圆与三角学 在各種各樣的平面形之中,圓是最為完美對稱者,而三角形則是最為簡單者。所 以在平面幾何的研討中,圓和三角形理所當然地是其精要之所在。例如定量平面 幾何中的基本定理,首推三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理,即 X尚 ·面積公式:三角形面積= △ABC△ABC ·相似三角形定理:設 的三内角對應相等,則其三對對應 邊成比例,即 AB AC BC A'B AC BC =k(k:相似比) ·勾股定理:直角三角形的邊長滿足 AC+BC=AB(亦即畢氏定理) (勾方加股方等于弦方) 本章將以上述三者為基礎,硏討圓與三角形的解析幾何,其所得之基礎理論也就 是三角函數的基本性質和三角定律。正弦、餘弦函數是一對起源于圓周運動,密 切配合的週期函數,它們是解析幾何學和週期函數的分析學中最為基本和重要的 函數;而正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質(主要是其對稱性)的直 接反映。 三角學( Trigonometry)所討論的課題是三角形的各種各樣幾何量之間的函數 開聯。由此可見,三角學其實就是三角形的解析幾何,可以說是具體而微的解析 幾何;它是整個平面解析幾何的基礎所在,也是用解析法系統硏究幾何的基本公 具 正弦丶餘弦函數的基本性質 如[圖3-1]所示,設P(x3)是在單位圓上,以(10)為起點作逆時鐘方向的 單位速率運動的動點,則它的x,y坐標乃是時間t的函數,分別定義為餘弦 函數cost和正弦函數sint
圆与三角学 在各種各樣的平面形之中，圓是最為完美對稱者，而三角形則是最為簡單者。所 以在平面幾何的研討中，圓和三角形理所當然地是其精要之所在。例如定量平面 幾何中的基本定理，首推三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理，即 面積公式：三角形面積 = 相似三角形定理：設 和 的三內角對應相等，則其三對對應 邊成比例，即 勾股定理：直角三角形的邊長滿足 本章將以上述三者為基礎，研討圓與三角形的解析幾何，其所得之基礎理論也就 是三角函數的基本性質和三角定律。正弦、餘弦函數是一對起源于圓周運動，密 切配合的週期函數，它們是解析幾何學和週期函數的分析學中最為基本和重要的 函數；而正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是其對稱性）的直 接反映。 三角學 (Trigonometry) 所討論的課題是三角形的各種各樣幾何量之間的函數 關聯。由此可見，三角學其實就是三角形的解析幾何，可以說是具體而微的解析 幾何；它是整個平面解析幾何的基礎所在，也是用解析法系統研究幾何的基本公 具。 正弦、餘弦函數的基本性質 如 [圖 3-1] 所示，設 P(x,y) 是在單位圓上，以 (1,0) 為起點作逆時鐘方向的 單位速率運動的動點，則它的 x, y 坐標乃是時間 t 的函數，分別定義為餘弦 函數 和正弦函數
P SIn cos t [圖3-1] 其實,x=cost和 y=sint 乃是單位圓的自然的動態(解析)描述。由此可以 想到,正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質(主要是對稱性)的解析表 述。例如 OP=1 cost+sin t=1 (勾股定理) 2.圓周周長=2丌兮週期性: cos(2丌+t)=cost sin(2丌+t) (31) sin t 3.對于x軸(或y軸)的反射對稱性(參看[圖3-2]) cos(-t)=cost, sin(-t)=-sint cos(r-t)=-cost, sin(-t)=sint) (32) 4.對于直線x=y的反射對稱性(參看[圖3-2]): in(o-t)=cost, cos(o-t)=sint (33)
[ 圖 3-1 ] 其實， 和 乃是單位圓的自然的動態（解析）描述。由此可以 想到，正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表 述。例如 1. （勾股定理） 2. 圓周周長 週期性： 3. 對于 x-軸（或 y-軸）的反射對稱性（參看 [圖 3-2]） 4. 對于直線 x=y 的反射對稱性（參看 [圖 3-2]）：
