第6章离散信号与系统的频域分析2元，式(6.27)可写为因为の。=或者NN2元1DejoonkNF(e-jnoo )f(k)0(6.2-8)2元n=<N>当N→o时，fN(k)=(k)，o=2元/N→d,no→の，而上式中的求和将转化为积分。由于F(ej)及ejok均是周期为2元的周期函数，因而当式(6.2一8)中的求和在长度为N的区间上进行时，就相应于の在2元长度的区间上变化，所以式(6.2一8)在N一→80的极限情况下变为1F(ejo)ejok dof(k) =?2元2元(6.2-9)
第6章 离散信号与系统的频域分析 0 0 0 (e )e 2 1 ( ) j n j n k n N f N k F − = = = 2 ( )e d 2 1 ( ) j j k f k F e 因为 ,或者 ，式(6.2－7)可写为 N 2 0 = 2 1 0 = N (6.2-8) 当N→∞时，fN(k)=f(k)，ω0=2π/N→dω,nω0→ω，而上式中的求 和将转化为积分。由于F(ejω)及e jωk均是周期为2π的周期函数， 因而当式(6.2－8)中的求和在长度为N的区间上进行时，就相 应于ω在2π长度的区间上变化，所以式(6.2－8)在N→∞的极限 情况下变为 (6.2-9)
第6章 离散信号与系统的频域分析式(6.2一9)表明离散时间非周期信号可以分解成无数多个频率从0～2.元连续分布的复指数序列，每个复指数分量的F(ej)dの。这样，对于离散时间非周期信号，幅度为2元我们就得到一对变换式：(ej)ejokdo.f(k) :=H(6.2-10)L2元J2元8 f(k)e-jiokF(ejo)=(6.2-11)k=-00
第6章 离散信号与系统的频域分析 j k k j j j k F e f k e f k F e e d − =− = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 式(6.2－9)表明离散时间非周期信号可以分解成无数多个频 率从0～2 π 连续分布的复指数序列，每个复指数分量的 幅度为 。这样，对于离散时间非周期信号， 我们就得到一对变换式： (e )d 2 1 j F (6.2-10) (6.2-11)
第6章离散信号与系统的频域分析式(6.2一10)和式(6.2一11)就称为离散时间傅里叶变换对。其中，式(6.2一11)称为傅里叶正变换，式(6.2一10)称为傅单叶反变换。可以看出此离散时间傅单叶变换定义式与第3章所讨论的连续时间傅单叶变换的定义式是相对应的。只不过这里的频谱密度函数F(ejo)是以2元为周期的周期函数，而F(jの)一般是非周期函数。由于式(6.2一11)是一个无穷级数，因此存在着收敛问题。与连续时间傅单叶变换的收敛条件相对应，如果(K)绝对可和，即ZIf(k) < 0(6.2-12)k=-o0则式(6.2一11)一定收敛，而且一定收敛于关于の的连续函数F(eja)
第6章 离散信号与系统的频域分析 k=− f (k) 式(6.2－10)和式(6.2－11)就称为离散时间傅里叶变换 对。其中，式(6.2－11)称为傅里叶正变换，式(6.2－10)称 为傅里叶反变换。可以看出此离散时间傅里叶变换定义式 与第3章所讨论的连续时间傅里叶变换的定义式是相对应 的。只不过这里的频谱密度函数F(ejω)是以2π为周期的周期 函数，而F(jω)一般是非周期函数。由于式(6.2－11)是一个 无穷级数，因此存在着收敛问题。与连续时间傅里叶变换 的收敛条件相对应，如果f(k)绝对可和，即 (6.2-12) 则式(6.2－11)一定收敛，而且一定收敛于关于ω的连续函数 F(ejω)
第6章离散信号与系统的频域分析一般情况下，F(ejo)是一个复函数，即)lejo(o)F(ej°)=F(ej)式中，F(ejo)是F(ejo)的模，(の)是F(ejo)的相位F(ejo)I及(の)与の的关系曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。F(ejの)为の的偶函数，(の)为の的奇函数
第6章 离散信号与系统的频域分析 ( ) ( ) ( ) j j j F e = F e e 一般情况下，F(ejω)是一个复函数，即 式中，|F(ejω)|是F(ejω)的模，θ(ω)是F(ejω)的相位。 |F(ejω)|及θ(ω)与ω的关系曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。 |F(ejω)|为ω的偶函数，θ(ω)为ω的奇函数
第6章离散信号与系统的频域分析6.2.2常用信号的离散时间傅单叶变换1. f(k)=akc(k),Ja|<1指数序列αkc(k)示于图6.2-2，其频谱函数应用式(6.2-11)可直接求得：1f(ej°)= Za*c(k) e-jok-jo)k(ae-ja1-ae-jok=-80k=-00(6.2—13)其幅度谱和相位谱示于图6.2－2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2元为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2元或-元～元的谱线即可
第6章 离散信号与系统的频域分析 6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换 1. f(k)=a kε(k)， |a|＜1 指数序列a k ε(k)示于图 6.2 - 2，其频谱函数应用式(6.2 - 11) 可直接求得： -j 1 e 1 ( ) e ( e ) a f e a k a k j k j k k j k − = = = =− − − =− （ ） 其幅度谱和相位谱示于图 6.2 - 2。从图中可知幅度谱、相位 谱都是以2π为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2π或- π~π的谱线即可。 (6.2－13)