性质4「1.d b dx= b 性质5(非负性)如果在区间ab1上f(x)≥0, 则(x≥0.(a<b) 证∵∫(x)≥0,∴∫(号)≥0,(=1,2,,n) △:≥0 ∑f(,)△x≥0, 元=max{△x1,△x2,…,△xn} im∑f(5)Ax,=f(x)d≥20 i=1
dx b a 1 dx b a = = b − a. 性质5（非负性） 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i = 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } = x1 x2 xn i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( ) 0. = b a f x dx 性质4
例1比较积分值e和x的大小 解令∫(x)=e-x,x∈[-2,0 f(x)>0, (e-x)dx>0, .exxx,于是ex<xd 性质5的推论:(比较定理) (1)如果在区间a,b上f(x)≤g(x), 则!∫(x)xs,g(x)tx.(a<b) (2)f(x≤f(x)t.(a<b) 说明:|f(x)在区间[a,b上的可积性是显然的
例 1 比较积分值 e dx x −2 0 和 xdx −2 0 的大小. f (x) e x, x 令 = − x[−2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 − − e x dx x e dx x − 0 2 , 0 2 xdx − 于是 e dx x −2 0 . 2 0 xdx − 性质5的推论：（比较定理） 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)， （2） f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . (a b) 说明：| f (x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的. 解
性质6(估值定理)设M及m分别是函数 ∫(x)在区间a,b上的最大值及最小值, 则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a) 证m≤f(x)≤M,mdks!f(x)tsmM, m(b-a)≤f(x)sM(b-a (此性质可用于估计积分值的大致范围) 例2估计积分 sind dx的值 解 4 sInx 77 f(x)= x∈
设M及m分别是函数 f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 证 m f (x) M, ( ) , b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a − − （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x x 2 4 sin 的值. 解 , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [ x 性质6（估值定理）