性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) f(r, y)do=lf(x,ydo+llf(x, y)do 性质4若o为D的面积,=1d=d 性质5若在D上∫(x,y)≤g(x,y) 则有f(x,y) do sg(x,y)d 特殊地』/(x,)s」j(x,p
性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若 为D的面积， 1 . = = D D d d 性质５ 若在D上 f (x, y) g(x, y), ( , ) ( , ) . D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) . D D f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 则有
性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值,a为D的面积,则 ms‖f(x,y)dosM (二重积分估值不等式) 性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续,a为D 的面积,则在D上至少存在一点与,m)使得 ∫(x,y)d=f(ξ,η):σ (二重积分中值定理)
设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则 性质６ 设函数 f (x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 性质７ （二重积分中值定理） D m f (x, y)d M f (x, y)d = f (,) D （二重积分估值不等式）
例1不作计算,估计=∫e的值, 其中D是椭圆闭区域:2+D2=1(0<b<a) 解区域D的面积=ab兀, 在D上∵0≤x2+y2≤a2 1=e<ex” 由性质6知σS∫e:trr≤ae" abt e xtydo s abte
例 1 不作计算，估计 I e d D x y + = ( ) 2 2 的值， 其 中D是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2 + = b y a x (0 b a). 在D上 2 2 2 0 x + y a , 1 , 2 2 2 0 x y a = e e e + 由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y e d e + 解 + e d D ( x y ) 2 2 ab . 2 a abe 区域 D 的面积 = , ab
例2估计I 的值, x2+y2+2xy+16 其中D:0≤x≤1,0≤y≤2 解∵∫(x,y)= ,区域面积σ=2 (x+y)2+16 在D上f(x,y)的最大值M=(x=y=0) f(x,y)的最小值m 32+425 (x=1,y=2) 2 故"≤Ⅰ≤→0.4SI≤0.5
例 2 估计 + + + = D x y xy d I 2 16 2 2 的值， 其中 D： 0 x 1, 0 y 2. 区域面积 = 2, , ( ) 16 1 ( , ) 2 + + = x y f x y 在D上 f ( x, y)的最大值 ( 0) 4 1 M = x = y = f (x, y)的最小值 5 1 3 4 1 2 2 = + m = (x = 1, y = 2) 故 4 2 5 2 I 0.4 I 0.5. 解
例3判断 ln(x2+y2xdy的符号 rs)x+ysI 解当r≤x+y≤1时,0<x2+y2≤(x+y)2≤1, 故In(x2+y2)≤0; 又当x+y<1时,n(x2+y2)<0, 于是n(x2y2)ddy<0 rsx+y≤
例 3 判断 + + 1 2 2 ln( ) r x y x y dxdy的符号. 当r x + y 1时, 0 ( ) 1, 2 2 2 x + y x + y 故 ln( ) 0 2 2 x + y ; 又当 x + y 1时, ln( ) 0, 2 2 x + y 于是 ln( ) 0 1 2 2 + r x + y x y dxdy . 解