P(cos(r -t), sin(r-t) P(cost, sint P (1,0) P(cos(-t), sin(-t)) 圖3-2] 5.圓的旋轉對稱性兮複角公式: cos(e-a)=cos B cos a +sin A sina ,4 y Pa(cos A, sin p) Pa(cos a, sina) Pa-a(cos(a-a), sin(a-a)) (1, [圖3-3] 如[圖3-3]所示,△OPP△OPF-a 乃是 旋轉α角之所得,所以當 Pa PoP 然有 即有
[ 圖 3-2 ] 5. 圓的旋轉對稱性 複角公式： [ 圖 3-3 ] 如 [圖 3-3] 所示， 乃是 旋轉 α 角之所得，所以當 然有 ，即有
(cos p-cos a)2+(sin p-sin a)2=(cos(B-a)-1)+sin2(B-a) 亦即 cosa+sin2A+cos2 a +sin2a-2(cos B cos a +sin Asin a) = cos(B-a)+sin(B-a)+1-2 cos(B-a) (3 cos(a-a)=cos p cos a+sin p sin a 把(34)式和(3,2)-式結合,即得 cos(a +a)=cos(p-a)) cos B cos a-sin sina (3.6) 再把(36)式和(33)式相結合,即得 sin(a+B)=cos (-a)-al = sIn a cos日+ cos a sin B 我們還可以把(36)-式和(3.7)-式用複數的乘法組合成下述更加整齊的複值形式,即 (cos a+isin)(cos p+isin A)=cos(a+p)+isin(a+B (38) 再者,我們可以把〓xⅳ想為平面上P(xy)點的複數坐標( complex coordinate)。如 OP=T=√x2+y2 圖3-4]所示,P點的極坐標 和θ分別就是z的絕對值和幅角。 I+iy P(x,y),(r,6) r(cos 8+ i sin 8) 圖3-4] 將(3.8)-式用來表達複數的乘法,即有 x1.22= a1l(cos 81+isin 01). z2l(cos B2 +isin A z1|·|z2|(cos(61+62)+asin(61+62) (3.9) 亦即兩個複數x,相乘,其絕對值相乘而其幅角則相加。此事在研討複數時具有基本的重 6.和化積公式和反射對稱性
亦即 把 (3.4)-式和 (3.2)-式結合，即得 再把 (3.6)-式和 (3.3)-式相結合，即得 我們還可以把 (3.6)-式和 (3.7)-式用複數的乘法組合成下述更加整齊的複值形式，即 再者，我們可以把 z=x+iy 想為平面上 P(x,y) 點的複數坐標 (complex coordinate) 。如 [圖 3-4] 所示，P 點的極坐標 和 θ 分別就是 z 的絕對值和幅角。 [ 圖 3-4 ] 將 (3.8)-式用來表達複數的乘法，即有 亦即兩個複數 z1, z2 相乘，其絕對值相乘而其幅角則相加。此事在研討複數時具有基本的重 要性。 6. 和化積公式和反射對稱性
B(cos A, sin B) (cos (a +0), sin (a+p)) A(cosa, sin a (日 圖3-5 △OAB 如[圖3-5]所示,等腰三角形 對于OM成反射對稱。所以 ∠AOM=8-a)zOC=la+) 即有 M=G(cos a+cos 0),:(sin a+sin P)) C=(c08(a+,m2(a+) OM= cos (a-a (cos a cos B)=cos (a-B)cos (a+a) (311) sina+sin p)=cos(a-A)sin (a+p) (二)三角定律 △ABC 一個三角形 含有各種各樣的幾何量,例如它的三邊邊長、三個內角的角 度、面積、外徑(外接圓的半徑)和內徑(內切圓的半徑)等等。而它們之間 又存在著各種各樣的函數關係。本節所要硏討者,乃是它們之間的基本函數關係, 通稱之為三角定律。 1.三角形面積公式與正弦定律
[ 圖 3-5 ] 如 [圖 3-5] 所示，等腰三角形 對于 OM 成反射對稱。所以 , 。即有 （二）三角定律 一個三角形 含有各種各樣的幾何量，例如它的三邊邊長、三個內角的角 度、面積、外徑（外接圓的半徑）和內徑（內切圓的半徑）等等。而它們之間， 又存在著各種各樣的函數關係。本節所要研討者，乃是它們之間的基本函數關係， 通稱之為三角定律。 1. 三角形面積公式與正弦定律