − = − , , , . 2 2 2 2 且各组样本方差S1 S Sr 相互独立 由 及 2 分布的可加性知 1 ( 1) = − = − r i ni n r ~ ( ) ( 1) 2 1 2 2 2 n r S n S r i E i i − − ==
柯赫伦( Cochran)分解定理:设X1,X2灬…,Xn为n个 出相互独立的N)随机变量Q是某些X1X2,X的 线性组合的平方和,其自由度分别为f,如果 Q1+Q2+…+Qk~x2(m) 且 f1 十f+.+ 则9~x2()j=1,2,,k 且Q12Q2,Q相互独立 上页
, ,..., . ~ ( ), 1,2,..., ... ... ~ ( ) , , (0,1) , , ,..., ( ) : , ,..., 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 且 相互独立 则 且 线性组合的平方和 其自由度分别为 如果 相互独立的 随机变量 是某些 的 柯赫伦 分解定理 设 为 个 k j j k k j j n n Q Q Q Q f j k f f f n Q Q Q n f N Q X X X Cochran X X X n = + + + = + + +
由于 ×E及n-1=(-1)+(n-r) O 可知柯赫伦分解定理的条件全部满足,故有 2~x2(r 午且S与S相互独立 午由于S反映的是因子不同水平均值之间的差 异程度,故当假设H0:a1=a2=…=an=0为真时 S的值不应太大,从而 F=S r-1) SE/n-r 也不应太大,当F值过大时,可以认为假设H不真 上页
, , . /( ) /( 1) , , : ... 0 , 0 0 1 2 也不应太大 当 值过大时 可以认为假设 不真 的值不应太大 从而 异程度 故当假设 为真时 由于 反映的是因子不同水平均值之间的差 F H S n r S r F S H S E A A r A − − = = = = = . ~ ( 1) , 1 ( 1) ( ) 2 2 2 2 2 且 与 相互独立 可知柯赫伦分解定理的条件全部满足 故有 由于 及 A E A T A E S S r S n r n r S S S − = + − = − + −