第3章数值积分 、考核知识点: 内插求积公式,代数精度,梯形公式及其余项,辛卜生公式及其余项,复化梯形公式及 其余项,复化辛卜生公式及其余项 二、考核要求: 1.知道内插求积公式及其性质,会计算内插求积公式 2.了解代数精度概念,掌握内插求积公式代数精度的判别方法 3.熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项:熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余 项,熟练掌握运用它们计算定积分的近似值 三、重、难点分析 例1在区间[-1,1上,求以x1=-1,x2=0,x3=1为节点的内插求积公式 解:由系数计算公式得 (x+1)(x-1),4 A o (0+1)(0-1 x(x+1) dx (1+1) 3 所以求积公式为,f(x1 f(-1)+f(0)+f(1) 例2求积公式[f(x)x≈f(0)+f(1)+f(2)的代数精确度为( 解由于此公式为3个节点的内插求积公式,代数精度至少为2 令f(x)=x3,代入内插求积公式得 在边x=1 4,右边=(0)3+13+23=4,所以左边=右边 再令f(x)=x2,代入内插求积公式得 左边x=32 5有边=04+41+12-20 所以左边≠右边 所以此公式具有3次代数精度
第 3 章 数值积分 一、考核知识点： 内插求积公式， 代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及 其余项，复化辛卜生公式及其余项。 二、考核要求： 1．知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。 2．了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。 3．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余 项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。 三、重、难点分析 例1 在区间 [−1, 1] 上，求以 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 为节点的内插求积公式。 解：由系数计算公式得 − − − = + + = = + − + − = = − − − − = 1 1 2 1 1 1 1 1 0 3 1 (1 1) ( 1) , 3 4 (0 1)(0 1) ( 1)( 1) , 3 1 ( 1 1) ( 1) dx x x A dx x x dx A x x A 所以求积公式为 (1) 3 1 (0) 3 4 ( 1) 3 1 ( ) 1 1 f x dx f − + f + f − 例 2 求积公式 (2) 3 1 (1) 3 4 (0) 3 1 ( ) 2 0 f x dx f + f + f 的代数精确度为（ ）。 解 由于此公式为 3 个节点的内插求积公式，代数精度至少为 2。 令 3 f (x) = x ，代入内插求积公式得 左边= 4 4 1 2 0 4 2 0 3 = = x dx x ，右边 2 4 3 1 1 3 4 (0) 3 1 3 3 3 = + + = ， 所以 左边=右边 再令 4 f (x) = x ，代入内插求积公式得 左边= 5 2 32 0 4 = x dx ，右边= 3 20 2 3 1 1 3 4 0 3 1 4 4 4 + + = 所以 左边 右边 所以此公式具有 3 次代数精度
例3用梯形公式和n=4的复化梯形公式求积分[在,并估计误差 1+x 解(1)梯形公式 因为a=0,b=1,f(x)= 代入梯形公式得 x+1 dx≈-[f(0)+f(1) =0.75 (2)复化梯形公式 因为h=b-a_1和复化梯形公式得 dx≈a[f(0)+2(f()+f()+f()+f(1) x+1 =+2x(++)+]≈0697 因为f(x)= r+1’J"(x)=3 M2=mx/(x)=2 所以k132ry2 12×1696 注意:在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。 例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分/女 使误差小于10-3 01+x 解(1)辛卜生公式 因为a=0.b=1,f()=1 ,代入辛卜生公式得 ≈f(0)+4f()+f() 4,+,,]=06944 60+11 +1 (2)复化辛卜生公式 因为M4=mx/4(x)224 =24 解不等式 R(≤-M 2880m
例 3 用梯形公式和 n = 4 的复化梯形公式求积分 + 1 0 1 x dx ，并估计误差。 解 （1） 梯形公式 因为 a = 0, b = 1， 1 1 ( ) + = x f x ，代入梯形公式得 则 ] 0.75 1 1 1 0 1 1 [ 2 1 [ (0) (1)] 2 1 1 1 1 0 = + + + + = + dx f f x （2） 复化梯形公式 因为 4 1 4 = − = b a h 和复化梯形公式得 )) (1)] 4 3 ) ( 2 1 ) ( 4 1 [ (0) 2( ( 8 1 1 1 1 0 dx f f f f f x + + + + + ] 0.697 2 1 ) 7 4 6 4 5 4 [1 2 ( 8 1 = + + + + 因为 1 1 ( ) + = x f x ， 3 (1 ) 2 ( ) x f x + = ， max ( ) 2 0 1 2 = = M f x x 所以 96 1 12 16 2 (3) 12 ( ) ( ) 2 3 = − = f n b a R f 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。 例 4 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 + 1 0 1 x dx ，使误差小于 3 10− 解 （1） 辛卜生公式 因为 a = 0,b =1， 1 1 ( ) + = x f x ，代入辛卜生公式得 ] 0.694 1 1 1 1 2 1 1 4 0 1 1 [ 6 1 ) (1) 2 1 (0) 4 ( 6 1 1 1 0 = + + + + + = + + + f f f x dx 4 （2） 复化辛卜生公式 因为 24 (1 ) 24 max ( ) 5 (4) 0 1 4 = + = = x M f x x 解不等式 3 4 5 4 4 10 120 1 2880 − − = m b a m M R（f）
得m≥2,用m=2.n=4,n 复化辛卜生公式计算得 ≈,f(0)+4f()+4f(G)+2f(G)+f( 120+4(+4(+2(2)+/0 ≈0.69325 例5设A(i=0,1…,n)为内插求积公式系数 证明∑Ax2=1(b-a2)(n>2) 证明:设f(x)=x3,因为n>2,R2(x)=0 所以 xx=(4-a)=∑4
得 m 2 ，用 4 1 m = 2,n = 4,n = ，复化辛卜生公式计算得 + + + + + ) (1) 2 1 ) 2 ( 4 3 ) 4 ( 4 1 (0) 4 ( 12 1 1 1 0 f f f f f x dx 0.69325 ) (1) 2 1 ) 2 ( 4 3 ) 4 ( 4 1 (0) 4 ( 12 1 = f + f + f + f + f 例 5 设 A (i 0,1, ,n) i = 为内插求积公式系数 证明 = = − n i Ai xi b a n 0 3 4 4 ( ) ( 2) 4 1 证明：设 3 f (x) = x ，因为 n 2, R4 (x) = 0 所以 = = = − = = n i i i b a n i i i b a x dx b a A x x dx A x 0 3 4 4 3 0 3 3 ( ) 4 1